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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第16讲 不等式及其性质
知识点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
（1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
（2）五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
（3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
知识点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释：
不等式的基本性质的掌握应注意以下几点——
（1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
（2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【考点1】不等式的概念
【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）52； （7）．
【变式1】把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是（ ）
A．9x﹣7＜11x B．7x+9＜11x C．9x+7＜11x D．7x﹣9＜11x
【变式2】“的加上3大于的5倍”用不等式表示为 .
【考点2】不等式的解及解集
【例2】已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【变式2】对于一个数，我们用表示小于的最大整数 ，例如：，，如果，则的取值范围为 ．
【考点3】不等式的基本性质
【例3】将下列不等式化成“”或“”的形式：
(1)； (2)．
【变式1】下列说法不正确的是（ ）
A．由，得 B．由得
C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，则（c为有理数）
【变式2】写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
【考点4】不等式基本性质的应用
【例4】（1）请认真阅读并完成填空：
根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果，那么______；
②如果，那么______；
③如果，那么______．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
（2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小．
【变式1】﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣a＜1 B．b﹣a＞0 C．a＋1＞0 D．﹣a﹣b＜0
【变式2】a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有 ．
①；②；③；④；⑤．
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第16讲 不等式及其性质
知识点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
（1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
（2）五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
（3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
知识点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释：
不等式的基本性质的掌握应注意以下几点——
（1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
（2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【考点1】不等式的概念
【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）52； （7）．
【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．
解：等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【点拨】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．
【变式1】把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是（ ）
A．9x﹣7＜11x B．7x+9＜11x C．9x+7＜11x D．7x﹣9＜11x
【答案】C
【分析】设有x名同学，根据题意列出不等式解答即可．
解：设有x名同学，根据题意可得：9x+7＜11x，
故选：C．
【点拨】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．
【变式2】“的加上3大于的5倍”用不等式表示为 .
【答案】
【分析】根据题目中运算的先后顺序和数量关系用大于号把代数式连接起来即可.
解：由题意得
故答案为.
【点拨】首先读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和题目中的数量关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【考点2】不等式的解及解集
【例2】已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集
【答案】
【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集．
解：不等式的解集是，
，且，
，，
整理，得：，，
把代入，得，
解得：，
，
解集为：，
把代入得：，
不等式的解集．
【点拨】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键．
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式2】对于一个数，我们用表示小于的最大整数 ，例如：，，如果，则的取值范围为 ．
【答案】﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4
【分析】根据的定义和绝对值的意义分两种情况列出关于x的不等式，解不等式即可．
解：当x＜0时，
∵，
∴x＞﹣3
∴﹣3＜x≤﹣2；
当x＞0时，
∵，
∴x＞3，
∴3＜x≤4，
综上所述，x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4
【点拨】本题考查解不等式，理解的定义和分两种情况是解题的关键．
【考点3】不等式的基本性质
【例3】将下列不等式化成“”或“”的形式：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用不等式的性质求解即可； （2）利用不等式的性质求解即可．
（1）解：两边同时减去，
得，
即；
（2）解：两边同时加上2，
得，
两边同时乘，
得．
【点拨】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变； 不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【变式1】下列说法不正确的是（ ）
A．由，得 B．由得
C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，则（c为有理数）
【答案】D
【分析】根据不等式的性质、不等式的解集逐一进行分析判断即可得．
解：A．由，得，正确，不符合题意；
B．由得，正确，不符合题意；
C．不等式的解一定是不等式的解，正确，不符合题意；
D．若，当c=0时，（c为有理数），故D选项错误，符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，熟练掌握不等式的性质和正确理解不等式的解集的概念是解题的关键．
【变式2】写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
【答案】（答案不唯一）
【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可．
解：由，2均小于2可得，
所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
【考点4】不等式基本性质的应用
【例4】（1）请认真阅读并完成填空：
根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果，那么______；
②如果，那么______；
③如果，那么______．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
（2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小．
【答案】（1）①；②；③；（2）
【分析】本题考查阅读理解，涉及等式和不等式的基本性质、整式加减运算等知识，读懂（1）中“求差法比较大小”，灵活运用是解决问题的关键．
（1）根据等式和不等式的基本性质，移项即可得到答案；
（2）由（1）中“求差法比较大小”，由，计算后与比较大小即可得到答案．
解：（1）根据等式和不等式的基本性质，移项可得：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
故答案为：①；②；③；
（2）
，
，
，即．
【变式1】﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣a＜1 B．b﹣a＞0 C．a＋1＞0 D．﹣a﹣b＜0
【答案】B
【分析】化简﹣（﹣a）＝a，根据数轴得到a＜﹣1＜﹣b＜0，再结合有理数的加减、不等式的性质逐项分析可得答案．
解：﹣（﹣a）＝a，由数轴可得a＜﹣1＜﹣b＜0，
∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，故A选项判断错误，不合题意；
∵﹣b＜0，∴b＞0，b﹣a＞0，故B正确，符合题意；
∵a＜﹣1，∴a+1＜0，故C判断错误，不合题意；
∵a＜﹣b，∴a+b＜0，∴﹣a﹣b＞0，故D判断错误，不合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了有理数的加减法则、不等式的性质、用数轴表示数等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
【变式2】a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有 ．
①；②；③；④；⑤．
【答案】④⑤
【分析】根据数轴可得，再根据有理数的运算法则逐一判断即可．
解：由数轴可知：，
∴，故①错误；
，故②错误，
，故③错误；
，故④正确；
，故⑤正确．
故答案为：④⑤
【点拨】本题考查了数轴、有理数的四则运算，绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
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