勾股定理与特殊角度（30°、45°、60°）的灵活应用—深圳市中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2025九下·越秀期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是( )
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：于点，，
，
又，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：（负值已舍去），
半径为，
，且，
点在外，
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得半径为2，再根据点与圆的位置关系即可求出答案.
2．（2024九上·南山期末）如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，∠AOB=60°，已知 AB=1，则该矩形的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB=OC=OD， ∠BAD=90°
因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以OB=AB=1，所以BD=2BO=2，
在Rt△BAD中，AD=，
所以该矩形的面积是ADxAB=1x=.
故选：C.
【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=1，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD.即可求出矩形的面积.
3．（2024九上·越秀期末）如图，与相切于点，经过圆心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
与相切于点，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据切线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2024九下·东莞模拟）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，
在中，，
∴，，
又，
解得（负值舍去），
∴
故答案为：C．
【分析】根据题意可得，面积最大是，此时点D与点C重合，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，根据三角形的面积即可求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．（2024九下·罗湖模拟）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含的三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的为，则四边形的周长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移性质，得到四边形是平行四边形，又，
故，，
故四边形的周长为cm，
故答案为：B．
【分析】根据平移性质，得到四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理可得，再根据四边形周长即可求出答案.
6．（2024九上·中山期中）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
7．（2024九上·罗湖期中） 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB//CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝AD＝，
∴DE＝AE＝，
在Rt△CDE中，CE＝，
∵BE//CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG＝×=，
∵AE//CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
∴，
∴EF＝×=，
∴FG＝EG EF＝-=．
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质及角的运算求出∠ABD＝∠ABC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝，利用勾股定理求出CE的长，再证出△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EG的长，再证出△AEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EF的长，最后利用线段的和差求出FG的长即可.
8．（2024九下·东莞模拟）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角的取值范围宜为（如图2），亮亮选购了如图2所示的伸缩衣架，已知图中每个菱形的边长为，则其拉伸长度的适宜范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形是菱形，
∴，
∵
当时，则
∴，
∴，
∴
∴
∴此时拉伸长度，
当时，则
∴，
∴
∴此时拉伸长度，
∴其拉伸长度的适宜范围是：，
故答案为：B．
【分析】根据菱形性质可得，分情况讨论：当时，则根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得OE，即可求出答案；当时，则根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
二、填空题
9．（2024九下·南山开学考）如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接DE，
由题意得：MN垂直平分AD.
∴AE=DE.
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°.
∵四边形ABCD是菱形，边长为8，
∴DC//AB，DC=AD=8.
∴∠CDE=∠AED=90°，.
∵
故答案为：.
【分析】连接DE，根据作图可得MN垂直平分AD，根据垂直平分线的性质和∠A=45°可求得∠AED的度数，以及DE长，根据菱形性质可得∠EDC的度数和DC长，从而可求CE长.
10．（2024·福田模拟） 如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，则AB＝ ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠DCE=90°-45°=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE，
∴2DE2=CD2即2DE2=（）2，
解之：CE=DE=3，
∴BE=BC+CE=2+3=5，
在Rt△BDE中，
，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，直径为AB，
∵，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴，
在Rt△ABD中
.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，同时可求出∠DCE，可证得△CDE是等腰直角三角形，由此可推出CE=DE，再利用勾股定理求出DE的长，可得到BE的长；在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长；再证明A，B，C，D四点共圆，直径为AB，利用圆周角定理可求出∠ACD=∠ABD=45°，可证得△ADB是等腰直角三角形，可求出AD的长，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长.
11．（2023·深圳模拟）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DH垂直AC交AC于点H，过点D作DG∥AE交BC于点G，如图所示：
在Rt△ABC 中，AC=BC=6，，
又∵ BD=2AD，∴，
∵，
∴ ∠CAB=45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴ AH=DH=2，
∴ CH=4，
在Rt△CHD中，，
∵ DG∥AE，
∴ ∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，
∴ ∠CDG=∠B，
又∵ ∠DCG=∠BCD，
∴ △CDG∽△CBD，
∴，
∴，即20=6CG，，
∴，
又 ∵DG∥AE，
∴ △BDG∽△BAE，
又∵ BD=2AD，
∴，
∴，
CE=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】做辅助线过点D作DH垂直AC交AC于点H，过点D作DG∥AE交BC于点G，先根据在Rt△CHD中，利用勾股定理求CD，再根据△CDG∽△CBD和△BDG∽△BAE对应边成比例，先求出BG，进而求出BE即可.
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（难））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点E和点F分别是边AB、BC上两点．连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B与点D重合，点D恰好是边AC的中点，则EF＝ ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BD交EF于，过作于，如图：
，
，
∵D是边AC的中点，
在Rt中，，
在Rt中，，
沿EF折叠，点与点重合，
设BF=DF=x
在Rt中，，
解得，
在Rt中，，
即
故答案为：
【分析】连接BD交EF于，过作于，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得BD，根据折叠性质可得，设BF=DF=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得FG，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EG，再根据边之间的关系就可求出答案.
