4.2 提取公因法 培优练习—北师大版数学八年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·高碑店月考）下列因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
2．（2024八下·贵阳期中）多项式的公因式是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的公因式是，
故选：B．
【分析】
提公因式必须先确定最大公因式，其方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
3．（2025八下·龙马潭开学考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值
4．（2024八下·丰顺期末）利用因式分解计算（ ）
A．1 B．2023 C．2024 D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=2023×1
=2023
故答案为：B
【分析】提公因式计算即可求出答案.
5．（2024八下·深圳期末）下列各式中，不含因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），A正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，B正确；
C、a2-1=（a+1）（a-1），C正确；
D、a2+a+=（a+）2，D错误．
故答案为：D．
【分析】本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子。
6．（2024八下·佛冈期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解且分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、因式分解错误，不符合题意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，且因式分解正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2020八下·武侯期末）多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（ ）
A．m+2 B．m﹣2 C．m+4 D．m﹣4
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】2m+4=2(m+2)，
m2+4m+4=(m+2)2，
∴多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是(m+2)，
故答案为：A．
【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项．
8．（2020八下·宝安月考）某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy （4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）
A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．
故答案为：C．
【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2023八下·高碑店期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式的概念
10．（2024八下·清苑期末）已知实数满足，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值
11．（2025八下·杭州月考）当时，代数式= .
【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
12．（2025八下·江夏月考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；公因式的概念；二次根式的混合运算
13．（2023八下·武功期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x(x+2)-x-2=x(x+2)-(x+2)=(x+2)(x-1).
故答案为：(x+2)(x-1).
【分析】原式可变形为x(x+2)-(x+2)，然后提取公因式(x+2)即可.
14．（2020八下·莲湖期末）多项式 与多项式 的公因式分别是 .
【答案】x-1
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：多项式 ＝a(x＋1)(x－1)
2x2－4x＋2＝2(x－1)2
所以两个多项式的公因式是x－1.
故答案为：x-1.
【分析】分别对2个多项式因式分解，再取公因式.
15．（2023八下·白银期末）将多项式提公因式3xy后，另一个因式为 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，
∴提公因式3xy后，另一个因式为：，
故答案为：.
【分析】利用提取公因式的方法将代数式变形为即可得到答案.
16．（2021八下·牡丹期末）化简： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
【分析】将（a+1）当作整体，不断的提取公因式（a+1）即可得到答案。
三、解答题（共8题，共52分）
17．分解因式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式=3x
（2）解：原式 =
（3）解：原式=（a+b）（a+b+1）.
（4）解：原式= ．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】运用提取公因式法则分解即可. 特别地，对于第（4）小题，需要通过添加负号以找到公因式.
18．（2024八下·罗湖期中） 因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c
（2）(x-2)2-x+2.
【答案】（1）解：8a3b2+12ab3c
.
（2）解：（x-2）2-x+2
=（x-2）（x-3）.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；
（2）把(x-2)看成一个整体，根据提公因式法因式分解即可.
19．（2020八下·官渡月考）已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求a2b－ab2的值．
【答案】解：∵a＝3＋2 ，b＝3－2 ，
∴ab= ,
∴ .
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先求出ab和的值,再分解因式后整体代入即可.
20．先化简，再求值：
（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．
（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．
【答案】解：（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，
=2a2b﹣2ab2﹣3a2b+3+2ab2+1
=﹣a2b+4
当a=1，b=2时，
原式=﹣12×2+4
=2；
（2）原式=（a+b）（2a﹣a﹣b）
=（a+b）（a﹣b）
=a2﹣b2，
当a=3，b=5时，
原式=32﹣52=﹣16．
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）首先去括号，进而合并同类项，在将a，b代入求出即可；
（2）直接提取公因式，进而合并，再将已知代入求出答案．
21．（2024八下·张家口期末）已知，，求的值．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；公因式的概念；二次根式的化简求值
22．（2024八下·汝州月考）先阅读下面的材料，再解决问题：
因式分解多项式：am+an+bm+bn，
先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：
得：a（m+n）+b（m+n）
再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．
于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状．
【答案】（1）(a+b)(b﹣c)
（2）△ABC是直角三角形
【知识点】公因式的概念；勾股定理的逆定理
23．（2024八下·商河期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
＝
＝
＝
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：；
（3）猜想：分解因式的结果是 ．
【答案】（1）提公因式法
（2）
（3）
【知识点】公因式的概念；探索数与式的规律
24．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是 法，共应用了 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是
【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
1 / 14.2 提取公因法 培优练习—北师大版数学八年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·高碑店月考）下列因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·贵阳期中）多项式的公因式是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2025八下·龙马潭开学考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·丰顺期末）利用因式分解计算（ ）
A．1 B．2023 C．2024 D．
5．（2024八下·深圳期末）下列各式中，不含因式的是( )
A． B． C． D．
6．（2024八下·佛冈期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解且分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八下·武侯期末）多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（ ）
A．m+2 B．m﹣2 C．m+4 D．m﹣4
8．（2020八下·宝安月考）某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy （4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）
A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2023八下·高碑店期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ．
10．（2024八下·清苑期末）已知实数满足，，则的值为 ．
11．（2025八下·杭州月考）当时，代数式= .
