甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷
1．（2024高一下·凉州期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，即.
故答案为：D.
【分析】利用向量共线的坐标表示列式计算即可.
2．（2024高一下·凉州期中）已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数的实部为，虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算法则化简，结合复数的概念求解即可.
3．（2024高一下·凉州期中）八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：
①； ②；
③； ④.
其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：①、，故①错误；
②、易知，且，设，如图所示：
因为，所以为中点，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以， 故②正确；
③、，
因为且，所以，
则，
又因为，所以，故③正确；
④、，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据八边形的性质，结合向量线性运算的逐项判断即可.
4．（2024高一下·凉州期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式求解即可.
5．（2024高一下·凉州期中）在中，，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中， ，则，
由正弦定理得，解得.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求解即可.
6．（2024高一下·凉州期中）一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为 ，则两个力的合力的大小为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为 ．
故答案为：C.
【分析】由向量加法的运算性质结合平行四边形法则，计算出结果即可。
7．（2024高一下·凉州期中）已知，是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：易知，设向量与的夹角为θ，
因为，所以，即，解得，
又因为，所以．
故答案为：C.
【分析】设向量与的夹角为θ，将向量的模转化为向量的数量积运算求解即可．
8．（2024高一下·凉州期中）在△ABC中，若AB=4，BC=5，B=60°，则AC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵AB=4，BC=5，B=60°，
∴由余弦定理可得：AC=
故选：A．
【分析】由已知及余弦定理即可求值得解．
9．（2024高一下·凉州期中）关于复数，给出下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．.
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：AC、复数不能比较大小，故AC错误；
B、，则，故B正确；
D、，，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据复数不能比较大小即可判断AC；利用复数的乘方计算即可判断B；分别计算复数的模比较大小即可判断D.
10．（2024高一下·凉州期中）(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：A、正方形形中，，满足向量与共线，但四点不共线，故A错误；
B、若四点在一条直线上，则向量与共线，故B正确；
C、由A选项可知：四点不共线，但向量与共线，故C错误；
D、 若向量与向量共线，因为向量与有公共点，所以三点在一条直线上，
故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用共线向量的意义逐项判断即可.
11．（2024高一下·凉州期中）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期，且在上单调递增，故A正确；
B、函数的最小正周期，但在区间上单调递减，故B错误；
C、函数的最小正周期，
当时，，则在区间上单调递增，故C正确；
D、函数的最小正周期，
当时，，则在区间上非单调，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】逐项求周期，判断单调性判断即可.
12．（2024高一下·凉州期中）复数的共轭复数是 ．
【答案】.
【知识点】共轭复数
【解析】【解答】解：复数的共扼复数为.
故答案为：.
【分析】根据共轭复数的定义直接写答案即可.
13．（2024高一下·凉州期中）若，则 ，
【答案】；
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：，则；
.
故答案为：，.
【分析】根据正切的二倍角公式以及正切的两角和公式求值即可.
14．（2024高一下·凉州期中）已知，若三点共线，则的关系式为 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
因为三点共线，所以，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，写出的坐标，根据三点共线，得，再利用向量共线的坐标表示列式求的关系即可.
15．（2024高一下·凉州期中）已知复数，（i为虚数单位）．
（1）当时，求复数的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．
【答案】（1）解：当时，复数，共轭复数，
则；
（2）解： 复数在复平面内对应的点，
若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，
故m的取值范围为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）将代入，求得复数z，再根据共轭复数的定义求其共轭复数，最后根据复数的乘法求解即可；
（2）根据第三象限实部为负，虚部为负列不等式组求解即可.
（1）当时，，故
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以m的取值范围为
16．（2024高一下·凉州期中）已知，在下列条件下求
（1）向量与平行时；
（2）向量与的夹角为﹔
（3）向量与垂直时．
【答案】（1）解：当向量与平行时，向量与的夹角为或，
则或，
即；
（2）解：向量与的夹角为，则；
（3）解：向量与垂直，则.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量平行夹角为或，根据数量积公式求解即可；
（2）（3）利用向量数量积公式求解即可.
（1）当向量与平行时，向量与的夹角为或，
由向量数量积的定义得或.
所以.
（2）当向量与的夹角为，由向量数量积的定义得，
所以.
（3）当向量与垂直时，向量与的夹角为，由向量数量积的定义得.
所以.
17．（2024高一下·凉州期中）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，，所以，
则；
（2）解：由，，可得，，
因为，所以，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式求解即可；
（2）由求出，得到，再利用二倍角公式求出，利用同角三角函数平方关系，求出，最后利用余弦的两角差公式求解即可.
（1），，
，
；
（2），，
，
，
，
.
18．（2024高一下·凉州期中）已知，，求的值．
【答案】解：由题意可得：解得
则．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】两角和差的正弦公式将已知条件展开，求得和的值，再利用同角三角函数基本关系的商数关系求解即可.
19．（2024高一下·凉州期中）已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知均为锐角，，求的值.
【答案】（1）解：，
则，即函数的最小正周期为；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解即可；
（2）根据已知条件求出，再根据正弦的差角公式求值即可.
（1），
所以，
即函数的最小正周期为
（2）因为，所以，
又因为，所以.
