2024-2025学年福建省莆田擢英中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年福建省莆田擢英中学高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在等差数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知圆柱的底面半径与球的半径均为，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为若对任意有，，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆：的左、右顶点，是上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列为递增数列且数列也为递增数列，则称为“重增数列”下列数列中，是重增数列的有( )
A. B. C. D.
10.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是( )
A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值
C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为
11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美双纽线的图形轮廓像“”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素已知在平面直角坐标系中，，，满足的动点的轨迹为曲线则下列结论正确的是( )
A. 曲线既是中心对称又是轴对称图形
B. 曲线上满足的点有个
C.
D. 曲线上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，共15。
12.已知各项都为正数的等比数列，若，则 ；
13.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为过的直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为______．
14.对于三次函数，给出定义：
设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
函数的对称中心坐标为 ；
计算 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，当时，．
求数列的通项公式；
证明：
16.本小题分
设与是函数，的两个极值点．
试确定常数和的值；
求函数的单调区间．
17.本小题分
如图已知斜三棱柱的侧面是菱形，，，，C.
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的动直线与交于，两点当轴时，，且直线，的斜率之积为．
求的方程；
求的内切圆半径的取值范围．
19.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数．
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
即，
所以数列为等差数列，其中首项为，公差，
所以，
所以．
证明：因为，
所以．
16.解：，
由题意可知：，，
即，，
解得，
经检验，符合题设；
由知，
由得或，
由得，
故的单调递增区间为，；单调递减区间为．
17.解：证明：取的中点，连接，，
因为侧面是菱形，，所以是正三角形，
因为是中点，所以
因为是中点，，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为斜三棱柱，所以，所以．
因为，，，平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面．
以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
因为，所以点，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
又
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设椭圆的半焦距为，则，，
令代入，可得，
则当轴时，，此时不妨设，
则由直线，的斜率之积为，得，
即，结合，则，即，解得，，
故C的方程为；
设，，则的周长为，
故，则，
当轴时，，
当不与轴垂直时，设：，，
联立，得，
则，
则
，
故，令，则，
则，由于，故，令，
所以，则在上单调递减，
则，
则，
综合上述，的内切圆半径的取值范围为．
19.解：当时，是极值可差比函数，理由如下：
当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
的定义域为，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，则，是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，
由于
，
所以，从而，
得
令，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
由知极值差比系数为，
即，不妨设，
令，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，
设
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为．
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