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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第13讲 消元——解二元一次方程组（代入/加减）
要点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
（1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
（2）代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
（3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
要点三、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
要点诠释：
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤——
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
要点四、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【考点1】用代入法解二元一次方程组
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）用代入法解下列方程组：
（1） （2）
【变式1】（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）用代入法解方程组正确的解法是 ．
（）先将①变形为，再代入②；
（）先将①变形为，再代入②；
（）先将②变形为，再代入①；
（）先将②变形为，再代入①．
【考点2】用整体代入法解二元一次方程组
【例2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小智的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组．
【变式1】（22-23七年级下·山西晋城·期末）解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去，得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ．
【考点3】用代入法解二元一次方程组综合运用
【例3】（22-23七年级下·全国·课时练习）已知关于x，y的方程组其中m为常数．
（1）求x（用含m的式子表示）；
（2）若|y|=x，求m的值．
【变式1】（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式2】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ．
【考点4】用加减法解二元一次方程组
【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）用加减法解下列方程组：
（1） （2）
【变式1】（22-23七年级下·广西河池·期末）用加减法解方程时，下列四种变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ．
【考点5】选择合适方法解二元一次方程组
【例5】（22-23七年级下·重庆南川·期末）典例1：阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为，即，③
把方程①代入③得，，
把代入①得，
方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．
（2）已知，满足方程组，求整式的立方根．
【变式1】（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）已知二元一次方程，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．6 D．
【变式2】（2023·山东临沂·二模）已知方程组，则的值是 ．
【考点6】用整体加减法解二元一次方程组
【例6】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）按要求解下列二元一次方程组．
（1）（代入法）； （2）（加减法）．
【变式1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）以下解方程组的步骤正确的是（ ）
A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得
C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得
【变式2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ．
【考点7】用加减法解二元一次方程组综合运用
【例7】（22-23七年级下·山西忻州·期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）方程组的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）根据要求，解答下列问题．
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ．
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ．
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第13讲 消元——解二元一次方程组（代入/加减）
要点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
（1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
（2）代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
（3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
要点三、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
要点诠释：
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤——
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
要点四、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【考点1】用代入法解二元一次方程组
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）用代入法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】略
【变式1】（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】按照题干思路直接作答即可．
解：，
方程①代入②中，得：，
去括号为：，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了代入消元的知识，细心计算是关键．去括号时，若括号前是负号，去括号后，括号内的各项均要变号．
【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）用代入法解方程组正确的解法是 ．
（）先将①变形为，再代入②；
（）先将①变形为，再代入②；
（）先将②变形为，再代入①；
（）先将②变形为，再代入①．
【答案】（）（）/（3）（2）
【分析】根据等式的性质把方程组两方程中的其中一个方程变形，即可得出正确选项．
解：将①变形得或，故（1）错误，（2）正确；
将②变形得或，故（3）正确、（4）错误；
综上分析可知，正确的是（）（）．
故答案为：（）（）．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握等式的性质和运用是解本题的关键．
【考点2】用整体代入法解二元一次方程组
【例2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小智的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入法求解是解题的关键．
（1）直接把①整体代入②求出，进而求出即可；
（2）先把原方程整理得到，再把②整体代入①先求出，进而求出即可．
（1）解：
整理得，
把①整体代入②得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
整理得，
把②整体代入①得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
【变式1】（22-23七年级下·山西晋城·期末）解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去，得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用代入消元法解二元一次方程组，由①得，用含的代数式表示出，再将代入方程②，消去，可得到的值．能够正确代入并化简是解题的关键．
解：，
由①得：，
把③代入②得：，
∴．
故选：B．
【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ．
【答案】 17
【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答；
（1）解：代入式即可得到，进而得到，
故答案为；
（2）解：，
②得：，
③②得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点拨】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
【考点3】用代入法解二元一次方程组综合运用
【例3】（22-23七年级下·全国·课时练习）已知关于x，y的方程组其中m为常数．
（1）求x（用含m的式子表示）；
（2）若|y|=x，求m的值．
【答案】（1）；（2）m=3
解：（1）将①代入②，得3x-m=m-3，解得
（2）把代入①，得，
∴．解得m=3或-3．
当m=-3时，，
∴m=-3（舍）．∴m=3．
【变式1】（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，进而求得的算术平方根．
解：是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
，
的算术平方根为．
故选：A．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．
【变式2】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组解的定义求出的值，再代入方程组得到一个关于的二元一次方程组，求出的值，再代入计算即可．
解：关于的二元一次方程组的解为，
，
解得：，
将代入得，
解得，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
【考点4】用加减法解二元一次方程组
【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）用加减法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤是解答的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先去分母整理方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
得：，
∴，
把代入①得，
∴，
∴方程组的解是；
（2）解：整理得：，
得：，
∴．
把代入①得：，
∴．
∴方程组的解是．
【变式1】（22-23七年级下·广西河池·期末）用加减法解方程时，下列四种变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用加减法解方程组时，要满足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数，把原方程变形要根据等式的性质，本题中方程①×3，②×2， 就可把x的系数变成相等的数．
解：，
×3得：，
×2得：，
组成方程组得：，
故选：D．
【点拨】二元一次方程组的解法有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单，运用加减法解方程组时，要满足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数.
