第四章《三角形》—北师版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·四川）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
2．（2024·长沙）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·淳安期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·临海期中）小明同学把一块三角形的玻璃打碎成如图的三块，到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带① B．带② C．带③ D．带①和②
5．如图，在3×3的网格图中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（ ）.
A．175° B．180° C．210° D．225°
6．（2025八上·衡阳期末）如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八上·武威期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·温州期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
9．（2025七上·东营期末）如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·吉林期末）如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·嵊州期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是 ．（只需填上一个即可）
12．（2024八上·武威期末）如图，，，，则 ．
13．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，，若，则 ．
14．（2025八上·台州期末）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是 ．
15．（2024七上·吉林期末）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
16．（2025八上·温州期中）如图，AE=AC，BC=DE，若添加一个条件可得△ABC≌△ADE，则添加的条件可以是 .（写出一个满足条件的答案）
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025九下·浙江模拟） 如图，在△ABC和△DEF中， B，E， C， F在同一条直线上，AB=DE， AB// DE， BE=CF.
（1）求证： △ABC≌△DEF.
（2）若∠B=60°，∠D=30°，求∠F.
18．（2025八上·丽水期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
19．（2018八上·恩平期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．
20．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，，求的度数．
21．（2025七上·东营期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，的面积为2，求的面积．
22．（2024七上·宁阳期末）如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（2024八上·杭州期中）如图，，，，于，
（1）求证：≌；
（2）猜想：，，的数量关系为 不需证明；
（3）当绕点旋转到图位置时，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．
24．（2024七下·雷州期末）已知：点在射线上，．
（1）如图，若，求证：；
（2）如图，若，请探究的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图，在的条件下，过点交射线于点，当时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+4<8， 不能组成三角形，不符合题意；
B、5+6=11， 不能组成三角形，不符合题意；
C、5+6>10，能组成三角形，符合题意；
D、5+5=10，不能组成三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，依此逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，∵，
∴∠C=70°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠C=70°.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠C=70°，再根据二直线平行，内错角相等，即可得出∠1的度数.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：边b所对的角度为：，
∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解题即可．
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误，
故答案为：C.
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠1和∠5所在的三角形全等，
∴∠1＋∠5＝90°，
∵∠2和∠4所在的三角形全等，
∴∠2＋∠4＝90°，
∵∠3＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5＝225°．
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的性质及三角形的内角和可得∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，再结合∠3＝45°，利用角的运算求出∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5＝225°即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DEF，∴添加∠C=∠D，AC=DE，可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B、∵∠A=∠DEF，∴添加BC=FD，AC=ED，不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C、∵∠A=∠DEF，∴添加∠ABC=∠DFE，AC=DE，可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D、∵∠A=∠DEF，∴添加AC=DE，AB=EF，可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形还可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，据此逐一判断得出答案．
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，则，
∴，
A、当，，时，依据可得；
B、当，，时，依据可得；
C、由，得，依据可得；
D、当，，时，不能得出；
故答案为：D
【分析】先根据题意进行线段的运算得到，进而根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
8．【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，
如图，记与的交点为，
∵，
∴，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，得到，，且，，记与的交点为，证得，，结合选项，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：于点E，于点F，
，
，，
；
故①符合题意；
，
，
，，
；
故②符合题意；
，，，
；
故③符合题意；
，
，即，
，，
；
故③符合题意；
综上所述，①②③④可以判定；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形证明求解即可。
11．【答案】(答案为唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，
根据只要添加：或；
根据只要添加：或；
根据只要添加：，
故答案为：(答案为唯一)．
【分析】利用全等三角形的判定定理解题即可．
12．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据全等三角形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：连接AC，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，则∠EAB=(3x)°，∠ECD=(3y)°，由角的构成得∠FAB=(2x)°，∠FCD=(2y)°，由二直线平行，同旁内角互补及角的构成得，，再由三角形的内角和定理推出，，则，从而代入即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
15．【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中线的性质得到，，则，代入数值即可求解。
16．【答案】AB=AD（或∠C=∠E）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AE=AC，BC=DE，
要使 △ABC≌△ADE，可以根据SSS增加条件AB=AD，
或者根据SAS增加条件∠C=∠E，
故答案为：AB=AD（或∠C=∠E）.
【分析】结合三角形全等的判定SAS，SSS增加条件即可.
17．【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF.
又BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF.
在△ABC和ADEF中，
.
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=60°，
∴∠DEF=∠B=60°，
∴∠F=180°-∠DEF- ∠D =90°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先说明BC=EF，再利用SAS证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，求得∠DEF，再利用三角形内角和定理求得∠F.
