1.2 空间向量基本定理 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 1.2 空间向量基本定理 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-14 15:21:35 | ||
图片预览
文档简介
1.2空间向量基本定理 教学设计
课题 空间向量基本定理
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
空间向量基本定理是立体几何问题代数化的基础，这个定理的实质是空间任意向量可以用三个不共面的基向量确定。它是平面向量基本定理的推广，本节中教科书从空间中三个两两垂直的不共面的向量这一特殊情况出发，类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理。证明的思路、步骤也基本相同．使学生了解空间向量基本定理的意义，并会选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量、确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．
学习者分析
对学生而言，前面已经学面向量基本定理，掌握了平面向量基本定理解决问题的思想方法。有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的，也不困难．
学习目标确定
1.通过学生的类比猜想等思维活动，了解空间向量基本定理及其意义，培养数学推理的核心素养； 2.通过学生从两两垂直的三个向量到任三个不共面的向量，从特殊到一般引导学生自己证明平面向量基本定理，理解有关基本概念，培养数学抽象的核心素养； 3.通过学生的相互讨论活动，完成例1 的解答，使学生进一步理解基本定理，学会简单应用 发展学生逻辑推理能力与数学运算能力的核心素养．
学习重点难点
教学重点：空间向量基本定理及其意义 教学难点：空间向量基本定理的推导
学习评价设计
学生能够准确回答教师提出的问题，并在小组讨论中正确表达结论； 准确说出空间向量基本定理，会选择基底，并会简单的运用； （3）学生自主完成例题和习题．
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环 节 一复习回顾 问题引入： 1.请同学们回忆平面向量基本定理的内容： 2.类比平面向量基本定理的功能，提出问题1. 问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？ 追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？ 追问2 两个不共线的向量还够用吗？ 追问3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ 学生学习活1. 思考回忆： 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 学生学习活动2：讨论回答这三个问题。 承上启下， 意图：说明至少需要三个向量。 意图：说明当三个向量共面时无法表示与其不共面的向量，因而三个基向量必须要求不共面。 新知探究 探究问题1：当给定的三个向量两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。 如图，设，是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在所确定的平面上的投影向量，则. 问题1：向量位置关系如何？如何表示与. （1）几何做图验证：说明分解方法 学生学习活动3：请学生按照教师的引导依次回答问题，可以通过小组讨论合作交流的方式． 因此存在唯一的实数z，使得，从而. 在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y）使得. 从而. 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称分别为向量在上的分向量. 环 节 二探究问题2： 用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得到类似的结论吗？ 学生任务4. 学生学习活动：思考与讨论： 【解析】如图，将向量平移至共顶点，则以所对应线段为棱的平行六面体中，向量对应线段为该平行六面体对角线，满足，且因平行六面体唯一，所以表示唯一. 指明研究的方法是从特殊到一般.环 节 三归纳结论： 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对任意向量，存在唯一的有序实数组，使得. 基底：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 特别的，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做____________，常用表示.由空间向量基本定理可知，对于任意向量，均可以分解为三个向量，使得，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行___________. 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便. 学生活动5：请学生回答问题。或者学生阅读课本。并填空。 通过从特殊到一般的归纳研究方法，积累学习的经验，提高分析问题、解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象等素养．四、巩固新知 【例1】如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，用向量表示. 学生任务6： 教师引导学生对研究方案进行组内交流讨论，并适当指导学生．由学生回答．互相补充． 【分析】不共面，可以构成一个基底 【解析】解： = 课 堂 小 结问题：通过这节课的学习，你学到了哪些知识？学生任务7： 学生自我总结，并交流分享．空间向量基本定理及有关概念.
板书设计
空间向量基本定理 一、空间向量基本定理及有关概念 二、例题1
作业与拓展学习设计
教科书P14练习：第1、2、3题；习题P15第1、2、3、4题．
特色学习资源分析、技术手段应用说明
学习资源：校本资料 信息技术：几何画板
教学反思与改进
本节课在引导学生探究合作以及交流的过程中，关注学生的认知心理过程，关注学生的发展，淡化终结性评价和评价的筛选评判功能，强调过程评价、自我评价和评价的教育发展功能.教师适时公正的评价和学生自我评价促进了学生的自我反思和再认识。 本节课教学注重引导和层次性，对基础比较薄弱的学生设计分层次的问题以及追问、练习中多给创造机会，力争每一个层次的学生都有机会得到积极地评价，使他们保持自信、爱好数学、善于钻研、从而学会学习的最好培养时机.
