4.1 因式分解 培优练习—北师大版数学八年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·锦州期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
2．（2024八下·福田期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：，因式分解不彻底，故选项A不符合题意；
B：，因式分解错误，故选项B不符合题意；
C：错误，没有全部做到因式分解，故选项C不符合题意；
D：，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式和完全平方公式）和十字相乘法.
对于选项A：利用提公因式法，提取公因式2，可得，再利用平方差公式：，整理得：，故选项A错误；
对于选项B：利用提公因式法，提取公因式x，可得：，故选项B错误；
对于选项C：是先进行乘法运算后再做加法，结果是多项式的和的形式，不符合因式分解的定义，所以该选项错误；
对于选项D：利用提公因式法，提取公因式-1，可得：，再利用完全平方公式：，整理得：，故该选项正确；
由此即可判断出答案.
3．（2024八下·成都期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
4．（2024八下·重庆市期中）已知有一个因式为，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
5．（2024八下·重庆市期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
6．（2022八下·紫金期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，只有符合该定义，
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变为乘积的形式逐项判断即可。
7．（2023八下·达川期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
8．（ 因式分解的意义 ）下列式子不能因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．3x2+2x C．x2+25 D．x2﹣4x+4
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故选项错误；
B、3x2+2x=x（3x+2），故选项错误；
C、x2+25不能分解，选项正确；
D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误．
故选C．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及提公因式法即可作出判断．
二、填空题（每题4分，共32分）
9．（2024八下·青羊期中）若二次三项式可分解为，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的概念
10．（2024八下·雁塔期中）若多项式因式分解为，则．
【答案】3
【知识点】因式分解的概念
11．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=，
∴m=5，n=6，
∴m-n=5-6=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。
12．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
【答案】15
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
13．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是
【答案】4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得，
4a2﹣1，
=（2a）2﹣12，
=（2a﹣1）（2a+1），
故4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）．
答案不唯一．
【分析】任选两式做差，例如，4a2；﹣1，运用平方差公式因式分解，即可解答．
14．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k=
【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
=x2+2x﹣15，
=x2﹣kx﹣15，
∴﹣k=2，
解得k=﹣2．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．
15．（ 因式分解的意义 ）如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m= ，n= ．
【答案】﹣2；2
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得
x2﹣3x+n=x2+（m﹣1）x﹣m．
m﹣1=﹣3，n=﹣m．
解得m=﹣2，n=2，
故答案为：﹣2，2．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为
【答案】-1
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
∴k=﹣4，b=3，
则k+b=﹣4+3=﹣1．
故答案为：﹣1
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
三、解答题（共7题，共44分）
17．如果x﹣4是多项式2x2﹣6x+m的一个因式，求m的值．
【答案】解：2x2﹣6x+m=（x﹣4）（2x+2），
m=﹣8
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
18．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
【答案】解：（x+2）（x+4）=x2+6x+8=x2+（m+k）x+k，
，
解得．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
19．（2023八下·揭西期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
【答案】，
【知识点】因式分解的概念
20．（2024八下·建平期末）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
（1）若二次三项式可分解为，则______．
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
【答案】（1）4
（2）另一个因式为，b值为1
【知识点】因式分解的概念
21．（2024八下·郑州经济技术开发期中）仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．
【知识点】整式的混合运算；因式分解的概念；合并同类项法则及应用
22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
1 / 14.1 因式分解 培优练习—北师大版数学八年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·锦州期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·福田期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·成都期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（2024八下·重庆市期中）已知有一个因式为，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
5．（2024八下·重庆市期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·紫金期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2023八下·达川期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
8．（ 因式分解的意义 ）下列式子不能因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．3x2+2x C．x2+25 D．x2﹣4x+4
二、填空题（每题4分，共32分）
9．（2024八下·青羊期中）若二次三项式可分解为，则m的值为 ．
10．（2024八下·雁塔期中）若多项式因式分解为，则．
11．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ．
12．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
13．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是
14．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k=
15．（ 因式分解的意义 ）如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m= ，n= ．
16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为
三、解答题（共7题，共44分）
17．如果x﹣4是多项式2x2﹣6x+m的一个因式，求m的值．
18．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
19．（2023八下·揭西期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
20．（2024八下·建平期末）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
（1）若二次三项式可分解为，则______．
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
21．（2024八下·郑州经济技术开发期中）仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：，因式分解不彻底，故选项A不符合题意；
B：，因式分解错误，故选项B不符合题意；
C：错误，没有全部做到因式分解，故选项C不符合题意；
D：，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式和完全平方公式）和十字相乘法.
对于选项A：利用提公因式法，提取公因式2，可得，再利用平方差公式：，整理得：，故选项A错误；
对于选项B：利用提公因式法，提取公因式x，可得：，故选项B错误；
对于选项C：是先进行乘法运算后再做加法，结果是多项式的和的形式，不符合因式分解的定义，所以该选项错误；
对于选项D：利用提公因式法，提取公因式-1，可得：，再利用完全平方公式：，整理得：，故该选项正确；
由此即可判断出答案.
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
5．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
6．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，只有符合该定义，
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变为乘积的形式逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
8．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故选项错误；
B、3x2+2x=x（3x+2），故选项错误；
C、x2+25不能分解，选项正确；
D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误．
故选C．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及提公因式法即可作出判断．
9．【答案】
【知识点】因式分解的概念
10．【答案】3
【知识点】因式分解的概念
11．【答案】
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=，
∴m=5，n=6，
∴m-n=5-6=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。
12．【答案】15
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
13．【答案】4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得，
4a2﹣1，
=（2a）2﹣12，
=（2a﹣1）（2a+1），
故4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）．
答案不唯一．
【分析】任选两式做差，例如，4a2；﹣1，运用平方差公式因式分解，即可解答．
14．【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
=x2+2x﹣15，
=x2﹣kx﹣15，
∴﹣k=2，
解得k=﹣2．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．
15．【答案】﹣2；2
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得
x2﹣3x+n=x2+（m﹣1）x﹣m．
m﹣1=﹣3，n=﹣m．
解得m=﹣2，n=2，
故答案为：﹣2，2．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
16．【答案】-1
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
∴k=﹣4，b=3，
则k+b=﹣4+3=﹣1．
故答案为：﹣1
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
17．【答案】解：2x2﹣6x+m=（x﹣4）（2x+2），
m=﹣8
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
18．【答案】解：（x+2）（x+4）=x2+6x+8=x2+（m+k）x+k，
，
解得．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
19．【答案】，
【知识点】因式分解的概念
20．【答案】（1）4
（2）另一个因式为，b值为1
【知识点】因式分解的概念
21．【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．
【知识点】整式的混合运算；因式分解的概念；合并同类项法则及应用
22．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
23．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
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