高一下期中模拟基础卷（含解析）

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高一下期中模拟基础卷（含解析）
一、单选题
1．已知复数 ，i为虚数单位，则 为（　　）
A． B． C． D．
2．若向量 ， ， 与 共线，则实数k的值为（　　）
A．-1 B． C．1 D．2
3．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，则 （　　）
A． B．8 C． D．6
4．已知向量满足，且，则（　　）
A． B． C． D．1
5．如下图所示，在某场战争中，一架侦察机在高度为的上空由西向东巡航，发现正前方的地面上有一支装甲车队成直线地由东往西移动，侦察机测得队首车和队尾车的俯角分别为和，则车队长度大约是（　　）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为（　　）．
A． B． C． D．
7．在 中 为边 的三等分点，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中．过点分别作于点，于点．下列说法正确的是（　　）
A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑”
C． D．
二、多选题
9． 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在中，，，则角的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
11．正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（　　）
A．是正六面体
B．正方体的边长为2
C．与正方体的表面积之比是
D．平面与相交所得截面的面积是
三、填空题
12．已知向量，，且满足，则　 　.
13．在 中, 是角 所对的边长,若 ,则 　 　．
14．在棱长为4的正方体 中，P为线段 的中点，若三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　 　.
四、解答题
15．已知．
（1）求与的夹角
（2）求
16．如图，在三棱锥 中，底面 是边长为2的等边三角形， ， ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
17． 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 .
18．如图，在长方体 中，点 在棱 的延长线上，且 ．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求四面体 的体积．
19．在 的三个内角 的对边分别为 ，已知向量 ，且 .
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 ，求边 的最小值.
（Ⅲ）已知 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：B
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
2．【答案】B
【解析】【解答】∵向量 ， ，
∴ ， ，
又 与 共线，∴ ，解得
故答案为：B.
【分析】先分别求出 与 的坐标式，然后根据两个向量共线的条件求解。
3．【答案】A
【解析】【解答】如图，延长AD，BC相交于点P， ，可得 为等边三角形，
所以 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由已知条件即可得出 为等边三角形，结合边的大小由三角形中的几何计算关系计算出结果即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
又因为，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由和数量积为0两向量垂直的等价关系，从而得出，再结合得出，再根据数量积求向量的模的公式得出的值.
5．【答案】B
【解析】【解答】根据题意，可作图，
于，得，，所以，，，根据锐角三角函数，得，利用正弦定理，得，，所以，车队长度大约是。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出车队大约的长度。
6．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，设底面半径为 ，
∵ 与圆锥底面所成角为 ，∴ ，
∴ ，∵母线 ， 所成角的余弦值为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】设底面半径为 ，因为直线 与圆锥底面所成角为 ，所以 ，所以 ，因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出 的值 ，再利用三角形面积公式结合已知条件三角形 的面积为 ，从而求出圆锥底面圆的半径，再利用圆锥的体积公式，从而求出该圆锥的体积。
7．【答案】C
【解析】【解答】 （ 时等号成立），即 的最小值为 ,
故答案为：C.
【分析】利用三等分点的定义结合数量积的运算律，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值。
8．【答案】D
9．【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A选项： 若 ，则m与n可能平行也可能异面，故A选项错误；对于B选项： 若，则 ，则B选项正确；对于C选项： 若，则 ，故C选项正确；对于D选项： 若，则m与n可能平行也可能异面，故D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】本题主要考查直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，根据线面平行的性质即可判定A选项，根据线面垂直结合面面平行的判定即可确定B选项；再根据面面平行的性质即可判定C、D选项.
10．【答案】A,B
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，则，可得，
又因为AB故A，B正确，C、D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据题意利用正弦定理可得，并结合三角形的性质分析求解.
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A不符合题意；
对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B符合题意；
对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C符合题意；
对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点，
且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】画图即可判断A选项；对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，根据新的体积为求其边长即可判断B；分别计算正方体和柏拉图体的表面积判断C选项；对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点，推出四边形是菱形，求其面积判断D选项．
12．【答案】4
【解析】【解答】由已知，又，
所以，．
故答案为：4.
【分析】由向量垂直的坐标表示求解.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：由正弦定理得 ，
又由余弦定理知 ，
∴ .
【分析】根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出 的值.
14．【答案】
【解析】【解答】如图所示： 中点 为 外心，
故球心O在平面 的投影为 ，
设Q为 中点， 于 ，连接 ， ，
则 ， ，
设 ，则 ， ，
解得 ，故 .
故答案为： .
【分析】由已知得到球心O在平面 的投影为 ，利用勾股定理列式 ，解得 ，即可求出球O的表面积.
15．【答案】（1）
（2）
16．【答案】解：（Ⅰ）证明： 为 的中点，且 ， ，
， ，
又 ， 平面 ，
， 分别为 ， 的中点， ，
可得 平面 ；
（Ⅱ）解：由 ， ，
可得 ， ，
， ，又 ，
平面 ．
在等边三角形 中，由边长为2，得 ．
．
为 的中点， 三棱锥 的体积 ．
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由中点的性质以及三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，然后由平行的传递性即可得证出结论。
（Ⅱ） 由勾股定理计算出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，结合三角形的面积公式计算出三角形的面积，然后由三棱锥的体积公式结合等体积法计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ，
而 ，所以 ，
故
（2）解：由（1）知 ，则 ，
又 的面积为 ，
则 ， .
由余弦定理得 ，
解得
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理化简再由两角和的正弦公式即可求出结果。
(2)由(1)的结论结合同角三角函数的基本关系式以及三角形的面积公式计算出b与c的值，然后与余弦定理代入数值计算出答案即可。
18．【答案】解：（Ⅰ）证明：连
四边形 是平行四边形
则
又 平面
//平面
（Ⅱ）由已知得
则
由长方体的特征可知： 平面
而 平面 ， 则
平面 又 平面
平面 平面
（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积=
【解析】【分析】（1）利用已知条件由平行四边形定义得出四边形 是平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，由线线平行证出线面平行的方法，从而证出线面平行。
（2）由已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再利用长方体的结构特征，由线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出面面垂直。
（3）由已知条件结合四棱柱和三棱锥的体积公式作差，从而求出四面体 的体积。
19．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
所以由正弦定理和诱导公式可得
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 12，
当且仅当 时等号成立
所以 ，即 的最小值为 .
（Ⅲ）由正弦定理 可得
，
为锐角
【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面向量平行的坐标关系，代入后由正弦定理化简，结合辅助角公式即可求得角 的值.（Ⅱ）根据平面向量数量积定义，结合余弦定理及基本不等式，即可求得边 的最小值.（Ⅲ）根据正弦定理，先求得 ，由同角三角函数关系式求得 .结合二倍角公式即可求得 ，由同角三角函数关系式求得 .利用正弦差角公式展开，再代入即可求得 的值.
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