第四章 《三角形》1 认识三角形（2）—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2021七下·杨浦期中）如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）
A．9厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．2厘米
2．（2023七下·福田期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，7 B．3，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10
3．（2024七下·长春期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得，那么点与点之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·黄浦期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024七下·沈阳期中）在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·修水期末）有4根细木棒，其长度分别为，，，．从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
7．（2024七下·广平期末）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的范围是 ．
8．（2024七下·无锡月考）若三条线段a，b，c可组成三角形，且，c是奇数，则c的值为 ．
9．（2024七下·吉州月考）已知三角形的三边长为4，x，11，化简的结果为 ．
10．（2022七下·镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 .
三、解答题（共5题，共50分）
11．在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形；
（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是 三角形；
（3）如果三角形的两个内角都小于40，那么这个三角形是 三角形。
12．（2024七下·深圳期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若，且c为偶数．求的周长．
（2）化简：．
13．（2023七下·揭西月考）已知的三边长是，，．
（1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求边的长；
（2）化简．
14．（2022七下·台江期末）如图，在中，已知，和的平分线相交于点．
（1）求的度数；
（2）试比较与的大小，写出推理过程．
15．（2023七下·宣汉期末）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴
∴
∴．
问题：
（1）若，求的值．
（2）已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系可得：8﹣6＜a＜8+6，
解得：2＜a＜14．
故第三边不可能是2，
故答案为：D．
【分析】设第三边为a，根据三角形三边的关系可得2＜a＜14，再求解即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+3=6<7，
长度为3、3、7的三条线段不能组成三角形，A错误；
B、3+4=7<8，
长度为3、4、8的三条线段不能组成三角形，B错误；
C、5+6=11，
长度为5、6、11的三条线段不能组成三角形，C错误；
D、5+6=11>10，
长度为5、6、10的三条线段不能组成三角形，D正确，
故答案为：D.
【分析】三角形任何两边的和大于第三边.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设，，
∴
∴
∴点与点之间的距离不可能是，
故选：D．
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，列出设，得到不等式，即可求解．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：四条木棒任选三根，有以下几种组合方式：①2、3、5；②2、3、6；③2、5、6；④3、5、6。其中①②不能组成三角形，③④可以组成三角形。
故答案为：B。
【分析】首先把任选三根木棒的组合方式找出来，然后根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，
∴∠B=3∠A，∠C=5∠A，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+3∠A+5∠A=180°，解得：∠A=20°，
∴∠C=5∠A=100°.
∴△ABC是钝角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理并结合已知条件可得关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数，然后代入∠C可求出∠C的度数即可判断求解.
6．【答案】
【知识点】三角形三边关系；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： 有4根细木棒，其长度分别为，，，．从中任选3根，有以下四种情况：，，；，，；，，；，，，而组成三角形的结果1种，故恰好能搭成一个三角形的概率是
故答案为：.
【分析】有4根木棒，从中任选3根，先列举出所有情况：，，；，，；，，；，，，而组成三角形的结果只有，，，根据概率公式进行计算即可.
7．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：5-3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8．
故答案为：2＜x＜8．
【分析】
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到答案。
8．【答案】5或7或9
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵c是奇数，
∴或7或9．
故答案为：5或7或9
【分析】先根据三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）得到，进而得到，再根据c是奇数结合题意即可求解。
9．【答案】11
【知识点】三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵三角形的三边为4、x、11，
由三角形三边关系得：11-4＜x＜11+4，
即：，
∴，
故答案为：11．
【分析】根据三角形三边关系可求出，然后化简绝对值求解即可．
10．【答案】12
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：分两种情况，
当a=2时，由2+2<5，故不能构成三角形；
当a=5时，5+2>5，能构成三角形，故三角形周长=5+5+2=12.
故答案为：12.
【分析】分a=2、a=5，根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，进而可得周长.