12．（2025八下·江夏月考）已知，则 ．
13．（2023八下·武功期末）因式分解： ．
14．（2020八下·莲湖期末）多项式 与多项式 的公因式分别是 .
15．（2023八下·白银期末）将多项式提公因式3xy后，另一个因式为 ．
16．（2021八下·牡丹期末）化简： ．
三、解答题（共8题，共52分）
17．分解因式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
18．（2024八下·罗湖期中） 因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c
（2）(x-2)2-x+2.
19．（2020八下·官渡月考）已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求a2b－ab2的值．
20．先化简，再求值：
（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．
（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．
21．（2024八下·张家口期末）已知，，求的值．
22．（2024八下·汝州月考）先阅读下面的材料，再解决问题：
因式分解多项式：am+an+bm+bn，
先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：
得：a（m+n）+b（m+n）
再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．
于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状．
23．（2024八下·商河期中）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
＝
＝
＝
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：；
（3）猜想：分解因式的结果是 ．
24．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是 法，共应用了 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
2．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的公因式是，
故选：B．
【分析】
提公因式必须先确定最大公因式，其方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
3．【答案】A
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=2023×1
=2023
故答案为：B
【分析】提公因式计算即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），A正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，B正确；
C、a2-1=（a+1）（a-1），C正确；
D、a2+a+=（a+）2，D错误．
故答案为：D．
【分析】本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子。
6．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、因式分解错误，不符合题意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，且因式分解正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】2m+4=2(m+2)，
m2+4m+4=(m+2)2，
∴多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是(m+2)，
故答案为：A．
【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项．
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．
故答案为：C．
【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．
9．【答案】
【知识点】公因式的概念
10．【答案】
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值
11．【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；公因式的概念；二次根式的混合运算
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x(x+2)-x-2=x(x+2)-(x+2)=(x+2)(x-1).
故答案为：(x+2)(x-1).
【分析】原式可变形为x(x+2)-(x+2)，然后提取公因式(x+2)即可.
14．【答案】x-1
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：多项式 ＝a(x＋1)(x－1)
2x2－4x＋2＝2(x－1)2
所以两个多项式的公因式是x－1.
故答案为：x-1.
【分析】分别对2个多项式因式分解，再取公因式.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，
∴提公因式3xy后，另一个因式为：，
故答案为：.
【分析】利用提取公因式的方法将代数式变形为即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
【分析】将（a+1）当作整体，不断的提取公因式（a+1）即可得到答案。
17．【答案】（1）解：原式=3x
（2）解：原式 =
（3）解：原式=（a+b）（a+b+1）.
（4）解：原式= ．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】运用提取公因式法则分解即可. 特别地，对于第（4）小题，需要通过添加负号以找到公因式.
18．【答案】（1）解：8a3b2+12ab3c
.
（2）解：（x-2）2-x+2
=（x-2）（x-3）.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；
（2）把(x-2)看成一个整体，根据提公因式法因式分解即可.
19．【答案】解：∵a＝3＋2 ，b＝3－2 ，
∴ab= ,
∴ .
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先求出ab和的值,再分解因式后整体代入即可.
20．【答案】解：（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，
=2a2b﹣2ab2﹣3a2b+3+2ab2+1
=﹣a2b+4
当a=1，b=2时，
原式=﹣12×2+4
=2；
（2）原式=（a+b）（2a﹣a﹣b）
=（a+b）（a﹣b）
=a2﹣b2，
当a=3，b=5时，
原式=32﹣52=﹣16．
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）首先去括号，进而合并同类项，在将a，b代入求出即可；
（2）直接提取公因式，进而合并，再将已知代入求出答案．
21．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；公因式的概念；二次根式的化简求值
22．【答案】（1）(a+b)(b﹣c)
（2）△ABC是直角三角形
【知识点】公因式的概念；勾股定理的逆定理
23．【答案】（1）提公因式法
（2）
（3）
【知识点】公因式的概念；探索数与式的规律
24．【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
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