第四章 《三角形》3 探索三角形全等的条件（4）—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024七下·新泰月考）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
2．（2024七下·鄞州期末） 根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·东营期中）如图，已知，在下列条件：①；②；③；④中，只补充一个就一定可以判断的条件是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
4．（初中数学北师大版七年级下册4.3探索三角形全等的条件练习题）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
5．（2023七下·长沙期末）如图，点E、点F在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023七下·宣汉期末）如图，是的平分线，于点D，于点C，则关于直线对称的三角形共有 对．
7．（2023七下·萧县期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是 ．
8．（2021七下·闵行期末）如图，已知 ，从下列条件中选择一个，则可以证明 全等于 ．① ，② ，③ ，④ ，那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
9．（2023七下·上海市期末）如图，在中，和是两条高线，相交于点，若，，，则 ．
10．（2024七下·龙岗月考）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2022七下·辽阳期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
（1）请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可）
（2）根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
12．（2023七下·沙坪坝期末）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
13．（2023七下·山亭期末）如图1，在中，，是的角平分线．
（1）写出图中全等的三角形 ，线段与线段的位置关系是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点B，作，垂足为E，交于点F，且，请说明的理由．
14．（2022七下·莲池期末）如图，已知凸五边形中，，为其对角线，，
（1）如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上；
（2）如图，若，，且，求证：平分．
15．（2016七下·普宁期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等、两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、因为3+4＜8，所以不能画出三角形，所以A不符合题意；
B、根据ASA可以判断，这样的三角形是唯一的，所以能唯一画出△ABC， 所以B符合题意；
C、根据SSA不能判断满足条件的三角形是唯一的，所以C不符合题意；
D、根据斜边和直角不能确定直角三角形，所以D不符合题意.
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边之间的关系，以及三角形全等的判定方法，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
①∵，
∴（），
∴①符合题意；
②∵，
∴（），
∴②符合题意；
③∵，
∴（），
∴③符合题意；
④∵，
不能判断，
∴④不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据等角的补角相等，得到，再全等三角形的判定方法；、、、和），其中判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，逐一分析判断，即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确．
故答案为：B．
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
∵∠B=∠C，
∴当∠A=∠D时，可得： ，不符合题意；
当∠AFB=∠DEC时，可得： ，不符合题意；
当AB=DC时，可得： ，不符合题意；
当AF=DE时，无法证明，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出BF=CE，再利用全等三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
6．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ OE 是 的平分线，
∴∠AOE =∠BOE
∵ ， ， OE = OE ，
∴ △ODE ≌ △OCE（AAS)
∴∠ODE =∠OCE ，∠ OED =∠OEC ， DE = CE
∴∠ADE =∠BCE
∴ △ADE ≌ △BCE(AAS)
同理可证；△AEO ≌△ BEO，△OBD ≌ △OAC.
故答案为：4.
【分析】根据题意可知，关于 OE 对称的两个三角形全等，则问题转化为寻找图中的全等三角形；
结合已知 OE 是∠AOB 的平分线， ， ， OE = OE ，根据全等三角形的判定定理 AAS 即可得到△ODE ≌ △OCE ；
由△ODE ≌ △OCE便可以得到∠ ODE =∠OCE ，∠OED =∠ OEC ， DE = CE ，进而得到∠ADE =∠BCE ，从而得到△ ADE ≌ △BCE ；
按照上步提示得到的结论与条件，自己找出其它的全等三角形，即可得到正确答案．
7．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】 ①由题意，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C 可得∠EAB＝∠FAC，两边同时减∠BAC ∴∠1＝∠2；② ABE和 ABF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF ，∴ ABE≌ ABF（AAS）∴BE＝CF
E＝ACF；③由②的结论可知，AB=AC；∠B＝∠C，∠CAB＝∠CAB，∴∠BMA＝∠CNA； ACN和 ABM中，同样根据AAS定理，判定 ACN≌ ABM；④现有条件下无法证明CD＝DN．
【分析】熟练掌握全等三角形的证明。
8．【答案】①或②或③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】添加①
在 和 中
∴
∴
即
在 和 中
添加②
在 和 中
添加③
在△ABD和△ACE中，
即
在 和 中，
添加④
条件中只有角相等，没有边相等，所以不能证明全等.
综上所述①或②或③可以证明
故答案为：①或②或③
【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判定即可。
9．【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵ AD和BE是两条高线 ，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠AEB=∠CEB=90°，∴∠DBF=90°-∠BFD，∠DAC=90°-∠AFE，又∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠DAC，又∠ADC=∠ADB，BF=AC，∴△BDF≌△ADC，∴BD=AD=5，DF=DC=2，∴AF=AD-DF=5-2=3.