13．（2024九上·广州期中）已知等腰，，．现将以点B为旋转中心逆时针旋转，得到，延长交直线于点．则的长度为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵等腰，，．
∴，
∴，，
∴，
如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，
由旋转可知，
∴，，
在中，，，
∵等腰，，．
∴，
∵以点为旋转中心逆时针旋转，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，利用勾股定理求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出即可.
14．（2024九下·深圳模拟）如图所示，等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，
∵在等腰直角中，，O是斜边的中点，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中，
，
∴．
∴，．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
解得：（负值已舍去），
∴．
故答案为：．
【分析】过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2024九上·龙岗开学考）如图，在三角形中，，，为边上的高，，点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，则线段长度的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=DC=6，
∴，
∴BD=AB-AD=8-6=2，
∴
解之：，
∵ 点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，
∴AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，
∴∠P1AP2=∠BAP+∠PAP1+∠CAP+∠CAP2=2∠BAC=90°，
∴△P1AP2是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴.
故答案为：.
【分析】 过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，利用已知易证△ADC是等腰直角三角形，可得到AD的长，利用勾股定理可求出AC的长，同时i可得到BD的长，利用勾股定理求出BC的长；再利用三角形的面积公式可求出AH的长；利用轴对称的性质可证得AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，由此可推出△P1AP2是等腰直角三角形，利用勾股定理可表示出P1P2的长；然后根据，代入可得到线段P1P2的取值范围.
16．（2024九下·深圳模拟）如图，在中，，，垂足为D，，，过点E作交于点F，连接，且满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
如图，作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【分析】由题意得，，证明，则，即，可得，设，则，，，则，设，则，由勾股定理得，，可求，，由勾股定理得，，如图，作于，则，，，，可得，则，可求，，由勾股定理得，，计算求解即可．
17．（2024九上·深圳期中）如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过A作于E，作于F，与的延长线交于点F，如图所示：
，，
，
，
，，，
在中，，
中，，
，
，
，
，
，
，
，得，
，
中，，
，
．
故答案为：.
【分析】过A作于E，作于F，与的延长线交于点F，先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，利用线段的和差求出BF的长，最后利用解直角三角形的方法求出BD的长即可.
18．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
三、证明题
19．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使，连接与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵E，F分别是的中点，
∴EF∥AB，AB=2EF，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF∥AB，AB=2EF，结合AB=2AD，推出AD=EF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADFE是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论；
（2）由含30°角直角三角形的性质得BC=2AB=4，由勾股定理算出AC的长，然后根据中点定义及平行四边形的对角线互相平分可求出AO的长，再由勾股定理算出DO，最后根据DE=2OD可得答案.
（1）解：∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的长为．
四、解答题
20．（2025·潮阳模拟）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
【答案】（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
【知识点】二次根式的混合运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
五、实践探究题
21．（2024九上·深圳期末）【背景】喜欢思考的小明在学习等边三角形的有关性质时注意到：等边顶角的平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，则可得到直角三角形，在中，，，．由此，小明得出关于直角三角形的一个结论：在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半．
【类比】由矩形对角线的性质，你可以得到直角三角形的一条性质：__________即在中，线段和线段之间的数量关系是______．
【应用】请利用以上结论解决下面两个问题
在中，对角线垂直于，，，点E、F分别是的中点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）求四边形的面积．
【答案】【类比】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；；
【应用】（1）菱形．理由如下：
，
，
点E是的中点，
，
，，
，，
点F是的中点，
，
又∵四边形为平行四边形，
，，
即，
∴四边形为菱形；
（2），，，
，即，
，
，
和是等底同高，
，
同理可得，
又∵在中，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：类比：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
.
【分析】【类比】利用直角三角形斜边上中线的性质分析求解即可；
【应用】（1）先证出四边形为平行四边形，可得，，再结合，即可证出四边形为菱形；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用菱形的面积公式及三角形的面积公式求出即可．
22．（2024九上·江门期末）【知识技能】
（1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°．
【构建联系】
利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题．
（2）如图2，在中，为上的点，且，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质得，，，，
，
在和中
，
由勾股定理得，
即；
（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
则，，，，，
，是等边三角形，
，，
∵，
、、、四点共线，
过作交延长线于H，则，
∴，则，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：由旋转性质得，，，，
为等边三角形
，
为等边三角形
，
为直角三角形，且
；
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转性质可得，，，，再根据等边三角形性质可得，则为等边三角形，即，，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，，，，，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，由勾股定理即可求出答案.
