2025年四川省泸州市中考数学模拟试卷1（含解析）

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2025年四川省泸州市中考数学模拟试卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．如图所示物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线交a于点B，交b于点C，直线交a于点D．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（ ）
A． B． C． D．
6．在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B．，
C．， D．
7．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A． B．且 C．且 D．
9．在中，，则a的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象与轴交于两点和，则的值等于（ ）
A． B．1 C．9 D．
11．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．当 时，分式与的值互为相反数．
15．设、分别为方程的两个实数根，则 ．
16．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，17-19每小题6分，20-21每小题7分，22-23每小题8分，24-2每小题12分，共72分。）
17．计算：．
18．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：．
19．化简：．
20．某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
学生成绩扇形统计
等级 成绩
A
60x<70
90x≤100
(1)学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图；
(2)若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？
(3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？
22．如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，)
(1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)；
(2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间)
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
24．如图，在矩形的边上取一点，将沿直线折叠得到，此时点的对称点恰好落在边上，为中点，连接分别与交于两点，且，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求线段的长和的值．
25．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为______；
(2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围．
参考答案
1．【考点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：A、 ，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、 ，是有理数，不符合题意；
故选B．
2．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可．
解：11040000用科学记数法可表示为，
故选：D．
3．【考点】判断简单几何体的三视图
【分析】此题主要考查了几何体的三视图，掌握俯视图的所看的位置是解题的关键；
根据俯视图是从几何体的上面看所得到的视图，进而得出答案；
解：根据俯视图是从几何体的上面看所得到的视图如图所示，
故选：C
4．【考点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，
首先由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
∵，
∴
∵
∴．
故选：B．
5．【考点】计算单项式除以单项式
【分析】本题考查了单项式与单项式除法的应用，用体积除以单项式即可求解．
解：
故选D
6．【考点】添一条件使四边形是矩形
【分析】此题考查了矩形的判定方法．根据矩形的判定定理求解即可．
解：A、，根据对角线相等且平分的四边形是矩形，能判定四边形是矩形，本选项符合题意；
B、，，能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意；
C、，，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意；
D、，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意；
故选：A．
7．【考点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了解分式方程，以及分式方程有意义的条件，解分式方程得出，根据分式方程有意义的条件可得出，即，根据分式方程的解为负数可得出，即可求出的取值范围．
解：
去分母得：，
则，且，即
又∵
∴，且
∴且．
故选：D．
8．【考点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
9．【考点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．先根据已知易证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理即可求解．
解：∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
故选：C．
10．【考点】y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，涉及二次函数图象与性质、二次函数一般式与交点式互化等知识，由二次函数的图象与轴交于两点和，得到，，将它们代入求值即可得到答案．
解：二次函数的图象与轴交于两点和，
，即，
且由二次函数交点式可得，即，
，
故选：B．
11．【考点】应用切线长定理求解、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等考点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
12．【考点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等考点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用．
根据条件先证明出四边形是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可．
解：如图，过点作于点，
矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
设，，则，，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
整理得，
解得或（舍去），
，
在中，由勾股定理得，
根据三角形等面积法可得，
在中，由勾股定理得，
故选：C．
13．【考点】求自变量的取值范围、负整数指数幂
【分析】根据题意，得，根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件解答即可．
本题考查了负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件，熟练掌握条件是解题的关键．
解：根据题意，得，
故自变量x的取值范围是且．
故答案为：且．
14．【考点】解分式方程
【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解：分式与的值互为相反数，
去分母，得∶，
解得：．
经检验，是分式方程的解．
故答案为∶0．
15．【考点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上考点是解答本题的关键．
根据一元二次方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，将所求代数式变形后代入计算，求解即可．
解：分别为方程的两个实数根，
，
，
、分别为方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
16．【考点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查作图﹣基本作图以，解直角三角形，角平分线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等及灵活解直角三角形．过点D作于E，根据角平分线的性质求得，在中，解直角三角形求得，，在中，解直角三角形即可求出．
解：过点D作于E，
∵平分，，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：30．
17．【考点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术立方根，负整数指数幂和零指数幂，再计算加减法即可得到答案．
解：
．
18．【考点】利用相似三角形的性质求解、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质．根据相似三角形的性质，求得，由平行四边形的性质可得，据此即可证明．
解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵
∴．
19．【考点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简即可．
解：
20．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、频数分布直方图、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）先根据等级的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出和的人数，求出扇形统计图中D等级的圆心角度数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可．
（1）解：根据题意，得等级的学生人数为：50人，等级的学生人数占比为：，
本次调查随机抽取的学生总数为：（人，
等级的学生人数占比为：，
等级的学生人数为：（人，
即，
等级的学生人数为：（人，即，
等级的学生人数为70人，
扇形统计图中D等级的圆心角度数为，
等级的学生人数为：（人，
频数分布直方图如下：
；
故答案为：16，；
（2）解：成绩在60分及以上的学生人数占比为：，
全校估计成绩及格的学生有2944人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能得结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率．
【点评】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解．
21．【考点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元；
（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，
根据题意得：，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．
答：总利润的最大值是元．
22．【考点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
（1）过点作交的延长线于点，先根据三角函数求出的长，再根据三角函数求的长即可；
（2）先根据三角函数求出的长，再计算即可．
（1）解：过点作交的延长线于点，则，
由题意可知，，，，
，是等腰直角三角形，
，
．
答：菜鸟驿站与超市的距离约为．
（2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，，
，
，
．
，
小南上美术网课会迟到．
23．【考点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可；
（）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）解：把代入得，，
∴，
∴一次函数的表达式为，，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设直线与轴的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【考点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由折叠的性质得，再推出，证明四边形为平行四边形，由，即可证明四边形为菱形；
（2）利用证明，推出；设，则，，证明，推出，解方程即可求得，在中，利用正弦函数的定义即可求解.
（1）证明：沿直线折叠得到，
，
，
，
，，
，，
四边形为平行四边形，
又，
为菱形；
（2）解：连接，
，
，
，
，即，
在矩形中，
又是菱形，
，平分，
，
在和中，
，
，
；
为中点，，
在荾形中，且在矩形中，
，，，，
得，
且，，
，
，即，
设，则，，
，
解得（舍去），，
，
，
在中，．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．【考点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键．
（1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案；
（2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式；
（3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可．
（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是,
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
此时
当，即时，函数的最小值为2，
当时，即时，
当时，函数取得最大值为，
∴，
当时，即时，
当时，函数取得最大值为，
∴
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
∴
综上所述，
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