11．【答案】（1）锐角
（2）直角
（3）钝角
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：(1)因为三角形三个内角都相等，且三角形内角和为180°，
所以三个角都为60°，
即：三角形为锐角三角形．
故答案为：锐角
(2)设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，
且∠A+∠B=∠C，
又因为∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+∠B=∠C=90°，
所以三角形为直角三角形．
故答案为：直角
(3)设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，
且∠A＜40°，∠B＜40°，
即：∠A+∠B＜80°．
因为三角形内角和为180°，
所以∠C＞180°-80°，
即：∠C＞100°．
所以三角形为钝角三角形．
故答案为：钝角
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出每个角的度数，再根据锐角三角形的定义即可求解；
（2）根据题意设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，则∠A+∠B=∠C，进而即可得到∠A+∠B=∠C=90°，根据直角三角形的定义即可求解；
（3）设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，则∠A＜40°，∠B＜40°，即∠A+∠B＜80，再根据三角形内角和定理得到∠C＞100°，进而根据钝角三角形的定义即可求解。
12．【答案】（1）解：，
，即，
由于c是偶数，则或6，
当时，的周长为，
当时，的周长为．
综上所述，的周长为11或13．
（2）解：的三边长为a，b，c，
，
．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求得c的取值范围，得出c的值，结合三角形的周长公式，列出算式，即可求解；
（2）先根据三角形的三边关系，得到，确定、、的正负，再化简绝对值，合并同类项，即可解答．
13．【答案】（1），，是的三边，，，
，
三角形的周长是小于18的偶数，
，
或6；
（2），，是的三边，
，，
，
．
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系推出c的取值范围，再根据题意得到c的长；
（2）根据绝对值的定义以及三角形的三边关系化简即可得到结果.
14．【答案】（1）解：∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB ，
∴∠CBD+∠BCD= （∠ABC+∠ACB） ==55°，
∴∠BDC=180°- （∠CBD+ ∠BCD）=180°- 55°=125°；
（2）解：DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ，理由如下：
在△ABD中，由三角形的三边关系得： DA+DB>AB①，
同理∶ DB+DC> BC②，DA+DC> AC③，
+②+③得∶ 2 （DA+DB+DC） >AB+BC+AC，
∴DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，根据角平分线定义得∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB，于是∠CBD+∠BCD=（∠ABC+∠ACB），然后在三角形BCD中，用三角形内角和定理可求解；
（2）分别在三角形ABD、三角形ACD、三角形BCD中，由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得 DA+DB>AB，DC+DB>BC，DA+DC>AC，将三个不等式相加即可求解.
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵c是中最长的边，
∴，
又∵，
综上：．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，即可求出 x + y 的值；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，利用三角形三边关系求出 c 的范围即可。
1 / 1第四章 《三角形》1 认识三角形（2）—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2021七下·杨浦期中）如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）
A．9厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．2厘米
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系可得：8﹣6＜a＜8+6，
解得：2＜a＜14．
故第三边不可能是2，
故答案为：D．
【分析】设第三边为a，根据三角形三边的关系可得2＜a＜14，再求解即可。
2．（2023七下·福田期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，7 B．3，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+3=6<7，
长度为3、3、7的三条线段不能组成三角形，A错误；
B、3+4=7<8，
长度为3、4、8的三条线段不能组成三角形，B错误；
C、5+6=11，
长度为5、6、11的三条线段不能组成三角形，C错误；
D、5+6=11>10，
长度为5、6、10的三条线段不能组成三角形，D正确，
故答案为：D.
【分析】三角形任何两边的和大于第三边.
3．（2024七下·长春期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得，那么点与点之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设，，
∴
∴
∴点与点之间的距离不可能是，
故选：D．
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，列出设，得到不等式，即可求解．
4．（2023七下·黄浦期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：四条木棒任选三根，有以下几种组合方式：①2、3、5；②2、3、6；③2、5、6；④3、5、6。其中①②不能组成三角形，③④可以组成三角形。
故答案为：B。
【分析】首先把任选三根木棒的组合方式找出来，然后根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形即可。
5．（2024七下·沈阳期中）在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，
∴∠B=3∠A，∠C=5∠A，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+3∠A+5∠A=180°，解得：∠A=20°，
∴∠C=5∠A=100°.
∴△ABC是钝角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理并结合已知条件可得关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数，然后代入∠C可求出∠C的度数即可判断求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·修水期末）有4根细木棒，其长度分别为，，，．从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： 有4根细木棒，其长度分别为，，，．从中任选3根，有以下四种情况：，，；，，；，，；，，，而组成三角形的结果1种，故恰好能搭成一个三角形的概率是
故答案为：.
【分析】有4根木棒，从中任选3根，先列举出所有情况：，，；，，；，，；，，，而组成三角形的结果只有，，，根据概率公式进行计算即可.