因为，所以，
所以
1 / 1甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷
1．（2024高一下·凉州期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．6 D．
2．（2024高一下·凉州期中）已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·凉州期中）八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：
①； ②；
③； ④.
其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．（2024高一下·凉州期中）等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·凉州期中）在中，，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．（2024高一下·凉州期中）一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为 ，则两个力的合力的大小为（ ）
A． B．0 C． D．
7．（2024高一下·凉州期中）已知，是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·凉州期中）在△ABC中，若AB=4，BC=5，B=60°，则AC=（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·凉州期中）关于复数，给出下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．.
10．（2024高一下·凉州期中）(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
11．（2024高一下·凉州期中）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一下·凉州期中）复数的共轭复数是 ．
13．（2024高一下·凉州期中）若，则 ，
14．（2024高一下·凉州期中）已知，若三点共线，则的关系式为 .
15．（2024高一下·凉州期中）已知复数，（i为虚数单位）．
（1）当时，求复数的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．
16．（2024高一下·凉州期中）已知，在下列条件下求
（1）向量与平行时；
（2）向量与的夹角为﹔
（3）向量与垂直时．
17．（2024高一下·凉州期中）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．（2024高一下·凉州期中）已知，，求的值．
19．（2024高一下·凉州期中）已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知均为锐角，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，即.
故答案为：D.
【分析】利用向量共线的坐标表示列式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数的实部为，虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算法则化简，结合复数的概念求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：①、，故①错误；
②、易知，且，设，如图所示：
因为，所以为中点，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以， 故②正确；
③、，
因为且，所以，
则，
又因为，所以，故③正确；
④、，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据八边形的性质，结合向量线性运算的逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中， ，则，
由正弦定理得，解得.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为 ．
故答案为：C.
【分析】由向量加法的运算性质结合平行四边形法则，计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：易知，设向量与的夹角为θ，
因为，所以，即，解得，
又因为，所以．
故答案为：C.
【分析】设向量与的夹角为θ，将向量的模转化为向量的数量积运算求解即可．
8．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵AB=4，BC=5，B=60°，
∴由余弦定理可得：AC=
故选：A．
【分析】由已知及余弦定理即可求值得解．
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：AC、复数不能比较大小，故AC错误；
B、，则，故B正确；
D、，，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据复数不能比较大小即可判断AC；利用复数的乘方计算即可判断B；分别计算复数的模比较大小即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：A、正方形形中，，满足向量与共线，但四点不共线，故A错误；
B、若四点在一条直线上，则向量与共线，故B正确；
C、由A选项可知：四点不共线，但向量与共线，故C错误；
D、 若向量与向量共线，因为向量与有公共点，所以三点在一条直线上，
故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用共线向量的意义逐项判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期，且在上单调递增，故A正确；
B、函数的最小正周期，但在区间上单调递减，故B错误；
C、函数的最小正周期，
当时，，则在区间上单调递增，故C正确；
D、函数的最小正周期，
当时，，则在区间上非单调，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】逐项求周期，判断单调性判断即可.
12．【答案】.
【知识点】共轭复数
【解析】【解答】解：复数的共扼复数为.
故答案为：.
【分析】根据共轭复数的定义直接写答案即可.
13．【答案】；
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：，则；
.
故答案为：，.
【分析】根据正切的二倍角公式以及正切的两角和公式求值即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
因为三点共线，所以，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，写出的坐标，根据三点共线，得，再利用向量共线的坐标表示列式求的关系即可.
15．【答案】（1）解：当时，复数，共轭复数，
则；
（2）解： 复数在复平面内对应的点，
若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，
故m的取值范围为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）将代入，求得复数z，再根据共轭复数的定义求其共轭复数，最后根据复数的乘法求解即可；
（2）根据第三象限实部为负，虚部为负列不等式组求解即可.
（1）当时，，故
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以m的取值范围为
16．【答案】（1）解：当向量与平行时，向量与的夹角为或，
则或，
即；
（2）解：向量与的夹角为，则；
（3）解：向量与垂直，则.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量平行夹角为或，根据数量积公式求解即可；
（2）（3）利用向量数量积公式求解即可.
（1）当向量与平行时，向量与的夹角为或，
由向量数量积的定义得或.
所以.
（2）当向量与的夹角为，由向量数量积的定义得，
所以.
（3）当向量与垂直时，向量与的夹角为，由向量数量积的定义得.
所以.
17．【答案】（1）解：因为，，所以，
则；
（2）解：由，，可得，，
因为，所以，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式求解即可；
（2）由求出，得到，再利用二倍角公式求出，利用同角三角函数平方关系，求出，最后利用余弦的两角差公式求解即可.
（1），，
，
；
（2），，
，
，
，
.
18．【答案】解：由题意可得：解得
则．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】两角和差的正弦公式将已知条件展开，求得和的值，再利用同角三角函数基本关系的商数关系求解即可.
19．【答案】（1）解：，
则，即函数的最小正周期为；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解即可；
（2）根据已知条件求出，再根据正弦的差角公式求值即可.
（1），
所以，
即函数的最小正周期为
（2）因为，所以，
又因为，所以.
因为，所以，
所以
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