1.1.1 集合的概念与表示 教学设计

集合的概念与表示
1.教学内容
集合的概念与表示。
2.教学目标
(1)通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全 体是否能组成集合，发展数学抽象素养。
(2)知道元素与集合之间的关系，会用符号“∈”“”表示元素与集合的关系；能
用常用数集的符号表示有关集合。
(3)会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的
一般特征，并用描述法表示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养。
3.教学重点与难点
(1)教学重点：集合的概念与表示方法。
(2)教学难点：描述法。
4.教学过程设计
环节一创设情境，提出问题
问题1 思考并回答下面的问题：
(1)你能求出方程x2=2的解吗？
(2)到定点的距离等于定长的点的集合是什么？
师生活动 学生经过思考，依据不同的研究范围，给出不同的答案。教师指明，明确研究对象，确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具；为了准确地进行数学表达和交流，我们
需要学习一些常用逻辑用语。这就是本章我们要学习的两个内容。
[设计意图] 了解本章所学内容及为什么要学习集合。
追问 我们在初中已经接触过一些集合，你能举出一些例子吗？
师生活动 学生结合已有知识例举自然数集、整数集、实数集和不等式解集等。教师指明，为了更有效地使用集合语言，需要进一步了解集合的有关知识，我们先从集
合的概念开始。
[设计意图] 回顾初中所学知识，为学习集合的概念做准备；点明本节课所学
内容。
环节二抽象概念，内涵辨析
问题2 下述例子都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？
(1)1～10之间的所有偶数：
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有的正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根；
(6)地球上的四大洋。
师生活动 教师引导学生分析(1)、(2)，给出相应的描述；学生模仿给出(3)～
(6)的描述。在分析的基础上，给出集合的描述性定义：
一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。
[设计意图] 让学生能够仿照着描述出集合的定义，培养学生的数学抽象能力。
问题3 请大家阅读《普通高中教科书：数学A版必修第一册》（以下简称《必修
一》)①第2页有关内容，思考并回答下列几个问题：
(1)“我们班高个子的同学”能构成集合吗？“我们班最高个子的同学”能构成集合吗？
(2)由实数0，1，2，3，1组成的集合有几个元素？
(3)有实数1，3，5组成的集合记为M，有实数3，1，5组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？
师生活动 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，并进行个别辅导与答疑。同
时，引导学生概括出集合中的元素的特点：确定性、互异性、无序性。
追问 让学生再举出些实例（能构成或者不能构成集合的例子）：并要求说明理由。
[设计意图] 引导学生阅读相关教材，体会集合的本质。通过对问题3及追问的
回答，明确集合元素的确定性、互异性和无序性，培养抽象概括能力。
请大家继续阅读教材的有关内容，并思考：
问题4 如果用A表示我们学校高一(1)班全体同学组成的集合，用α表示高一（1）班的一位同学，b表示高一(2)班的一位同学，那么a、b与集合A分别是什么关系？
师生活动 学生阅读教材中的相关内容，思考问题4，以具体问题作铺垫，让学生明确元素与集合的关系
追问 你知道如何表示元素与集合之间的关系吗？
课堂练习1：
(1)下列各组对象不能组成集合的是( )
(A) 1～20之间的所有质数 (B) 被5除余3的所有整数
(C)太阳系的八大行星 (D)我国生产的较大的轮船(0
(2)用符号“∈”或“”填空：
①设A表示所有亚洲国家组成的集合，则中国 A;英国 A;美国 A;印度 A
②若方程x2=x的实数根组成集合A，则1 A
③若方程x2+x-6=0的实数根组成集合B，则3 B;
[设计意图] 明确元素与集合的关系，学习用符号“∈”“”表示元素与集合之间的关系。
问题5 你知道常用数集如何表示吗？
师生活动学生阅读（必修一》第3页的有关内容，引导学生回忆常用数集的含义，并请学生说出常用数集的符号表示：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N或N+;
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z;
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q;
全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
课堂练习2：
(1)用符号“∈”或“”填空：
0 N;-3 N;0.5 Z; Z; Z; R
(2)由大于1且小于10的自然数组成集合C，则8 C，9.1 C。
[设计意图] 认识并掌握常用数集的符号表示。
环节三 阅读理解集合的表示法
问题6 从上面常用数集的例子看到，可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还
可以用什么方式表示集合呢？请同学们阅读《必修一》第3页的有关内容，然后回答问题：你能用列举法表示下列集合吗？
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合。