课题 空间向量基本定理
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
空间向量基本定理是立体几何问题代数化的基础，这个定理的实质是空间任意向量可以用三个不共面的基向量确定。它是平面向量基本定理的推广，本节中教科书从空间中三个两两垂直的不共面的向量这一特殊情况出发，类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理。证明的思路、步骤也基本相同．使学生了解空间向量基本定理的意义，并会选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量、确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．
学习者分析
对学生而言，前面已经学面向量基本定理，掌握了平面向量基本定理解决问题的思想方法。有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的，也不困难．
学习目标确定
1.通过学生的类比猜想等思维活动，了解空间向量基本定理及其意义，培养数学推理的核心素养； 2.通过学生从两两垂直的三个向量到任三个不共面的向量，从特殊到一般引导学生自己证明平面向量基本定理，理解有关基本概念，培养数学抽象的核心素养； 3.通过学生的相互讨论活动，完成例1 的解答，使学生进一步理解基本定理，学会简单应用 发展学生逻辑推理能力与数学运算能力的核心素养．
学习重点难点
教学重点：空间向量基本定理及其意义 教学难点：空间向量基本定理的推导
学习评价设计
学生能够准确回答教师提出的问题，并在小组讨论中正确表达结论； 准确说出空间向量基本定理，会选择基底，并会简单的运用； （3）学生自主完成例题和习题．
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环 节 一复习回顾 问题引入： 1.请同学们回忆平面向量基本定理的内容： 2.类比平面向量基本定理的功能，提出问题1. 问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？ 追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？ 追问2 两个不共线的向量还够用吗？ 追问3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ 学生学习活1. 思考回忆： 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 学生学习活动2：讨论回答这三个问题。 承上启下， 意图：说明至少需要三个向量。 意图：说明当三个向量共面时无法表示与其不共面的向量，因而三个基向量必须要求不共面。 新知探究 探究问题1：当给定的三个向量两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。 如图，设，是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在所确定的平面上的投影向量，则. 问题1：向量位置关系如何？如何表示与. （1）几何做图验证：说明分解方法 学生学习活动3：请学生按照教师的引导依次回答问题，可以通过小组讨论合作交流的方式． 因此存在唯一的实数z，使得，从而. 在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y）使得. 从而. 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称分别为向量在上的分向量. 环 节 二探究问题2： 用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得到类似的结论吗？ 学生任务4. 学生学习活动：思考与讨论： 【解析】如图，将向量平移至共顶点，则以所对应线段为棱的平行六面体中，向量对应线段为该平行六面体对角线，满足，且因平行六面体唯一，所以表示唯一. 指明研究的方法是从特殊到一般.环 节 三归纳结论： 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对任意向量，存在唯一的有序实数组，使得. 基底：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 特别的，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做____________，常用表示.由空间向量基本定理可知，对于任意向量，均可以分解为三个向量，使得，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行___________. 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便. 学生活动5：请学生回答问题。或者学生阅读课本。并填空。 通过从特殊到一般的归纳研究方法，积累学习的经验，提高分析问题、解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象等素养．四、巩固新知 【例1】如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，用向量表示. 学生任务6： 教师引导学生对研究方案进行组内交流讨论，并适当指导学生．由学生回答．互相补充． 【分析】不共面，可以构成一个基底 【解析】解： = 课 堂 小 结问题：通过这节课的学习，你学到了哪些知识？学生任务7： 学生自我总结，并交流分享．空间向量基本定理及有关概念.
板书设计
空间向量基本定理 一、空间向量基本定理及有关概念 二、例题1
作业与拓展学习设计
教科书P14练习：第1、2、3题；习题P15第1、2、3、4题．
特色学习资源分析、技术手段应用说明
学习资源：校本资料 信息技术：几何画板
教学反思与改进
本节课在引导学生探究合作以及交流的过程中，关注学生的认知心理过程，关注学生的发展，淡化终结性评价和评价的筛选评判功能，强调过程评价、自我评价和评价的教育发展功能.教师适时公正的评价和学生自我评价促进了学生的自我反思和再认识。 本节课教学注重引导和层次性，对基础比较薄弱的学生设计分层次的问题以及追问、练习中多给创造机会，力争每一个层次的学生都有机会得到积极地评价，使他们保持自信、爱好数学、善于钻研、从而学会学习的最好培养时机.