（3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据圆内接四边形性质可得、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1勾股定理与特殊角度（30°、45°、60°）的灵活应用—深圳市中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2025九下·越秀期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是( )
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
2．（2024九上·南山期末）如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，∠AOB=60°，已知 AB=1，则该矩形的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2024九上·越秀期末）如图，与相切于点，经过圆心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·东莞模拟）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·罗湖模拟）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含的三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的为，则四边形的周长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
6．（2024九上·中山期中）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
7．（2024九上·罗湖期中） 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A． B． C． D．
8．（2024九下·东莞模拟）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角的取值范围宜为（如图2），亮亮选购了如图2所示的伸缩衣架，已知图中每个菱形的边长为，则其拉伸长度的适宜范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九下·南山开学考）如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ．
10．（2024·福田模拟） 如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，则AB＝ ．
11．（2023·深圳模拟）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（难））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点E和点F分别是边AB、BC上两点．连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B与点D重合，点D恰好是边AC的中点，则EF＝ ．
13．（2024九上·广州期中）已知等腰，，．现将以点B为旋转中心逆时针旋转，得到，延长交直线于点．则的长度为 ．
14．（2024九下·深圳模拟）如图所示，等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则 ．
15．（2024九上·龙岗开学考）如图，在三角形中，，，为边上的高，，点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，则线段长度的取值范围是 ．
16．（2024九下·深圳模拟）如图，在中，，，垂足为D，，，过点E作交于点F，连接，且满足，则的值为 ．
17．（2024九上·深圳期中）如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ．
18．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为 ．
三、证明题
19．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使，连接与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
四、解答题
20．（2025·潮阳模拟）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
五、实践探究题
21．（2024九上·深圳期末）【背景】喜欢思考的小明在学习等边三角形的有关性质时注意到：等边顶角的平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，则可得到直角三角形，在中，，，．由此，小明得出关于直角三角形的一个结论：在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半．
【类比】由矩形对角线的性质，你可以得到直角三角形的一条性质：__________即在中，线段和线段之间的数量关系是______．
【应用】请利用以上结论解决下面两个问题
在中，对角线垂直于，，，点E、F分别是的中点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）求四边形的面积．
22．（2024九上·江门期末）【知识技能】
（1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°．
【构建联系】
利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题．
（2）如图2，在中，为上的点，且，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：于点，，
，
又，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：（负值已舍去），
半径为，
，且，
点在外，
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得半径为2，再根据点与圆的位置关系即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB=OC=OD， ∠BAD=90°
因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以OB=AB=1，所以BD=2BO=2，
在Rt△BAD中，AD=，
所以该矩形的面积是ADxAB=1x=.
故选：C.
【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=1，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD.即可求出矩形的面积.
3．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
与相切于点，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据切线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，
在中，，
∴，，
又，
解得（负值舍去），
∴
故答案为：C．
【分析】根据题意可得，面积最大是，此时点D与点C重合，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，根据三角形的面积即可求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移性质，得到四边形是平行四边形，又，
故，，
故四边形的周长为cm，
故答案为：B．
【分析】根据平移性质，得到四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理可得，再根据四边形周长即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB//CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝AD＝，
∴DE＝AE＝，
在Rt△CDE中，CE＝，
∵BE//CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG＝×=，
∵AE//CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
∴，
∴EF＝×=，
∴FG＝EG EF＝-=．
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质及角的运算求出∠ABD＝∠ABC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝，利用勾股定理求出CE的长，再证出△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EG的长，再证出△AEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EF的长，最后利用线段的和差求出FG的长即可.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形是菱形，
∴，
∵
当时，则
∴，
∴，
∴
∴
∴此时拉伸长度，
当时，则
∴，
∴
∴此时拉伸长度，
∴其拉伸长度的适宜范围是：，
故答案为：B．
【分析】根据菱形性质可得，分情况讨论：当时，则根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得OE，即可求出答案；当时，则根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接DE，
由题意得：MN垂直平分AD.
∴AE=DE.
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°.
∵四边形ABCD是菱形，边长为8，
∴DC//AB，DC=AD=8.
∴∠CDE=∠AED=90°，.
∵
故答案为：.
【分析】连接DE，根据作图可得MN垂直平分AD，根据垂直平分线的性质和∠A=45°可求得∠AED的度数，以及DE长，根据菱形性质可得∠EDC的度数和DC长，从而可求CE长.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠DCE=90°-45°=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE，
∴2DE2=CD2即2DE2=（）2，
解之：CE=DE=3，
∴BE=BC+CE=2+3=5，
在Rt△BDE中，
，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，直径为AB，
∵，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴，
在Rt△ABD中
.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ACE=∠E=∠ADB=90°，同时可求出∠DCE，可证得△CDE是等腰直角三角形，由此可推出CE=DE，再利用勾股定理求出DE的长，可得到BE的长；在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长；再证明A，B，C，D四点共圆，直径为AB，利用圆周角定理可求出∠ACD=∠ABD=45°，可证得△ADB是等腰直角三角形，可求出AD的长，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长.