18．【答案】（1）证明：，，
，，
即，
，，
，
，
在和中，
，
≌
（2）解：≌，
，，
在中，，
，
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，根据三角形的内角和，则，根据等角对等边，可得，进而根据“角边角”即可证明≌ ；
（2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可．
19．【答案】（1）证明：在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF
（2）证明：由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可证明△ADF≌△CEF。
（2）根据（1）中三角形全等的性质，即可得到△DFE为等腰直角三角形。
20．【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据可以得到，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
21．【答案】（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据是的中线，得到，由“”证得，从而得到，即可得证；
（2）根据，求得，由是的中线，得到，再由，得到，进而计算，即可得到答案．
（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
22．【答案】（1）证明：由题意得，
∵平分
∴∠CBF=∠ABF
又∵AD∥BC，
∴∠F=∠ABF=∠CBF，
∴△ABF是等腰三角形，AB=AF，
又∵AE⊥BF
∴∠AEB=∠AEF，
又∵AE=AE，
∴（AAS）.
（2）解：∵
∴BE=FE，
又∵∠F=∠CBF，∠FED=∠BEC，
∴△BEC≡△FED，
∴BC=FD=8
∴AF=AD+DF=11，
又∵AB=AF，
∴AB=11.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据，，平分，推出，，运用证明；
（2）根据，推出BC =FD ，再利用ASA证明，继而可得到AF的长，再利用(1)中结论求出的长．
（1）证明：
平分，
，
，
．
在和中，
（2）解：，
在和中，
，
，
．
，
．
23．【答案】（1）证明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案为：
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依据AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可证明；
（3）根据AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
24．【答案】（1）证明： ∵AC∥BD ，
∴∠DAE=∠D，
又∵∠C=∠D，
∴∠DAE=∠C，
∴AD∥BC；
（2）解：．
证明：如图，设与交点为，
是是外角，
，
，
，
中，，
，
又，
；
（3）解：如图，设，则，
，
，
，
，
又，
，
，
，
又，，
，
中，．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DAE=∠D，根据等量代换可得∠DAE=∠C，则结论得证；
（2）利用三角形外角的性质可得∠CGB=∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C=90°，即可得∠D+∠DAE+∠C=90°，进而得出结论；
（3）设∠DAE=α，由题意及平角定义得∠AFD=180°-8α，根据平行线的性质可得∠C=∠AFD=180°-8α，再根据2∠C+∠DAE=90°可求α的值，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数。
1 / 1第四章《三角形》—北师版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·四川）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+4<8， 不能组成三角形，不符合题意；
B、5+6=11， 不能组成三角形，不符合题意；
C、5+6>10，能组成三角形，符合题意；
D、5+5=10，不能组成三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，依此逐项判断即可.
2．（2024·长沙）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，∵，
∴∠C=70°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠C=70°.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠C=70°，再根据二直线平行，内错角相等，即可得出∠1的度数.
3．（2025八上·淳安期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：边b所对的角度为：，
∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解题即可．
4．（2024八上·临海期中）小明同学把一块三角形的玻璃打碎成如图的三块，到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带① B．带② C．带③ D．带①和②
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误，
故答案为：C.
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案.
5．如图，在3×3的网格图中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（ ）.
A．175° B．180° C．210° D．225°
【答案】D
【知识点】角的运算；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠1和∠5所在的三角形全等，
∴∠1＋∠5＝90°，
∵∠2和∠4所在的三角形全等，
∴∠2＋∠4＝90°，
∵∠3＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5＝225°．
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的性质及三角形的内角和可得∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，再结合∠3＝45°，利用角的运算求出∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5＝225°即可．
6．（2025八上·衡阳期末）如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DEF，∴添加∠C=∠D，AC=DE，可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B、∵∠A=∠DEF，∴添加BC=FD，AC=ED，不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C、∵∠A=∠DEF，∴添加∠ABC=∠DFE，AC=DE，可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D、∵∠A=∠DEF，∴添加AC=DE，AB=EF，可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形还可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，据此逐一判断得出答案．
7．（2024八上·武威期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，则，
∴，
A、当，，时，依据可得；
B、当，，时，依据可得；
C、由，得，依据可得；
D、当，，时，不能得出；
故答案为：D
【分析】先根据题意进行线段的运算得到，进而根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
8．（2025八上·温州期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案.
9．（2025七上·东营期末）如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，
如图，记与的交点为，
∵，
∴，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，得到，，且，，记与的交点为，证得，，结合选项，即可求解.