【变式2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了解方式方程组，用换元法求解即可．
解：设，
则原方程组可化为，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴，
∴，
经检验符合题意．
故答案为：．
【考点5】选择合适方法解二元一次方程组
【例5】（22-23七年级下·重庆南川·期末）典例1：阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为，即，③
把方程①代入③得，，
把代入①得，
方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．
（2）已知，满足方程组，求整式的立方根．
【答案】（1）；（2）立方根为2
【分析】（1）根据题目解题步骤进行求解即可；
（2）应用二元一次方程组中的加减消元法思路进行求解即可；
（1）解：
将方程②变形为，即③，
把方程①代入③得，，
把代入①得，
∴方程组的解为
（2）
将方程①②得：，得③
代③入①得，
整式，
∴整式的立方根为2．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，明确题目所给过程步骤是解题的关键．
【变式1】（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）已知二元一次方程，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．6 D．
【答案】B
【分析】解二元一次不等式组得到的值，最后代数求值．
解：，
，
得，
故，
即方程的解为，
将的值代入，
原式．
故选B．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组以及代数求值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式2】（2023·山东临沂·二模）已知方程组，则的值是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加即可求出的值．
解：，
①②得：，
则．
故答案为：3．
【考点6】用整体加减法解二元一次方程组
【例6】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）按要求解下列二元一次方程组．
（1）（代入法）； （2）（加减法）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查解二元一次方程组．
（1）根据方程特点选择代入消元法求解即可；
（2）根据方程特点选择加减消元法求解即可．
（1）解：，
由①得，，
将代入②式得，，
解得，，
将代入①式得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
①×2+②×3得，，解得，，
将代入②式得，，解得，，
∴原方程组的解为
【变式1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）以下解方程组的步骤正确的是（ ）
A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得
C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键．利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案．
解：A、代入法消去m，由①得，故符合题意；
B、代入法消去n，由②得，故不符合题意；
C、加减法消去n，得，故不符合题意；
D、加减法消去m，得，故不符合题意；
故选A．
【变式2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ．
【答案】丙
【分析】本题考查二元一次方程组的求解，求解过程需要根据不同题目特点选择合适解题方法，变量之间其中一个已由另一个表示，利用代入法更为便捷；若变量系数相同或为相反数，加减法更为便捷，据此可得答案．
解：①利用代入消元法解方程组较为简便；
②利用加减消元法解方程组较为简便；
综上，丙所说的方法比较简便；
故答案为：丙．
【考点7】用加减法解二元一次方程组综合运用
【例7】（22-23七年级下·山西忻州·期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案．
解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得；
（3）方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）方程组的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可．
解：分4种情况：
当，时，
方程组变形为，
解得；
当，时，
方程组变形为，无解；
当，时，
方程组变形为，无解；
当，时，
方程组变形为，
解得，与矛盾，无解；
综上可知，方程组的解的个数是：1个，
故选A．
【变式2】（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）根据要求，解答下列问题．
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ．
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ．
【答案】
【分析】（1）观察方程组发现第一个方程x的系数与第二个方程y的系数相等，第一个方程y的系数与第二个方程x的系数相等，可利用加减消元法解方程．
（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；
本题考查了解二元一次方程组，找出题目中二元一次方程组及其解的规律是解题的关键．
解：①
得，
得 ，
解得，
故答案为：；
②
得，
得 ，
解得，
故答案为：；
③
得，
得，
解得，
故答案为：；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为，
故答案为：．
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