26.2 圆的对称性--垂径定理
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课件27张PPT。2009-12-15义务教育课程标准实验教科书《数学》九（下）126.2 圆的对称性第二课时 垂径定理桃铺中学 阮《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）2复习提问1、什么是轴对称图形？我们初中学过的轴对称图形有哪些？ 如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 矩形、正方形、等腰三角形、等边三角形、圆、扇形、等腰梯形、线段、角等等。2、圆是轴对称图形，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 对称轴是任意一条过圆心的直线。无数条 你是用什么方法解决上述问题的?可利用折叠的方法。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）3探究 1、在纸上任意画一⊙O，对折，在半圆上用针刺一个小孔，得到两个重合的点A、BCDABEO直径再把对折的圆摊平，那么折痕CD是 ； 2、连接AB，这里直径CD与弦AB有怎样的位置关系？ CD垂直平分AB即CD平分弦AB所对的两条弧《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）4CEOBA′DAA观察 如图1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，是否一定存在CD平分AB，CD平分弦AB所对的两条弧？当CD是直径时
还需要满足CD⊥AB才存在 如图2，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，是否一定存在CD平分AB，CD平分弦AB所对的两条弧？BCDE不一定存在还需要满足什么条件？不一定存在还需要满足什么条件？当CD⊥AB 时，还需要满足CD是直径才存在当CD⊥AB 时，还需要满足CD过圆心才存在图1图2《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）5条件结论CD为直径
CD⊥ABO分析CD平分AB（1）直径（过圆心的直线）
（2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的劣弧（5）平分弦所对的优弧垂径定理《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）6归纳垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。1、文字语言2、数学语言∵ CD是⊙O的直径
CD⊥AB
∴ AE = EB
3、图形语言O《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）7证明结论O证明：连结OA、OB，∴△OAB为等腰三角形∵ CD⊥AB∴△OAB底边AB上的高OE所在的直线CD是AB的垂直平分线∴点A、B关于直线CD对称则OA＝OB。设点P是圆上任意一点，过点P作PQ⊥CD ，交⊙O于点Q，∴ AE＝BE 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。 求证：AE＝BE ，
。∴⊙O关于直线CD对称P同理 点P与点Q也关于直线CD对称Q《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）82、请画图说明垂径定理的条件和结论。1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。是不是是O练习《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）9垂径定理的几个基本图形《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）10例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E例题1《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）11例题2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。ABCD证明：过O作OE⊥AB，垂足为E∴ AE＝BE CE＝DE ∴ AE－CE＝BE－DE∴ AC＝BD？《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）12MN例题3证明：作直径MN⊥AB∵ AB∥CD∴ MN⊥CD∟∴（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）∴推论：
圆的两条平行弦所夹的弧相等数学语言：∵AB∥CD ∴《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）13O探究ECDAB∟由垂径定理可知：
① ② ③ ④ ⑤（1）① ③ ② ④ ⑤？推论⑴ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。推论⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。任意的弦AB都满足吗？A（2） ② ③ ① ④ ⑤？推论⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）14探究还能得到哪些与上述不同的情况？OECDAB∟（3）① ④ ② ③ ⑤？（4）① ⑤ ② ③ ④？（5）② ④ ① ③ ⑤？（6）② ⑤ ① ③ ④？（7）③ ④ ① ② ⑤？（8）③ ⑤ ① ② ④？（9）④ ⑤ ① ② ③？《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）15 1、如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）
A、3 B、2
C、1 D、0A练习《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）16练习 2、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 、
则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）AB⊥CD第2题图第3题图2圆心到弦的距离叫做弦心距《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）17在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米. AB=37.4m CD =7.2m例题4由垂径定理得：∴ ∴由题设可知：《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）18问题1：如果两条弦所夹的弧相等，那么这两条弦一定平行吗？CDBA《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）19问题2：已知：AB和CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径为5cm。（1）请根据题意画出符合条件的图形。
（2）求出AB与CD间的距离。EF=1cmEF=7cm《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）20问题3：如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下水道的水深，先测得了水管的直径为10m,然后又测得了水面的宽度为8m。你能根据所提供的数据求得水深吗？《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）211、垂径定理及其推论。 如图：对于一个圆中的弦长a、圆心距d、半径r、弓高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量。⑴ d + h = rrd本课小结常用的辅助线是过圆心作弦的垂线段（即弦心距）2、运用垂径定理及其推论解决有关几何问题。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）22 在我们生活中处处存在数学问题。 比如：某村在村口建一个如图形状的门楼，上半部是半圆拱，半径１.５米，圆心距地面２米。现有一辆高２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通过这个门楼吗？课后思考《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）23再见《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）24探究OECDAB（3）① ④ ② ③ ⑤？推论⑶ 平分弦所对优弧的直径垂直平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的劣弧。（4）① ⑤ ② ③ ④？推论⑷ 平分弦所对劣弧的直径垂直平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的优弧。推论 平分弦所对弧的直径垂直平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的另一条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）25探究OECDAB（5）② ④ ① ③ ⑤？推论⑸ 垂直于弦并且平分这条弦所对优弧的直线，经过圆心并且平分这条弦及这条弦所对的劣弧。（6）② ⑤ ① ③ ④？推论⑹ 垂直于弦并且平分这条弦所对劣弧的直线，经过圆心并且平分这条弦及这条弦所对的优弧。推论 垂直于弦并且平分这条弦所对一条弧的直线，经过圆心并且平分这条弦及这条弦所对的另一条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）26探究OECDAB（7）③ ④ ① ② ⑤？推论⑺ 经过弦的中点并且平分这条弦所对优弧的直线，经过圆心并且垂直于这条弦及平分这条弦所对的劣弧。（8）③ ⑤ ① ② ④？推论⑻ 经过弦的中点并且平分这条弦所对劣弧的直线，经过圆心并且垂直于这条弦及平分这条弦所对的优弧。推论 经过弦的中点并且平分这条弦所对一条弧的直线，经过圆心并且垂直于这条弦及平分这条弦所对的另一条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）27探究OECDAB（9）④ ⑤ ① ② ③？推论⑼ 平分一条弦所对两条弧的直线，经过圆心并且垂直平分这条弦。
