云南省玉溪市峨山一中2024-2025学年高二（下）3月月考数学试卷）(PDF版，含答案)

2024-2025 学年云南省玉溪市峨山一中高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 8，则 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2.已知抛物线 2 = 4 ，过焦点 作直线与抛物线交于点 ， (点 在 轴下方)，点 1与点 关于 轴对称，若
直线 的斜率为 1，则直线 1 的斜率为 ( )
A. 33 B. 3 C.
2
2 D. 2
3.抛物线 = 4 2上的一点 到焦点的距离为 1，则点 的纵坐标是( )
A. 17 B. 15 716 16 C. 8 D. 0
4.已知函数 ( ) = + ，则有( )
A. (2) < ( ) < (3) B. ( ) < (2) < (3)
C. (3) < ( ) < (2) D. ( ) < (3) < (2)
5.若圆 ： 2 + 2 6 + 8 = 0 上至少有 3 个点到直线 ： 1 = ( 3) 5的距离为2，则 的取值范围是
( )
A. [ 3, 0) ∪ (0, 3] B. [ 3, 3]
C. ( ∞, 3] ∪ [ 3, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ ( 3, + ∞)
6.已知双曲线 的中心为原点， (3,0)是 的焦点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ( 12,
15)，则 的方程式为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. 3 6 = 1 B. 4 5 = 1 C.

6
= 1 D. 3 5 4 = 1
7.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )
A. +1 = + ， ∈
B. = 1 + ， ∈ ， ≥ 2
C. = + ( + 1)， ∈ +1 ， ≥ 2
D. = 1 + ( 1)， ∈ ， ≥ 2
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8.平面 的一个法向量 = (1,2,3)， (1,1,1)， ∈ ， ∈ ，则点 的坐标可以是( )
A. ( 1, 1, 1) B. (4,2, 1) C. (3,2,1) D. (2,2,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 是经过抛物线焦点 的弦， 是线段 的中点，经过点 ， ，
作抛物线的准线 的垂线 ， ， ，垂足分别是 ， ， ，其中 交抛物线于点 ，连接 ， ， ，
，则下列说法正确的是( )
A. | | = 12 | | B. ⊥
C. 是线段 的一个三等分点 D. ∠ = ∠
10.下列命题中正确的是( )
A.过点(1,2)，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍的直线方程为 2 + 4 = 0
B.若 (1,1)， (3,2)在直线 + 2 + 1 = 0 的两侧，则 的取值范围为( ∞, 3) ∪ (2, + ∞)
C.若三条直线 + 2 = 0， = 0， + = 3 不能围成三角形，则实数 的取值集合为{ 1,2}
D.过定点 (1, 2)的直线截圆 ： 2 4 + 2 = 0 所得的弦长为 2 3，则直线方程为 = 1 和 3 4
11 = 0
11.下列说法错误的是( )
A. 过任意两点( , )，( , )的直线方程为 1 11 1 2 2 2
=
1 2 1
B.经过点(1,1)且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 + 2 = 0
C. 2 若直线倾斜角 ∈ [ 4 , 3 ]，则斜率 的取值范围是( ∞, 3] ∪ [1, + ∞)
D.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等差数列{ }中， 1 + 2 + 3 = 15， + 1 + 2 = 78， = 155，则 = ______．
2
13 .设 1， 2分别是双曲线 2 9 = 1 的左，右焦点，若点 在双曲线上，且
1 2 = 0，则
| 1+ 2| = ．
14 1.设 ( ) = 2 + 2，利用课本中推导等差数列前 项和公式的方法，可求得 ( 5) + ( 4) + … + (0) +
… + (5) + (6)的值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 在点 (0, 2)处的切线斜率为 1，且在 = 1 处取得极值．
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(1)求函数 ( )的解析式；
(2)当 ∈ [ 1,2]时，求函数 ( )的最值．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }中， 1 = 1

， +1 = ( ∈ ). +3
(1) 1 1求证：数列{ + 2 }为等比数列，并求出{ }的通项公式 ；
(2)数列{ }满足 = (3 1)

