2024-2025学年青海省西宁十四中高二（下）月考数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年青海省西宁十四中高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的值是( )
A. B. C. D. 或
3.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A. B.
C. D.
4.五种不同商品在货架上排成一排，其中，两种必须连排，而，两种不能连排，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
6.已知是函数的导函数，若，则( )
A. B. C. D.
7.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形现提供种颜色给如图所示的勒洛三角形中的个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为( )
A.
B.
C.
D.
8.若都有成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题( )
A. 是函数的极值点
B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
10.以“迁马，跑在水美酒乡”为主题的宿迁马拉松，于月日开跑，共有名跑者在
“中国酒都”纵情奔跑，感受宿迁的水韵柔情本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑公里三个项目，每个项目均设置个参赛名额在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑公里三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是( )
A. 若全程马拉松项目必须安排人，其余两项各安排人，则有种不同的分配方案
B. 若每个比赛项目至少安排人，则有种不同的分配方案
C. 安排这人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有种不同的站法
D. 已知这人的身高各不相同，若安排人拍照，前排人，后排人，且后排人中身高最高的站中间，则有种不同的站法
11.已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在点处的切线方程是，则 ______．
13.红楼梦四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有______种
14.已知函数，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求在区间上的最值．
16.本小题分
高二班的个男生，个女生含学生甲、乙在寒假期间参加社会实践活动用数字作答下列问题
社会实践活动有项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
活动后人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间和极值．
若对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知安排名男生和名女生参加，，三项不同的公益活动，每人只能参加项公益活动，每项公益活动至少有人参加．
求不同安排方案的种数用数字作答；
若每项活动都必须安排名男生，求不同安排方案的种数用数字作答；
若公益活动需要人，公益活动和都需要人，求不同安排方案的种数用数字作答．
19.本小题分
有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率来刻画路线弯曲度曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
已知函数，求曲线在点处的曲率；
求反比例函数曲率的平方的最大值．
已知函数，求曲线的曲率的范围．
参考答案
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15.解：因为，则，
，则，
所以曲线在处的切线方程为，即．
由可得，
则，随的变化情况如下表所示：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数在、上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
故当时，，．
16.解：个人做项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种．
甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
甲在排头，其他人随机排，则有种排法；
甲不在排头也不在中间，甲有个位置可以选择，乙不在排头，有个位置可以选择，其他人随机排，则有种排法．
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种．
17.解：因为，
则，
合，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为．
由可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，故当时，，
因为，对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是．
18.解：先将人分为组，有，，型；和，，型，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个项目，有种情况，
则不同安排方案的种数为．
先将名男生分到三项公益活动，有种方案，
名女生有种方案，
不同安排方案的种数为．
不同安排方案的种数为．
19.因为，所以，
，故，，
由曲率公式得．
由，，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故反比例函数曲率的平方的最大值为．
因为，所以，
，由曲率公式得，
故，
则，
令，令，函数化为，
令，则，函数化为，
对进行变形，得到，
令，函数化为，
此时，我们研究的范围即可，而，
当时，恒成立，故L在上单调递增，
而，，
故L，即，故．
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