11．【答案】2
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DH垂直AC交AC于点H，过点D作DG∥AE交BC于点G，如图所示：
在Rt△ABC 中，AC=BC=6，，
又∵ BD=2AD，∴，
∵，
∴ ∠CAB=45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴ AH=DH=2，
∴ CH=4，
在Rt△CHD中，，
∵ DG∥AE，
∴ ∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，
∴ ∠CDG=∠B，
又∵ ∠DCG=∠BCD，
∴ △CDG∽△CBD，
∴，
∴，即20=6CG，，
∴，
又 ∵DG∥AE，
∴ △BDG∽△BAE，
又∵ BD=2AD，
∴，
∴，
CE=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】做辅助线过点D作DH垂直AC交AC于点H，过点D作DG∥AE交BC于点G，先根据在Rt△CHD中，利用勾股定理求CD，再根据△CDG∽△CBD和△BDG∽△BAE对应边成比例，先求出BG，进而求出BE即可.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BD交EF于，过作于，如图：
，
，
∵D是边AC的中点，
在Rt中，，
在Rt中，，
沿EF折叠，点与点重合，
设BF=DF=x
在Rt中，，
解得，
在Rt中，，
即
故答案为：
【分析】连接BD交EF于，过作于，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得BD，根据折叠性质可得，设BF=DF=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得FG，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EG，再根据边之间的关系就可求出答案.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵等腰，，．
∴，
∴，，
∴，
如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，
由旋转可知，
∴，，
在中，，，
∵等腰，，．
∴，
∵以点为旋转中心逆时针旋转，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，利用勾股定理求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出即可.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，
∵在等腰直角中，，O是斜边的中点，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中，
，
∴．
∴，．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
解得：（负值已舍去），
∴．
故答案为：．
【分析】过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=DC=6，
∴，
∴BD=AB-AD=8-6=2，
∴
解之：，
∵ 点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，
∴AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，
∴∠P1AP2=∠BAP+∠PAP1+∠CAP+∠CAP2=2∠BAC=90°，
∴△P1AP2是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴.
故答案为：.
【分析】 过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，利用已知易证△ADC是等腰直角三角形，可得到AD的长，利用勾股定理可求出AC的长，同时i可得到BD的长，利用勾股定理求出BC的长；再利用三角形的面积公式可求出AH的长；利用轴对称的性质可证得AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，由此可推出△P1AP2是等腰直角三角形，利用勾股定理可表示出P1P2的长；然后根据，代入可得到线段P1P2的取值范围.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
如图，作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【分析】由题意得，，证明，则，即，可得，设，则，，，则，设，则，由勾股定理得，，可求，，由勾股定理得，，如图，作于，则，，，，可得，则，可求，，由勾股定理得，，计算求解即可．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过A作于E，作于F，与的延长线交于点F，如图所示：
，，
，
，
，，，
在中，，
中，，
，
，
，
，
，
，
，得，
，
中，，
，
．
故答案为：.
【分析】过A作于E，作于F，与的延长线交于点F，先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，利用线段的和差求出BF的长，最后利用解直角三角形的方法求出BD的长即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵E，F分别是的中点，
∴EF∥AB，AB=2EF，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF∥AB，AB=2EF，结合AB=2AD，推出AD=EF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADFE是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论；
（2）由含30°角直角三角形的性质得BC=2AB=4，由勾股定理算出AC的长，然后根据中点定义及平行四边形的对角线互相平分可求出AO的长，再由勾股定理算出DO，最后根据DE=2OD可得答案.
（1）解：∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的长为．
20．【答案】（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
【知识点】二次根式的混合运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
21．【答案】【类比】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；；
【应用】（1）菱形．理由如下：
，
，
点E是的中点，
，
，，
，，
点F是的中点，
，
又∵四边形为平行四边形，
，，
即，
∴四边形为菱形；
（2），，，
，即，
，
，
和是等底同高，
，
同理可得，
又∵在中，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：类比：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
.
【分析】【类比】利用直角三角形斜边上中线的性质分析求解即可；
【应用】（1）先证出四边形为平行四边形，可得，，再结合，即可证出四边形为菱形；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用菱形的面积公式及三角形的面积公式求出即可．
22．【答案】（1）；
（2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质得，，，，
，
在和中
，
由勾股定理得，
即；
（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
则，，，，，
，是等边三角形，
，，
∵，
、、、四点共线，
过作交延长线于H，则，
∴，则，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：由旋转性质得，，，，
为等边三角形
，
为等边三角形
，
为直角三角形，且
；
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转性质可得，，，，再根据等边三角形性质可得，则为等边三角形，即，，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，，，，，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，由勾股定理即可求出答案.
（3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据圆内接四边形性质可得、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
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