2 ，设 为数列{ }的前 项和，求使 > 恒成立的最小的整数 ．
17.(本小题 15 分)
如图，已知正方形 是圆柱的轴截面(经过旋转轴的截面)，点 在底面圆周上， = 4， = 2，点
是 的中点．
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知 (1,2)、 (3,6)，动点 满足 = 4，设动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的标准方程；
(2)求过点 (1,2)且与曲线 相切的直线的方程．
19.(本小题 17 分)
2
已知 ， 分别为椭圆 ： + 24 = 1 的上顶点和右顶点，过点 (4,2)作直线 ， 分别交 于另一点 ， ．
(1)求直线 ， 的一般式方程；
(2)求直线 的斜率 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.10
13.2 19
14.3 2
15.解：(1)因为 ( ) = 3 + 2 + + ，
所以 ′( ) = 3 2 + 2 + ，
由题意可知， (0) = 2， ′(0) = 1， ′(1) = 0，
(0) = = 2
所以 ′(0) = = 1 ，解得 = 1， = 1， = 2，
′(1) = 3 + 2 + = 0
所以函数 ( )的解析式为 ( ) = 3 2 2，经检验适合题意，
所以 ( ) = 3 2 2；
(2)由(1)知 ′( ) = 3 2 2 1 = (3 + 1)( 1)，
令 ′( ) = 0，则(3 + 1)( 1) = 0 1，解得 = 3，或 = 1，
当 ∈ [ 1, 13 ) ∪ [1,2]时， ′( ) > 0
1
；当 ∈ ( 3 , 1)时， ′( ) < 0；
1
所以 ( )在[ 1, 3 )和[1,2]
1
上单调递增，在[ 3 , 1)上单调递减，
当 = 1 ( ) 1 1 1 1 493时， 取的极大值为 ( 3 ) = 27 9 + 3 2 = 27，
当 = 1 时， ( )取得极小值为 (1) = 13 12 1 2 = 3，
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又 ( 1) = ( 1)3 ( 1)2 ( 1) 2 = 3， (2) = 23 22 2 2 = 0，
所以 ( ) = 3， ( ) = 0．
16.解：(1) 证明：由 = +1 +3 ( ∈
) 1 = +3 3，得

=
+1
+ 1，

∴ 1 + 1 = 3( 1 1 + )， +1 2 2
∴ { 1 1 1 1 3数列 + }是以 3 为公比，以 + 2 1 2
= 2为首项的等比数列，
∴ 1 + 1 2 =
3 1 2
2
× 3 ，即 = 3 1．
(2) 由题意得 = 2 1．
= 1 ×
1
20 + 2 ×
1 + 3 × 121 22 + + ( 1) ×
1 1
2 2 + × 2 1，
1 1 1 1
2 = 1 × 21 + 2 × 22 + + ( 1) × 2 1 + × 2 ，
1
= 1 + 1 + 1
1
两式相减得： 2 20 21 22 + +
1
2 1 ×
1 2 +2
2 = 1 1 2
= 2 2 ，
2
= 4 +2因为 2 1 < 4，
所以 ≥ 4，
所以使 > 恒成立的最小的整数 为 4．
17.
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18.解：(1)设 ( , )，由 (1,2)、 (3,6)，
得 = (1 , 2 )， = (3 , 6 )，
由 = (1 )(3 ) + (2 )(6 ) = 4，得( 2)2 + ( 4)2 = 1，
可得曲线 的标准方程为( 2)2 + ( 4)2 = 1；
(2)曲线 是以(2,4)为圆心，1 为半径的圆，
当过点 (1,2)的直线斜率不存在时，直线方程为 = 1，满足与圆 相切；
当过点 (1,2)的切线斜率存在时，设切线方程为 2 = ( 1)，即 + 2 = 0，
则 =
|2 4+2 | = 1 3
2 ，解得 = 4，可得切线方程为 3 4 + 5 = 0． +1
综上所述，所求切线方程为 = 1 或 3 4 + 5 = 0．
19.解：(1)因为 ， 分别为椭圆 的上顶点和右顶点，
所以 (0,1)， (2,0)，
又 (4,2)，
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可得直线 2 1 2 0的方程为 = 4 0 + 1，直线 的方程为 = 4 2 ( 2)，
即 4 + 4 = 0， 2 = 0；
(2)不妨设 ( , )， ( , )，
2 2
4 + = 1联立 ，消去 并整理得 5 2 + 8 = 0，
4 + 4 = 0
8
由韦达定理得 + = 5，
因为 = 0，
= 8所以 5，
因为点 在直线 上，
3
所以 = 5，
即 ( 85 ,
3
5 )，
2 2
4 + = 1联立 ，消去 并整理得 5 2 16 + 12 = 0，
2 = 0
16
由韦达定理得 + = 5，
因为 = 2，
6
所以 = 5，
因为点 在直线 上，
4
所以 = 5，
( 6 4即 5 , 5 )，
3
5 (
4
则 = 5
)
=
1
．
8 6 25 5
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