故第1空答案为：3.
【分析】先证明△BDF≌△ADC，得出对应边BD=AD=5，DF=DC=2，进一步得出AF的长度即可。
10．【答案】2或3
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=12厘米，点E为AB的中点，
∴BE=AB=6厘米，
设点P运动时间为t秒，则BP=2t厘米，CP=（8-2t）厘米，
，
当时，与全等，
此时，，
解得，
，
此时，点的运动速度为（厘米/秒），
当时，与全等，
此时，，
解得，
点的运动速度为（厘米/秒）．
故答案为：2或3．
【分析】先根据中点定义算出BE=6厘米，设点P运动时间为t秒，则BP=2t厘米，CP=（8-2t）厘米，分两种情况：当BE=CP=6厘米，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，或BE=CQ=6厘米，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，分别求解即可．
11．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）解：添加使，
故答案为：．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法求解即可；
（2）先求出 ， 再证明求解即可。
12．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等性质关于角度的计算。
（1）结合题目中已知条件，找出题目中的隐含条件，对题目中的相关条件进行加工准备，则构成全等的条件。
（2）运用全等的性质，得到对应角相等，求得平行，运用平行线性质，可得答案。在求解线段相等或者求角度时，一般要证明三角形全等。
13．【答案】（1）；垂直（或线段）
（2）解：由（1）得，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以．
所以
又因为，，
所以．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】
（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC、
故答案为：∠ADB＝∠ADC， AD⊥BC
【分析】
（1）根据边角边可以判定△ABD和△ACD全等，从而得出∠ADB＝∠ADC＝90°。
（2）根据已知条件可以推导出∠CAD＝∠CBE，再结合∠AEF＝∠BEC＝90°，AE＝BE可得出结论。
14．【答案】（1）解：如图作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，点在同一直线上，
（2）解：延长到，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 如图作， 可证，可得∠A=∠EDF，从而求出，即得C、D、F三点共线；
（2） 延长到，使得，连接，先证，可得，再证，可得，根据角平分线的定义即证.
15．【答案】（1）解：①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间 s，
∴ cm/s
（2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴点P共运动了 ×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇
【知识点】全等三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
1 / 1第四章 《三角形》3 探索三角形全等的条件（4）—北师大版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024七下·新泰月考）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等、两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解.
2．（2024七下·鄞州期末） 根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、因为3+4＜8，所以不能画出三角形，所以A不符合题意；
B、根据ASA可以判断，这样的三角形是唯一的，所以能唯一画出△ABC， 所以B符合题意；
C、根据SSA不能判断满足条件的三角形是唯一的，所以C不符合题意；
D、根据斜边和直角不能确定直角三角形，所以D不符合题意.
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边之间的关系，以及三角形全等的判定方法，即可得出答案.
3．（2024七下·东营期中）如图，已知，在下列条件：①；②；③；④中，只补充一个就一定可以判断的条件是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
①∵，
∴（），
∴①符合题意；
②∵，
∴（），
∴②符合题意；
③∵，
∴（），
∴③符合题意；
④∵，
不能判断，
∴④不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据等角的补角相等，得到，再全等三角形的判定方法；、、、和），其中判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，逐一分析判断，即可得到答案．
4．（初中数学北师大版七年级下册4.3探索三角形全等的条件练习题）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确．
故答案为：B．
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
5．（2023七下·长沙期末）如图，点E、点F在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
∵∠B=∠C，
∴当∠A=∠D时，可得： ，不符合题意；
当∠AFB=∠DEC时，可得： ，不符合题意；
当AB=DC时，可得： ，不符合题意；
当AF=DE时，无法证明，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出BF=CE，再利用全等三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023七下·宣汉期末）如图，是的平分线，于点D，于点C，则关于直线对称的三角形共有 对．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ OE 是 的平分线，
∴∠AOE =∠BOE
∵ ， ， OE = OE ，
∴ △ODE ≌ △OCE（AAS)
∴∠ODE =∠OCE ，∠ OED =∠OEC ， DE = CE
∴∠ADE =∠BCE
∴ △ADE ≌ △BCE(AAS)
同理可证；△AEO ≌△ BEO，△OBD ≌ △OAC.
故答案为：4.