还需要满足CD⊥AB才存在 如图2，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，是否一定存在CD平分AB，CD平分弦AB所对的两条弧？BCDE不一定存在还需要满足什么条件？不一定存在还需要满足什么条件？当CD⊥AB 时，还需要满足CD是直径才存在当CD⊥AB 时，还需要满足CD过圆心才存在图1图2《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）5条件结论CD为直径
CD⊥ABO分析CD平分AB（1）直径（过圆心的直线）
（2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的劣弧（5）平分弦所对的优弧垂径定理《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）6归纳垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。1、文字语言2、数学语言∵ CD是⊙O的直径
CD⊥AB
∴ AE = EB
3、图形语言O《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）7证明结论O证明：连结OA、OB，∴△OAB为等腰三角形∵ CD⊥AB∴△OAB底边AB上的高OE所在的直线CD是AB的垂直平分线∴点A、B关于直线CD对称则OA＝OB。设点P是圆上任意一点，过点P作PQ⊥CD ，交⊙O于点Q，∴ AE＝BE 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。 求证：AE＝BE ，
。∴⊙O关于直线CD对称P同理 点P与点Q也关于直线CD对称Q《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）82、请画图说明垂径定理的条件和结论。1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。是不是是O练习《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）9垂径定理的几个基本图形《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）10例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E例题1《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）11例题2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。ABCD证明：过O作OE⊥AB，垂足为E∴ AE＝BE CE＝DE ∴ AE－CE＝BE－DE∴ AC＝BD？《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）12MN例题3证明：作直径MN⊥AB∵ AB∥CD∴ MN⊥CD∟∴（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）∴推论：
圆的两条平行弦所夹的弧相等数学语言：∵AB∥CD ∴《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）13O探究ECDAB∟由垂径定理可知：
① ② ③ ④ ⑤（1）① ③ ② ④ ⑤？推论⑴ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。推论⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。任意的弦AB都满足吗？A（2） ② ③ ① ④ ⑤？推论⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）14探究还能得到哪些与上述不同的情况？OECDAB∟（3）① ④ ② ③ ⑤？（4）① ⑤ ② ③ ④？（5）② ④ ① ③ ⑤？（6）② ⑤ ① ③ ④？（7）③ ④ ① ② ⑤？（8）③ ⑤ ① ② ④？（9）④ ⑤ ① ② ③？《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）15 1、如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）
A、3 B、2
C、1 D、0A练习《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）16练习 2、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 、
则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）AB⊥CD第2题图第3题图2圆心到弦的距离叫做弦心距《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）17在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米. AB=37.4m CD =7.2m例题4由垂径定理得：∴ ∴由题设可知：《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）18问题1：如果两条弦所夹的弧相等，那么这两条弦一定平行吗？CDBA《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）19问题2：已知：AB和CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径为5cm。（1）请根据题意画出符合条件的图形。
（2）求出AB与CD间的距离。EF=1cmEF=7cm《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）20问题3：如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下水道的水深，先测得了水管的直径为10m,然后又测得了水面的宽度为8m。你能根据所提供的数据求得水深吗？《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）211、垂径定理及其推论。 如图：对于一个圆中的弦长a、圆心距d、半径r、弓高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量。⑴ d + h = rrd本课小结常用的辅助线是过圆心作弦的垂线段（即弦心距）2、运用垂径定理及其推论解决有关几何问题。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）22 在我们生活中处处存在数学问题。 比如：某村在村口建一个如图形状的门楼，上半部是半圆拱，半径１.５米，圆心距地面２米。现有一辆高２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通过这个门楼吗？课后思考《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）23再见《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）24探究OECDAB（3）① ④ ② ③ ⑤？推论⑶ 平分弦所对优弧的直径垂直平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的劣弧。（4）① ⑤ ② ③ ④？推论⑷ 平分弦所对劣弧的直径垂直平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的优弧。推论 平分弦所对弧的直径垂直平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的另一条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）25探究OECDAB（5）② ④ ① ③ ⑤？推论⑸ 垂直于弦并且平分这条弦所对优弧的直线，经过圆心并且平分这条弦及这条弦所对的劣弧。（6）② ⑤ ① ③ ④？推论⑹ 垂直于弦并且平分这条弦所对劣弧的直线，经过圆心并且平分这条弦及这条弦所对的优弧。推论 垂直于弦并且平分这条弦所对一条弧的直线，经过圆心并且平分这条弦及这条弦所对的另一条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）26探究OECDAB（7）③ ④ ① ② ⑤？推论⑺ 经过弦的中点并且平分这条弦所对优弧的直线，经过圆心并且垂直于这条弦及平分这条弦所对的劣弧。（8）③ ⑤ ① ② ④？推论⑻ 经过弦的中点并且平分这条弦所对劣弧的直线，经过圆心并且垂直于这条弦及平分这条弦所对的优弧。推论 经过弦的中点并且平分这条弦所对一条弧的直线，经过圆心并且垂直于这条弦及平分这条弦所对的另一条弧。《数学》九（下）26.2圆的对称性（二）27探究OECDAB（9）④ ⑤ ① ② ③？推论⑼ 平分一条弦所对两条弧的直线，经过圆心并且垂直平分这条弦。