1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 401.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-14 17:31:43 | ||
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文档简介
教学设计
课题 1.1.2 空间向量的数量积运算
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
本节内容是空间向量数量积的定义、运算律，向量投影的学习.
学习者分析
学生在学习了空间向量的有关概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在，，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了任意两个空间向量都是共面的.在平面向量的学习中，学生已经认识到平面向量的数量积在位置关系（垂直）的判定，叫与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量夹角的基础上，类比引入空间向量的夹角和表示方法，类比平面向量的数量积运算得到空间向量的数量积运算.
学习目标
掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解.培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养.
学习重点难点
重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律. 难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用.
学习条件支持
多媒体
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环 节 一 环节一 创设情境引入课题 (回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念) 根据功的计算，我们定义了平面向量的数量积运算，一旦定义出来，我们发现这种运算非常有用，它能解决有关长度和角度问题，在空间向量中亦是如此. 引导语：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学面向量的数量积运算，现在我们类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算. 问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？ （1）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即 ． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． （3）由向量的数量积定义，可以得到： ；． 也记作．首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，师生共同画出上述表格，确定表格的表头、并完成表格的左侧部分.然后通过小组合作，完成表格右侧部分.通过完成表格这种形式，使得类比学习更为生动直接，进一步让学生体会平面向量到空间向量的推广是“平行”推广.师生共同画出表格的过程也体现了从平面向量到空间向量的研究. 环 节 二 环节二：观察分析感知概念 借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质 问题2：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况. 提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影 问题3：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？ 如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))． 追问 : 你能用向量,向量表示出投影向量吗 追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？ 追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 空间向量的数量积满足如下的运算律： ，；(交换律)；(分配律)．学生独立思考后，通过合作交流，得出结论.明确问题，培养空间想象力. 环 节 三 环节三：抽象概括形成概念 推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异 问题4：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？ 空间向量的数量积满足如下的运算律： ，； (交换律)； (分配律)． 追问：你能证明这些运算律吗？ 问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？ 追问：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 追问：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 追问：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？师生活动：教师提出问题，结合平面向量数量积的运算律，学生得出空间向量的数量积满足的运算律. 将平面向量数量积运算的运算律推广到空间，进一步完备空间向量的运算体系. 环 节 四 例 题 练 习 巩 固 理 解例2．如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：(1)；(2)的长(精确到0.1)． 解：（1） ； （2） ，所以． 通过例题让学生体会如何计算两个空间向量的数量积，以及利用数量积计算向量的模，进而得到线段的长度，加深对向量数量积概念的理解，并熟悉其运算律. 例3如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：． 师生活动：教师首先引导学生分析问题的条件和所证明结论的本质，得出证明的基本思路： 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，． 因为直线与相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 因为，（为什么 ），所以．所以． 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 通过层层递进的问题引导学生用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理，学生初步体会向量方法的威力. 课堂小结(1)空间向量数量积的定义、运算律是什么？与平面向量的数量积运算有什么联系与区别？ (2)空间向量投影的意义是什么？与平面向量的投影有什么联系与区别？如何画出空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影？ (3)在用空间向量的数量积运算解决一些简单的立体几何问题的过程中，向量及其运算起了什么作用？ 学生自己总结通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾，让学生体会用空间向量解决立体几何问题的基本思考方法，为后续归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲''做准备.
板书设计
1.1.2 空间向量的数量积运算 空间向量的夹角 空间向量的数量积的定义与几何意义 空间向量数量积的性质 4.空间向量数量积的运算律
作业与拓展学习设计
1．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60°B．90°C．105°D．75°
1．答案：B 解析：设，则．，， ． ．与所成的角为90°． 2．如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 2．解：（1）； （2）； （3）． 3．如图，在平行六面体中，，，，， ．求： （1）；（2）的长；（3）的长． 3．解：(1)； （2）， ， 即的长为； （3）， ． ，即的长为． 4．如图，线段，在平面内，，，且，，．求，两点间的距离． 4．解：， ，即，两点间的距离为．
教学反思与改进
学生有平面向量学习的基础，有类比平面向量的线性运算学习空间向量的线性运算的经验,把平面向量数量积的概念推广到空间并不难，也能较容易由平面向量数量积的运算律推广得到空间向量数量积的运算律.尽管在平面向量的学习中已经积累了一些用向量法解决几何问题的经验，但学生还缺乏利用空间图形解决立体几何问题的经验，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示对学生来讲都是难点.突破难点的关键是引导学生利用平面向量解决平面几何问题的经验，结合具体问题，从几何量的向量表示入手，深入理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示. 教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面向量的投影.对于向量投影在解决立体几何问题中的作用，则需要学生在后续学习中逐步体会.
