重庆市江北区字水中学2024-2025学年高二（下）4月学情调研数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年重庆市江北区字水中学高二（下）4 月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. ( 3)′ = 3 B. (3 )′ = 3 3 C. ( ) 22 ′ = D. ( )′ =
2.某书架的第一层放有 7 本不同的历史书，第二层放有 6 本不同的地理书.从这些书中任取 1 本历史书和 1
本地理书，不同的取法有( )
A. 13 种 B. 42 种 C. 67种 D. 7 种
3.已知函数 ( ) = 在点(2, (2))处的切线的倾斜角为4，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.已知函数 ( ) = ′(1) 2 ，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
5.函数 ( ) = 3 + 1 22 4 的极小值为( )
A. 43 B. 1 C.
5 104
2 D. 27
6.数列{ }的前 项和为 ，首项 1 = 2，若 = 2( ∈ +1 )，则 2020 =( )
A. 22019 B. 22020 C. 22021 D. 22022
7.若函数 ( ) = 2 + + 1( ∈ ) 1在[ 2 , + ∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. [0, + ∞) B. (0, + ∞) C. [ 18 , + ∞) D. (
1
8 , + ∞)
8.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )， ′( )是 ( )的导函数，满足 ′( ) 2 ( ) < 0，且 (3) = 9，则
不等式 (3 ) 9 < 0 的解集是( )
A. (0,1) B. (0,2) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.函数 = ( )的图象在 = 1 的切线的斜率为 0
B.函数 = ( )在(1,2)上单调递增
C. = 1 是函数 = ( )的极小值点
D. (2)是函数 = ( )的极大值
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10.已知函数 ( ) = + 3 ，则下列结论正确的是( )
A. ( )是偶函数 B.若 ( )是增函数，则 ≤ 1
C.当 = 3 时，函数 ( )恰有两个零点 D.当 = 3 时，函数 ( )恰有两个极值点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.在等差数列{ }中， 1 = 3， 100 = 36，则 2 + 3 + 98 + 99 = ______．
12.函数 ( ) = 1 22 2 3 的单调递减区间为______．
13.若关于 的不等式 ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立，则正数 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 83 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 3 2 + + 2．
(1)求 ( )在 = 2 处的切线方程；
(2)求 ( )在区间[ 5,2]上的最大值与最小值．
15.(本小题 16 分)
已知数列{ }为公差不为零的等差数列，其前 项和为 ， 5 = 25，且 2， 5， 14成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若数列{ + }是公比为 2 的等比数列，且 3 = 3，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 16 分)
已知函数 ( ) = + (1 ) + 1( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若对任意 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( + 1) < ( 1) 2( 1)恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 18 分)
现有一张长为 40，宽为 30 的长方形铁皮 ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利
用率为 100%(剪切与焊接不可避免)，不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形 的一个角剪
下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的
底面是边长为 的正方形，高为 ，体积为 ．
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(1)求无盖长方体铁皮盒的表面积(用 ， 表示)．
(2)写出 关于 的函数关系式，并写出 的范围．
(3)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的 为多少？并求出 的最大值．
18.(本小题 18 分)
2
已知函数 ( ) = 2 4 + + 2．
(1)当 = 3 时，求 ( )的单调递减区间；
(2)若 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2).
①求实数 的取值范围；
②证明： ( 1) + ( 2) > 6．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.78
12.(0,3)
13.1
14.
15.
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16.
17.
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2
18.解：(1)当 = 3 时， ( ) = 2 4 + 3 + 2， ( )的定义域为(0, + ∞)．
2
( ) = 4 + 3 = 4 +3 = ( 1)( 3)′ ．
令 ′( ) < 0，得 1 < < 3.所以 ( )的单调递减区间为(1,3)．
2
(2)① ′( ) = 4 + 4 + = ， ∈ (0, + ∞)．
因为 ( )有两个极值点 1， 2，所以方程 2 4 + = 0 有两个不等正根 1， 2，
= 16 4 > 0
所以 1 + 2 = 4 > 0 ，解得 0 < < 4.则实数 的取值范围为(0,4)．
1 2 = > 0
1
②证明： ( ) + ( ) = ( 2 + 21 2 2 1 2) 4( 1 + 2) + 1 2 + 4 = 4．
所以[ ( 1) + ( 2)] + 6 = ( 1) + 2．
令 ( ) = ( 1) + 2(0 < < 4)，下面证明 ( ) > 0，
1 1
求导得 ′( ) = ，显然 ′( ) = 在(0,4)上单调递增．
1
因为 ′(1) = 1 < 0， ′(2) = 2 2 > 0，且 ′( )在(0,4)上连续，
1 1
所以，函数 ′( ) = 存在唯一零点 0 ∈ (1,2)，即 0 = ．0
并且 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0， ∈ ( 0, 4)时， ′( ) > 0，
所以 ( ) = ( 0 1)
1
0 0 + 2 = 3 ( 0 + )．0
1
因为 0 ∈ (1,2)，根据对勾函数的性质得 = 0 + 在(1,2)上单调递增，0
则 2 < ( 0 +
1 5
) < 2，0
所以 ( ) > 0，所以 ( 1) + ( 2) > 6.命题得证．
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