2024-2025学年青海师大附属第二实验中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年青海师大附属第二实验中学高一（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
2.函数定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极小值
C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点
4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.将封信投入个邮筒，且封信全部投完，不同的投法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 科
6.某学校参加社会实践活动的名教师和甲、乙、丙、丁名学生站成一排合影留念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为( )
A. B. C. D.
7.若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数的导函数为，则( )
A. B. 是函数的极值点
C. 存在两个零点 D. 在上单调递增
10.已知函数，若函数在上存在最小值，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 若，，则正实数的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数的导数为，且，则 ______．
13.用排列数表示且 ______．
14.已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
高二年级班有人参加数学兴趣小组，班有人参加物理兴趣小组，班有人参加化学兴趣小组，问：
在参加兴趣小组的人中，选人担任数理化兴趣小组组长，有多少种不同的选法？
在参加兴趣小组的人中，每班选人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法？
在参加兴趣小组的人中，选取不同组的人参加相应学科的竞赛，有多少种不同的选法？
16.本小题分
已知曲线．
求曲线在点处的切线方程；
求过点且与曲线相切的直线方程．
17.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求函数的单调区间和极值．
18.本小题分
设函数，．
求的极值；
若对任意，有恒成立，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：，．
参考答案
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16.解：由题可知：切点为，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，因为在直线上，
所以，
即，解得或．
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为．
故所求切线方程为或．
17.
18.解：，，
令，得，单调递增，令，得，单调递减，
在处取得极小值，无极大值．
对恒成立，即对恒成立．
令，，则只需即可．
则，，
在上单调递增且．
当时，，单调递减；时，，单调递增．
．
故，
，故的最大值为．
19.解：由题意得的定义域为，，
当时，，即在上单调递减，
当时，．
当时，，，即在上单调递减；
当时，，由得，，
当变化时，，变化情况列表如下：
极大值 极小值
当时，在单调递减；
当时，在，上单调递减，
在上单调递增；
证明：由得当时，在上单调递减，
，即在上恒成立，故在上恒成立，
下证，，
，，
用替换得，，
故，
，．
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