课题 1.1.2 空间向量的数量积运算
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
本节内容是空间向量数量积的定义、运算律，向量投影的学习.
学习者分析
学生在学习了空间向量的有关概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在，，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了任意两个空间向量都是共面的.在平面向量的学习中，学生已经认识到平面向量的数量积在位置关系（垂直）的判定，叫与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量夹角的基础上，类比引入空间向量的夹角和表示方法，类比平面向量的数量积运算得到空间向量的数量积运算.
学习目标
掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解.培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养.
学习重点难点
重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律. 难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用.
学习条件支持
多媒体
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环 节 一 环节一 创设情境引入课题 (回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念) 根据功的计算，我们定义了平面向量的数量积运算，一旦定义出来，我们发现这种运算非常有用，它能解决有关长度和角度问题，在空间向量中亦是如此. 引导语：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学面向量的数量积运算，现在我们类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算. 问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？ （1）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即 ． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． （3）由向量的数量积定义，可以得到： ；． 也记作．首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，师生共同画出上述表格，确定表格的表头、并完成表格的左侧部分.然后通过小组合作，完成表格右侧部分.通过完成表格这种形式，使得类比学习更为生动直接，进一步让学生体会平面向量到空间向量的推广是“平行”推广.师生共同画出表格的过程也体现了从平面向量到空间向量的研究. 环 节 二 环节二：观察分析感知概念 借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质 问题2：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况. 提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影 问题3：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？ 如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))． 追问 : 你能用向量,向量表示出投影向量吗 追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？ 追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 空间向量的数量积满足如下的运算律： ，；(交换律)；(分配律)．学生独立思考后，通过合作交流，得出结论.明确问题，培养空间想象力. 环 节 三 环节三：抽象概括形成概念 推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异 问题4：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？ 空间向量的数量积满足如下的运算律： ，； (交换律)； (分配律)． 追问：你能证明这些运算律吗？ 问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？ 追问：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 追问：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 追问：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？师生活动：教师提出问题，结合平面向量数量积的运算律，学生得出空间向量的数量积满足的运算律. 将平面向量数量积运算的运算律推广到空间，进一步完备空间向量的运算体系. 环 节 四 例 题 练 习 巩 固 理 解例2．如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：(1)；(2)的长(精确到0.1)． 解：（1） ； （2） ，所以． 通过例题让学生体会如何计算两个空间向量的数量积，以及利用数量积计算向量的模，进而得到线段的长度，加深对向量数量积概念的理解，并熟悉其运算律. 例3如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：． 师生活动：教师首先引导学生分析问题的条件和所证明结论的本质，得出证明的基本思路： 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，． 因为直线与相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 因为，（为什么 ），所以．所以． 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 通过层层递进的问题引导学生用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理，学生初步体会向量方法的威力. 课堂小结(1)空间向量数量积的定义、运算律是什么？与平面向量的数量积运算有什么联系与区别？ (2)空间向量投影的意义是什么？与平面向量的投影有什么联系与区别？如何画出空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影？ (3)在用空间向量的数量积运算解决一些简单的立体几何问题的过程中，向量及其运算起了什么作用？ 学生自己总结通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾，让学生体会用空间向量解决立体几何问题的基本思考方法，为后续归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲''做准备.
板书设计
1.1.2 空间向量的数量积运算 空间向量的夹角 空间向量的数量积的定义与几何意义 空间向量数量积的性质 4.空间向量数量积的运算律
作业与拓展学习设计
1．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60°B．90°C．105°D．75°
1．答案：B 解析：设，则．，， ． ．与所成的角为90°． 2．如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 2．解：（1）； （2）； （3）． 3．如图，在平行六面体中，，，，， ．求： （1）；（2）的长；（3）的长． 3．解：(1)； （2）， ， 即的长为； （3）， ． ，即的长为． 4．如图，线段，在平面内，，，且，，．求，两点间的距离． 4．解：， ，即，两点间的距离为．
教学反思与改进
学生有平面向量学习的基础，有类比平面向量的线性运算学习空间向量的线性运算的经验,把平面向量数量积的概念推广到空间并不难，也能较容易由平面向量数量积的运算律推广得到空间向量数量积的运算律.尽管在平面向量的学习中已经积累了一些用向量法解决几何问题的经验，但学生还缺乏利用空间图形解决立体几何问题的经验，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示对学生来讲都是难点.突破难点的关键是引导学生利用平面向量解决平面几何问题的经验，结合具体问题，从几何量的向量表示入手，深入理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示. 教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面向量的投影.对于向量投影在解决立体几何问题中的作用，则需要学生在后续学习中逐步体会.