5.5.1.2 两角差的余弦公式 教学设计（表格式）

两角差的余弦公式
一、教学目标
1.通过独立探索和讨论交流，利用三角函数线和数量积导出两角差的余弦公式
2.熟记两角差的余弦公式并能灵活运用
3.体会一般与特殊的关系，培养逻辑思维能力，数形结合思想，树立创新意识
4.借助已学知识探索出数学公式，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到
一般，由具体到抽象的数学思想方法。
二、学情分析
“两角差的余弦公式”这节内容是三角恒等变换这一章的出发点，是众多三角变换公式的鼻祖，地位与意义非同寻常。
教材没有直接给出公式，而是大体分了“探求、证明”两步进行编写，用意十分明显，就是要注重探求过程的教学。而探求过程的处理是否恰到好处，直接关系到能不能充分调动学生的积极性与主动性，关系到能不能促进教学中预设与生成的自然融合。而公式的证明过程，由于向量知识的欠缺，使得证明过程成了一个棘手的问题，既只能用已学的知识，又要证明合理、完整，确实需要推敲。
本课实施过程中，学生可以从不同的角度提出不同的问题，教师教学中必须注意引导学生观察、联想、对比、化归等方法分析问题，站在学生的角度，与学生一起寻找解决问题的突破口和主体思路。
三、教学重点、难点
重点：两角差的余弦公式的推导
难点：两角差的余弦公式的推导
四、教学方法与手段
学习方法：观察发现、归纳总结。 教学手段：多媒体辅助教学,借助三角板探究。
五、教学过程
教学环节 教学内容 设计意图 师生互动
情境导入 问题：(1)大润发超市的电梯长度约为 8 米,坡度（与地面夹角）约为15°，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？ 如何求cos15°=__ ___ 由给出的情境素材，使学生感受到实际问题中对研究两角和（差）公式的需要。 教师引导学生并提出问题：要解决这个实际问题，这节课我们先来探究如何用，的正弦，余弦值来表示的问题，即两角差的余弦公式。
探究新知 探究1 ：三角板是同学们熟悉的作图工具，它里面包含了许多三角形的边角关系，比一比两个三角板的三边，你有什么发现？ 通过直觉猜想，特殊验证，使学生感受到从特殊到一般的思维过程。 让学生自己动脑，动手验证。cos15°=cos（45°-30°)=cos45°- cos30°？
探究新知 怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？ 加强新旧知识的联系性；(2)从特殊到一半，易于理解，突破难点，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识。 探究过程：（1）作出，的终边；（2）做出角的余弦线，以及角的正弦线，余弦线；（3）用几何直观求OM表达式。注意：以上结果是在，都是锐角，且的情况下得到的，所得结果是否对任意角都成立，结论是肯定的，可以让同学们课下完成。
探究2：上面通过回归定义，我们推导出了两角差的余项公式，还有其他方法吗？前面所学的什么知识中有角的余弦 能否利用向量方法探究？（1）在直角坐标系中作单位圆O，以为始边作角，它们的终边分别交单位圆于点，并标出角。（2），，（3），由向量的夹角公式得出 让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用。同学们通过比较发现向量法更简单，认识到向量是重要的数学工具。 （1）先结合图形，让学生明确应选择哪几个向量，自己动手表示；（2）学生回顾向量的夹角公式，并求得探究结果；（3）教师引导学生对探索过程进一步严格化的思考和处理。由向量数量积的概念，角；由于都是任意角，也是任意角，但是由诱导公式，总有一个角，使 若，为的夹角， ＝ 若，则为的夹角，=（以上推导是否有不严谨之处？应如何补充？）
发现结论 （两角差的余弦公式）：对于任意角，都有 使学生进一步熟悉公式，了解公式的结构特征。 师生共同分析公式结构特点：烤烤晒晒符号反，简记为
知识应用 例1：用差角余弦公式求的值。解法1：解法2： 思考：你会求的值吗？ (1)三角变换关注角的拆分；(2)角的拆分的多样性，决定变换的多样性。考察公式正用；思考问题为后面变换函数种类的思考做出铺垫。 （1）求解过程由学生独立完成；(2)通过本例和变式练习，学生应得到对三角变换的一般认识，教师作适当点评。
知识应用 变式1：（1）求cos27°sin78°+sin27°sin12°的值（2）求cos x cos(x+15) +sin x sin(x+15°)的值.（3）求 通过变式练习使学生增进对公式的理解，会对公式进行逆用。 学生独立完成，教师点评；注意公式的正用和逆用。
知识应用 与例1相比，（1）它需要思考使用公式前应求哪些量；(2)要运用同角三角函数的知识。（3）变角题型 学生审题，自己作答，教师对学生表述的步骤，是否规范作出必要的点评和要求。做适当引导，注意角的范围，避免漏解，让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。
巩固练习 　(1)cos165°的值是_______．
(2)sin11°cos19°＋cos11°cos71°＝________．
(3)＝________．
（6）无字证明 1~5题，注意公式的应用应该从公式的“正用，逆用，变用”着手。6题为探究题，得出结论，为下节课的公式探讨，做铺垫 学生动手完成，教师在教室巡查，帮助有困难的学生。
课堂小结 1.两角差的余弦公式的探索及证明思路；2.两角差的余弦公式：（1）公式正用求值时要注意角的范围，范围不确定时可能用到分类讨论的思想，避免漏解；（2）当所求的三角函数值为正弦和余弦函数值之积的和（差）的形式时，一般是通过变换角之间的关系逆用公式；(3)角的变换中角的拆分方法不惟一，关键在于把未知角和已知角建立关系，把未知角向已知角转化。3.本节课所涉及的数学思想方法：数形结合，特殊到一般，化归转化思想。 通过总结，使学生对本节课有一个全面的认识，提高学生的数学思维能力，培养学生强烈的求知欲望。 学生思考，教师引导学生从公式的探索过程和差角余弦公式的结构特点两方面进行小结。
作业设计 探究作业：思考： 作业布置突出本节课知识点，达到巩固目的。 教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法。
评价分析 本节课首先通过引入，让学生感受到研究和差公式的必要，明确了探究目标。在公式的探究中，分了三个层次：一是动手猜想，特殊验证；二是通过对为锐角，且的特殊情况进行探究；三是对一般情形进行探究，这样设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是不断猜想，不断修正，从特殊到一般的思维过程。通过例题和变式的处理，加深了对公式的理解和掌握，为今后建立其他和差角公式打好基础。
板书设计 两角差的余弦公式 公式：例1：例2： 易错：学生板演
y
P
P1
O
x
A
B
C
M
x
y
O
A
B
多媒体