【分析】根据题意可知，关于 OE 对称的两个三角形全等，则问题转化为寻找图中的全等三角形；
结合已知 OE 是∠AOB 的平分线， ， ， OE = OE ，根据全等三角形的判定定理 AAS 即可得到△ODE ≌ △OCE ；
由△ODE ≌ △OCE便可以得到∠ ODE =∠OCE ，∠OED =∠ OEC ， DE = CE ，进而得到∠ADE =∠BCE ，从而得到△ ADE ≌ △BCE ；
按照上步提示得到的结论与条件，自己找出其它的全等三角形，即可得到正确答案．
7．（2023七下·萧县期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】 ①由题意，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C 可得∠EAB＝∠FAC，两边同时减∠BAC ∴∠1＝∠2；② ABE和 ABF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF ，∴ ABE≌ ABF（AAS）∴BE＝CF
E＝ACF；③由②的结论可知，AB=AC；∠B＝∠C，∠CAB＝∠CAB，∴∠BMA＝∠CNA； ACN和 ABM中，同样根据AAS定理，判定 ACN≌ ABM；④现有条件下无法证明CD＝DN．
【分析】熟练掌握全等三角形的证明。
8．（2021七下·闵行期末）如图，已知 ，从下列条件中选择一个，则可以证明 全等于 ．① ，② ，③ ，④ ，那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
【答案】①或②或③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】添加①
在 和 中
∴
∴
即
在 和 中
添加②
在 和 中
添加③
在△ABD和△ACE中，
即
在 和 中，
添加④
条件中只有角相等，没有边相等，所以不能证明全等.
综上所述①或②或③可以证明
故答案为：①或②或③
【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判定即可。
9．（2023七下·上海市期末）如图，在中，和是两条高线，相交于点，若，，，则 ．
【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵ AD和BE是两条高线 ，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠AEB=∠CEB=90°，∴∠DBF=90°-∠BFD，∠DAC=90°-∠AFE，又∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠DAC，又∠ADC=∠ADB，BF=AC，∴△BDF≌△ADC，∴BD=AD=5，DF=DC=2，∴AF=AD-DF=5-2=3.
故第1空答案为：3.
【分析】先证明△BDF≌△ADC，得出对应边BD=AD=5，DF=DC=2，进一步得出AF的长度即可。
10．（2024七下·龙岗月考）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等．
【答案】2或3
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=12厘米，点E为AB的中点，
∴BE=AB=6厘米，
设点P运动时间为t秒，则BP=2t厘米，CP=（8-2t）厘米，
，
当时，与全等，
此时，，
解得，
，
此时，点的运动速度为（厘米/秒），
当时，与全等，
此时，，
解得，
点的运动速度为（厘米/秒）．
故答案为：2或3．
【分析】先根据中点定义算出BE=6厘米，设点P运动时间为t秒，则BP=2t厘米，CP=（8-2t）厘米，分两种情况：当BE=CP=6厘米，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，或BE=CQ=6厘米，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，分别求解即可．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2022七下·辽阳期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
（1）请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可）
（2）根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）解：添加使，
故答案为：．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法求解即可；
（2）先求出 ， 再证明求解即可。
12．（2023七下·沙坪坝期末）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等性质关于角度的计算。
（1）结合题目中已知条件，找出题目中的隐含条件，对题目中的相关条件进行加工准备，则构成全等的条件。
（2）运用全等的性质，得到对应角相等，求得平行，运用平行线性质，可得答案。在求解线段相等或者求角度时，一般要证明三角形全等。
13．（2023七下·山亭期末）如图1，在中，，是的角平分线．
（1）写出图中全等的三角形 ，线段与线段的位置关系是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点B，作，垂足为E，交于点F，且，请说明的理由．
【答案】（1）；垂直（或线段）
（2）解：由（1）得，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以．
所以
又因为，，
所以．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】
（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC、
故答案为：∠ADB＝∠ADC， AD⊥BC
【分析】
（1）根据边角边可以判定△ABD和△ACD全等，从而得出∠ADB＝∠ADC＝90°。
（2）根据已知条件可以推导出∠CAD＝∠CBE，再结合∠AEF＝∠BEC＝90°，AE＝BE可得出结论。
14．（2022七下·莲池期末）如图，已知凸五边形中，，为其对角线，，
（1）如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上；
（2）如图，若，，且，求证：平分．
【答案】（1）解：如图作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，点在同一直线上，
（2）解：延长到，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 如图作， 可证，可得∠A=∠EDF，从而求出，即得C、D、F三点共线；
（2） 延长到，使得，连接，先证，可得，再证，可得，根据角平分线的定义即证.
15．（2016七下·普宁期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【答案】（1）解：①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间 s，
∴ cm/s
（2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴点P共运动了 ×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇
【知识点】全等三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
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