7．（2024七下·广平期末）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：5-3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8．
故答案为：2＜x＜8．
【分析】
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到答案。
8．（2024七下·无锡月考）若三条线段a，b，c可组成三角形，且，c是奇数，则c的值为 ．
【答案】5或7或9
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵c是奇数，
∴或7或9．
故答案为：5或7或9
【分析】先根据三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）得到，进而得到，再根据c是奇数结合题意即可求解。
9．（2024七下·吉州月考）已知三角形的三边长为4，x，11，化简的结果为 ．
【答案】11
【知识点】三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵三角形的三边为4、x、11，
由三角形三边关系得：11-4＜x＜11+4，
即：，
∴，
故答案为：11．
【分析】根据三角形三边关系可求出，然后化简绝对值求解即可．
10．（2022七下·镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 .
【答案】12
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：分两种情况，
当a=2时，由2+2<5，故不能构成三角形；
当a=5时，5+2>5，能构成三角形，故三角形周长=5+5+2=12.
故答案为：12.
【分析】分a=2、a=5，根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，进而可得周长.
三、解答题（共5题，共50分）
11．在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形；
（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是 三角形；
（3）如果三角形的两个内角都小于40，那么这个三角形是 三角形。
【答案】（1）锐角
（2）直角
（3）钝角
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：(1)因为三角形三个内角都相等，且三角形内角和为180°，
所以三个角都为60°，
即：三角形为锐角三角形．
故答案为：锐角
(2)设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，
且∠A+∠B=∠C，
又因为∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+∠B=∠C=90°，
所以三角形为直角三角形．
故答案为：直角
(3)设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，
且∠A＜40°，∠B＜40°，
即：∠A+∠B＜80°．
因为三角形内角和为180°，
所以∠C＞180°-80°，
即：∠C＞100°．
所以三角形为钝角三角形．
故答案为：钝角
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出每个角的度数，再根据锐角三角形的定义即可求解；
（2）根据题意设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，则∠A+∠B=∠C，进而即可得到∠A+∠B=∠C=90°，根据直角三角形的定义即可求解；
（3）设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，则∠A＜40°，∠B＜40°，即∠A+∠B＜80，再根据三角形内角和定理得到∠C＞100°，进而根据钝角三角形的定义即可求解。
12．（2024七下·深圳期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若，且c为偶数．求的周长．
（2）化简：．
【答案】（1）解：，
，即，
由于c是偶数，则或6，
当时，的周长为，
当时，的周长为．
综上所述，的周长为11或13．
（2）解：的三边长为a，b，c，
，
．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求得c的取值范围，得出c的值，结合三角形的周长公式，列出算式，即可求解；
（2）先根据三角形的三边关系，得到，确定、、的正负，再化简绝对值，合并同类项，即可解答．
13．（2023七下·揭西月考）已知的三边长是，，．
（1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求边的长；
（2）化简．
【答案】（1），，是的三边，，，
，
三角形的周长是小于18的偶数，
，
或6；
（2），，是的三边，
，，
，
．
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系推出c的取值范围，再根据题意得到c的长；
（2）根据绝对值的定义以及三角形的三边关系化简即可得到结果.
14．（2022七下·台江期末）如图，在中，已知，和的平分线相交于点．
（1）求的度数；
（2）试比较与的大小，写出推理过程．
【答案】（1）解：∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB ，
∴∠CBD+∠BCD= （∠ABC+∠ACB） ==55°，
∴∠BDC=180°- （∠CBD+ ∠BCD）=180°- 55°=125°；
（2）解：DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ，理由如下：
在△ABD中，由三角形的三边关系得： DA+DB>AB①，
同理∶ DB+DC> BC②，DA+DC> AC③，
+②+③得∶ 2 （DA+DB+DC） >AB+BC+AC，
∴DA+DB+DC> （AB+BC+AC） ．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，根据角平分线定义得∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠BCD=∠ACB，于是∠CBD+∠BCD=（∠ABC+∠ACB），然后在三角形BCD中，用三角形内角和定理可求解；
（2）分别在三角形ABD、三角形ACD、三角形BCD中，由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可得 DA+DB>AB，DC+DB>BC，DA+DC>AC，将三个不等式相加即可求解.
15．（2023七下·宣汉期末）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴
∴
∴．
问题：
（1）若，求的值．
（2）已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵c是中最长的边，
∴，
又∵，
综上：．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，即可求出 x + y 的值；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，利用三角形三边关系求出 c 的范围即可。
1 / 1
