第一单元 空间向量及其运算 单元教学设计

第一单元 空间向量及其运算（单元教学设计）
内容和内容解析
内容
空间直角坐标系、空间向量及其运算。
内容解析
内容本质：在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置。经理由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
蕴含的思想方法：建立空间直角坐标系和空间向量的运算过程中体现了类比、数形结合的数学思想。
知识的上下位关系：本单元的内容是平面直角坐标系和平面向量的推广和拓展，也为后续空间向量的基本定理及空间向量运算的坐标表示，利用空间向量解决立体几何问题作了基本的知识储备。
育人价值：在建立空间直角坐标系和形成空间向量的概念过程中，采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程，发展学生的数学思维和空间想象能力，提升学生的数学抽象和直观想象的学科核心素养。
采用了类比方法，
目标及其解析
单元目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程
3.了解共面向量的概念，并会判断方法
目标解析
1.能用类比平面向量的概念，给出空间向量的概念，明确空间向量的两个要素。
2.类比平面向量的运算律理解空间向量的运算律。
3.能类比向量的共线通过复习平面向量基本定理得到共面向量的概念。
三、教学重难点
（一）教学重点
通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律.
（二）教学难点
从平面向量推广到空间向量的合理性和严谨性验证；
空间向量加法结合律的证明.
四、教学过程
（一）情境引入
通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.
（二）抽象概念，内涵辨析
任务一：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题
追问 1：你能举几个空间向量的例子吗
追问 2：你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本章我们将学习哪些内容、用到哪些研究方法.
教师总结：在本章的学习中，我们要注意利用类比的方法进行研究，研究内容主要有：空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示；体会推广的合理性和严谨性；利用空间向量表示空间中的几何元素并解决位置、度量等立体几何问题.
请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.
平 面 空间
概念
表示
看大小
看方向
既看大小 又看方向
追问 ：从空间向量的相等概念出发，你对共线向量、平行向量有什么认识 任给两个向量，它们一定共面吗，为什么
（教师引导学生共同归纳出以下几点体会：第一，空间向量是自由的，可以将它们在空间中进行平移；第二，因为向量可以平移，所以共线向量和平行向量本质相同；第三，空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内；第四，涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用.）
任务3：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么 你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义吗
平 面 空 间
加法
减法
数乘
追问：向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗
（学生经过思考后，得出结论“向量的线性运算的结果，与向量起点的选择无关”）
任务4：类比平面向量的研究过程，我们知道，定义了一种运算就要研究它的运算律.你能类比平面向量线性运算的运算律猜想空间向量线性运算的运算律吗
（结合平面向量线性运算的运算律，学生不难得到空间向量线性运算的运算律：(1)交换律: a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;
分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.）
追问1 你能证明这些运算律吗
追问2 经历了上面的研究过程，你能总结出空间向量加法的性质吗
（学生独立思考后，通过合作交流，得出以下结论：
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.
(3)类比平面中求两个向量和的问题可以与平行四边形的对角线建立联系，求三个不共面向量和的问题，可以与这三个向量为边的平行六面体的对角线建立联系.）
任务5：有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以通过向量运算研究空间向量的位置关系.对于空间向量的位置关系，你能提出哪些问题 得出哪些结论
（学生独立思考、小组讨论后进行全班交流，教师帮助梳理后得出：
(1)因为空间任意两个向量都共面，所以对于空间中两个向量的位置关系，平面向量中的有关结论在空间向量中仍然成立.具体的，平面向量共线的充要条件也是空间向量共线的充要条件，当然要注意维数的不同.
(2)对于空间的三个向量，可以有共线、共面和不共面三种位置关系，因此可以研究的问题是：三个向量共线、共面和不共面的充要条件分别是什么 ）
追问1 你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗
（学生独立思考后给出命题：对于任意两个空间向量a，b，①“如果a=λb(λ∈R)，则a∥b”,②“如果a∥b,且b≠0,则存在唯一的实数λ,使得a=λb”,并进行证明.）
追问2 设a是一个非零向量.空间中与a平行的直线有多少条 要使平行于向量a的直线唯一确定，还需要增加什么条件
（学生独立思考、作答，教师帮助学生归纳得出结论.
在此基础上，让学生阅读教科书第4页，明确只要与a共线的非零向量都能确定直线l的方向，由此得到直线方向向量的概念。通过阅读教科书，明确向量a平行于直线、平行于平面以及共面向里的概念.）
任务6 类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗
追问1 如果三个空间向量共线，那么它们的方向是什么关系
追问2 如果三个不共线向量共面，那么它们有什么关系
追问3 你有兴趣研究一下三个向量不共面的充要条件吗 这是一个具有挑战性的问题，哪些同学敢于迎接挑战 请你们课下研究一下.
（教师引导学生回顾平面向量基本定理，并将平面向量基本定理置于空间，通过讨论得出：
(1)如果三个空间向量共线，那么它们的方向相互平行，由平行的传递性可得，它们两两共线，所以可以转化为两个向量共线的问题.
(2)设a，b，p是平面α内的三个不共线向量，不妨设a与b不共线.如果p是α内的一个向量，那么存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb;反之,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b共面.因此，三个空间向量共面的充要条件是：
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y),使p=xa+yb.）
（三）例题练习，巩固理解
例1.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
（让学生归纳用空间向量解决立体几何问题的一般方法，即选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系.
）
（四）课堂小结
今天你学习了那些知识？
学习中用到了哪些数学方法和数学思想？
还有哪些困惑？
（五）板书设计
（六）目标检测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量，若，则． (　　)
(2)相等向量一定是共线向量． (　　)
(3)三个空间向量一定是共面向量． (　　)
(4)零向量没有方向． (　　)
[提示]　(1)×　若时，与 不一定平行．
(2)√　相等向量一定共线，但共线不一定相等．
(3)×　空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．
(4)×　零向量有方向，它的方向是任意的．
2．在三棱锥中，若是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为 ．
（七）作业设计
作业：教科书第5~6页练习第1、2、3、4、5题.
五、教学反思