1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 教学设计

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
（一）教学内容
用向量来表示空间中点、直线、平面
（二）教学目标
①通过几何中点、直线及平面的确定方式，结合向量概念的特征，能用向量语言描述直线和平面；
②通过已有几何知识中直线的本质及线面垂直的判定定理，理解直线的方向向量与平面的法向量.
（三）教学重点与难点
重点：空间中的点、直线、平面的向量语言描述
难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
（四）教学过程
教学活动一：问题提出
问题1.如何用向量表示空间中的一个点？
师生活动:教师通过黑板作图，引导学生说出向量的要素，进而提出“基点”的概念.
追问1.如何理解基点的作用？引入“基点”这一想法由什么引起？
追问2.在选取了确定的基点后，平面上的任何一个点怎样用向量表示？
（设计意图：引导学生从概念入手，实现问题的不断简化，从而使问题得到解决）
问题2：给出空间一个定点和一个方向，那么就能确定唯一一条直线，这种情况下如何用向量表示这条直线呢？
追问1.什么是直线的方向向量？
师生活动：教师进一步将问题引向向量的方向与直线确定的关系，学生探究直线是否被确定.
追问2.直线是由什么构成的？表示直线实际上就是表示什么？
师生活动：教师提醒学生平面解析几何中直线是直线上无数点的集合、是动点的轨迹，学生的思维指向：表示直线就是表示直线上动点的表达式.
（设计意图：化未知为已知，使学生感觉较为陌生的向量表示直线的问题转化为解析几何中动点轨迹的表示问题.）
探究一：取定空间中的任意一点，可以得到点在以向量为方向向量的直线上的充要条件？
师生活动：教师引导学生将以上直线的向量表达式中的向量用有向线段来表示，然后利用向量向量的减法对向量进行拆分，从而得到这个“充要条件”.
（设计意图：使学生进一步认识到空间中直线可以由一个定点和一个向量来确定.）
问题3.空间中的平面该如何用向量表示？
追问1. 给出空间一个定点和几个方向能够确定一个平面呢？这与平面向量基本定理有何相似之处？
追问2. 平面是由什么构成的？表示平面实际上就是表示什么？
追问3. 给出空间一个定点和两个方向，该平面内的任意一点该如何表示？
师生活动：教师带领学生回顾平面向量基本定理，学生探究空间中平面的确定方式，学生回答，教师进行归纳、纠正.
（设计意图：明确研究的问题，逐步进行分析，最终指向解决问题的途径和方法.）
探究二：取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件？
（师生活动：教师提醒学生类比探究一的推到方法，使问题最终得到解决.）
（设计意图：使学生进一步认识到空间中平面的确定方式，并检测探究一的研究方法是否已经掌握）
追问4.我们知道，在空间立体几何中，给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的，那么，给出空间一个定点和一个方向能够确定一个平面吗？
（产生“法向量”概念）
师生活动：教师引导学生思考：空间中，经过定点作已知直线的垂面是否存在？有几个？学生通过回忆、讨论得出结论并回答，教师加以评价和总结.
追问5.给定一点和一个向量，，那么过点且以为法向量的平面怎样表示？
师生活动：提醒学生利用问题1、问题2的研究思路寻找解决这个问题的途径，小组合作探究，得出结论并展示，教师进行引导和评价.
（设计意图：明确空间中平面的确定方法，强调法向量概念，检测问题1、问题2的研究方法是否已经掌握，为后面“坐标法”解决线面角、二面角做好铺垫）
教学活动二：运用检测
例1 如图，在长方体中，，M是AB的中点.以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
（1） 教师板演，作出示范；（2）学生小组讨论，教师抽查投影，对结果进行点评
（设计意图：巩固新知识，检测掌握程度）
教学活动三：课堂小结
①直线的方向向量、平面的法向量及其求法
②空间中点、直线、平面的向量表示方法
教学活动四：布置作业
教科书29页小练习第1,2,3题
（五）目标检测试题
1.若点在直线上，则直线一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.如图，在空间直角坐标系中，为正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为，③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.在中，，设是平面内任意一点.
（1）求平面的一个法向量；
（2）求满足的关系式.