师生活动 学生阅读教材，教师可以举例引导。例如，所有小于10的自然数组成的集合，就是将满足条件的所有数写在大括号“｛｝”内，即为｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，这种表示集合的方法是列举法；用列举法表示集合时，虽然不必考虑元素的前后次序，但为了不重不漏地列出，还是要注意按一定的逻辑顺序进行列举；相同的元素不能出现两次；要注意区分a与｛a｝。
[设计意图] 帮助学生学习用列举法表示有关的集合。
问题7 从《必修一》第3页的两道思考题中，你能感悟到什么？
(1)你能用自然语言描述集合｛0，3，6，9｝吗？
(2)你能用列举法表示不等式x-7＜3的解集吗？
师生活动 通过(1)，引导学生领悟自然语言与符号语言之间的转化；通过(2)，引导学生思考、讨论用列举法表示相应集合的困难，同时，让学生思考不能用列举法表示有关集合的理由：不等式x-7＜3的解集，即不等式x＜10的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示。
追问1 我们该如何表示“不等式x-7＜3的解集”呢？
师生活动 引导学生阅读教材，在思考、讨论后得出：首先，明确这个集合中元素
的共同特征，x是实数，且使：一7＜3（即：x＜10）成立：然后，再给出这种共同特征的表示方法：x∈R，且x＜10:最后，写出集合，或者
追问2 整数集可以分为奇数集和偶数集。你能用符号语言表示“奇数集”吗？
师生活动 教师通过问题引导学生思考：奇数能否表示成x=2k+1，x∈Z的形式？反之，形如x=2k+1，x∈Z的整数，是否为奇数？然后得出结论：
奇数集中元素的共同特征是被2除余1，用符号表示即为：x=2k十1，k∈Z。
同理，可再让学生用类似的方法表示偶数集。
在上述活动的基础上，给出集合表示的描述法：
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法就是描述法。
课堂练习3：
(1)在实数集R中，有限小数和无限循环小数都具有 的形式，这些数组成有理数集。那么，有理数的共同特征是什么？你能用描述法表示有理数集吗？
(2)已知集合A=｛x∈N｜2x-1＜0)，1.5∈A吗？2∈A吗？3∈A吗？
(3)如果y∈｛x∈A｜P(x)｝，那么你能得到哪些结论？请你举例说明。
(4)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
①方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A;
②由大于10且小于20的所有整数组成的集合B。
(5)用适当的形式表示下列集合：
①绝对值不大于4的整数组成的集合；
②所有被5整除的数组成的集合；
③方程(x-1)2(x+3)(2x-1)=0的实数解组成的集合；
④二次函数y=x2+1图象上的点组成的集合；
⑤数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合。
在学生完成练习的基础上，给出约定：如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z可以省略，只写其元素x。
例如，集合D=也可表示为D=｛x｜x＜10｝;
集合E=也可表示为E=。
[设计意图] 使学生体会用描述法表示集合的必要性，学会用描述法表示集合；会针对具体问题的特点，选择恰当的表示方法表示集合。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法
表示。
环节四 目标检测，检验效果
用适当的方法表示下列集合：
(1)由方程2x2+x-3=0，x∈N的所有根组成的集合。
[设计意图] 以方程内容为载体，检测集合的表示，此处列举法更简便。
(2)不等式3x≥4-2x的解集。
[设计意图] 以不等式内容为载体，检测集合的表示，此处只能应用描述法。
(3)一次函数y=x+3与二次函数y=-2x2+6图象的交点组成的集合。
[设计意图] 以函数内容为载体，检测集合的表示，此处列举法和描述法皆可。
环节五 小结提升，布置作业
问题8请你带着下列问题回顾一下本课学习的内容：
(1)你认为用集合表示数学的研究对象有什么好处？
(2)你是如何理解符号A∈｛A｝的？
(3)你能举例说明用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点吗？
(4)你认为用描述法表示集合的关键是什么？
师生活动 由学生独立思考后回答，教师带领学生归纳总结，得出：
(1)用集合表示研究对象具有简洁、明确的特点，通过后续学习还可以看到，利用集合的关系和运算，可以得出数学对象的性质、关系等。事实上，集合是现代数学的基本语言和工具，在计算机、人工智能、语言学等大量领域中都有重要应用。
(2)由A∈｛A｝可知，A是一个元素，｛A｝是一个集合，且A是｛A｝中的元素，A
与｛A｝是不同的。
(3)在学生举例说明的基础上指出，不同的表示方法各有特点，在表达研究对象时各有长处，要注意三种语言的转换。
(4)描述法表示集合的关键是要准确概括数学对象的一般特征，这就需要对相应
对象有较为深刻的理解，并能用恰当方式表示出来。因此，描述法可以促进我们对数
学内容的理解，可以提升我们的数学抽象水平。
[设计意图] 在问题引导下，促使学生进一步认识学习集合的必要性，理解属于关
系是集合的基本关系，明确元素A与由元素A组成的集合(A)之间的差异，注意不同
表示法的特点，重视不同表示法之间的转换，强调描述法与对数学内容的本质理解与
符号化表达之间的关系。
课后作业
作业1：《必修一》第5页，习题1.1，第2，3，4题。
[设计意图] 第2、3题练习用指定的方法表示所给集合，第4题是选用恰当的方
法表示所给集合。
作业2：元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地，集合与集合之间的关系又有多少种？如何表示？请同学们通过预习课本来解答。
[设计意图]巩固本节课所学知识，运用类比的思想方法预习下节课内容。