10．（2024八上·吉林期末）如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：于点E，于点F，
，
，，
；
故①符合题意；
，
，
，，
；
故②符合题意；
，，，
；
故③符合题意；
，
，即，
，，
；
故③符合题意；
综上所述，①②③④可以判定；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形证明求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·嵊州期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是 ．（只需填上一个即可）
【答案】(答案为唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，
根据只要添加：或；
根据只要添加：或；
根据只要添加：，
故答案为：(答案为唯一)．
【分析】利用全等三角形的判定定理解题即可．
12．（2024八上·武威期末）如图，，，，则 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据全等三角形性质即可求出答案.
13．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：连接AC，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，则∠EAB=(3x)°，∠ECD=(3y)°，由角的构成得∠FAB=(2x)°，∠FCD=(2y)°，由二直线平行，同旁内角互补及角的构成得，，再由三角形的内角和定理推出，，则，从而代入即可求出答案.
14．（2025八上·台州期末）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
15．（2024七上·吉林期末）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中线的性质得到，，则，代入数值即可求解。
16．（2025八上·温州期中）如图，AE=AC，BC=DE，若添加一个条件可得△ABC≌△ADE，则添加的条件可以是 .（写出一个满足条件的答案）
【答案】AB=AD（或∠C=∠E）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AE=AC，BC=DE，
要使 △ABC≌△ADE，可以根据SSS增加条件AB=AD，
或者根据SAS增加条件∠C=∠E，
故答案为：AB=AD（或∠C=∠E）.
【分析】结合三角形全等的判定SAS，SSS增加条件即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025九下·浙江模拟） 如图，在△ABC和△DEF中， B，E， C， F在同一条直线上，AB=DE， AB// DE， BE=CF.
（1）求证： △ABC≌△DEF.
（2）若∠B=60°，∠D=30°，求∠F.
【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF.
又BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF.
在△ABC和ADEF中，
.
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=60°，
∴∠DEF=∠B=60°，
∴∠F=180°-∠DEF- ∠D =90°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先说明BC=EF，再利用SAS证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，求得∠DEF，再利用三角形内角和定理求得∠F.
18．（2025八上·丽水期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，，
即，
，，
，
，
在和中，
，
≌
（2）解：≌，
，，
在中，，
，
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，根据三角形的内角和，则，根据等角对等边，可得，进而根据“角边角”即可证明≌ ；
（2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可．
19．（2018八上·恩平期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．
【答案】（1）证明：在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF
（2）证明：由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可证明△ADF≌△CEF。
（2）根据（1）中三角形全等的性质，即可得到△DFE为等腰直角三角形。
20．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，，求的度数．
【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据可以得到，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
21．（2025七上·东营期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，的面积为2，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据是的中线，得到，由“”证得，从而得到，即可得证；
（2）根据，求得，由是的中线，得到，再由，得到，进而计算，即可得到答案．
（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
22．（2024七上·宁阳期末）如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：由题意得，
∵平分
∴∠CBF=∠ABF
又∵AD∥BC，
∴∠F=∠ABF=∠CBF，
∴△ABF是等腰三角形，AB=AF，
又∵AE⊥BF
∴∠AEB=∠AEF，
又∵AE=AE，
∴（AAS）.
（2）解：∵
∴BE=FE，
又∵∠F=∠CBF，∠FED=∠BEC，
∴△BEC≡△FED，
∴BC=FD=8
∴AF=AD+DF=11，
又∵AB=AF，
∴AB=11.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据，，平分，推出，，运用证明；
（2）根据，推出BC =FD ，再利用ASA证明，继而可得到AF的长，再利用(1)中结论求出的长．
（1）证明：
平分，
，
，
．
在和中，
（2）解：，
在和中，
，
，
．
，
．
23．（2024八上·杭州期中）如图，，，，于，
（1）求证：≌；
（2）猜想：，，的数量关系为 不需证明；
（3）当绕点旋转到图位置时，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案为：
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依据AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可证明；
（3）根据AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
24．（2024七下·雷州期末）已知：点在射线上，．
（1）如图，若，求证：；
（2）如图，若，请探究的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图，在的条件下，过点交射线于点，当时，求的度数．
【答案】（1）证明： ∵AC∥BD ，
∴∠DAE=∠D，
又∵∠C=∠D，
∴∠DAE=∠C，
∴AD∥BC；
（2）解：．
证明：如图，设与交点为，
是是外角，
，
，
，
中，，
，
又，
；
（3）解：如图，设，则，
，
，
，
，
又，
，
，
，
又，，
，
中，．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DAE=∠D，根据等量代换可得∠DAE=∠C，则结论得证；
（2）利用三角形外角的性质可得∠CGB=∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C=90°，即可得∠D+∠DAE+∠C=90°，进而得出结论；
（3）设∠DAE=α，由题意及平角定义得∠AFD=180°-8α，根据平行线的性质可得∠C=∠AFD=180°-8α，再根据2∠C+∠DAE=90°可求α的值，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数。
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