圆中阴影面积计算—深圳市中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2025九下·南山开学考）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·南山模拟）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·龙湖模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·南山月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．π C．4－π D．π－2
5．（2023·坪山模拟）如图，扇形AOB 中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·南山模拟）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·南山模拟）如图，点O为的边上的一点，经过点B且恰好与边相切于点C，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·惠东模拟）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π B．π C．π D．2π
9．（2025九上·麻章期末）如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·深圳模拟）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B． C．2π-4 D．2π-
二、填空题
11．（2024九下·深圳模拟）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ．
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易2））如图，在⊙O中，OA=1，∠C=60°，则图中阴影部分的面积为
13．（2025九下·南山开学考）如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
14．（2025·深圳模拟）如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是 .
15．（2024·高州模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 ．
16．（2024九下·南山模拟）如图，已知半径为1的上有三点，与交于点，，则阴影部分的扇形面积是 ．
17．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）鸳鸯下是指产于比肃武山县鸳鸯镇带的超基性岩石，又名蛇纹石下，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽品莹，而成为长雕工艺品、商档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料。如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点， ∠ADC=130°、张师傅在这块玉行上切割了一块扇形玉石.（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 cm2.
三、解答题
18．（2024九下·兴宁开学考）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
19．（2024九下·郁南模拟）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水面最深地方的高度为．
（1）用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；
（2）求该输水管的半径．
20．（2025九上·新会期末）（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由．
（2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线；
②当时，求的半径及图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解∶过D作于E，如图所示，
由题意得，，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，△BCD为等腰三角形，
又∵，
∴，，
在Rt△BDE中，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，推出，再根据等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用等腰三角形三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故答案为：C．
【分析】连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，根据等边对等角可得 ，由圆周角定理得得，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据，结合扇形面积，三角形面积即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据，结合扇形面积即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：过O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，OP⊥AB于点P，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=10.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OM=ON，M，N，P为切点.
∴AM=AP，CM=CN，BN=BP.
CN+CM=AC+BC－AB=8+6－10=4.
∴CM=2.
∵∠C=90°，ON⊥BC，OM⊥AC，OM=ON，
∴四边形CMON是正方形，
∴∠MON=90°，OM=CM=2.
∴
故答案为：C.
【分析】作出与三边切线垂直的半径后，可得四边形CMON是正方形，CN+CM=AC+BC－AB=4，即CM=2，从而可求正方形以及扇形面积，相减即可得到阴影部分面积.
5．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接OC，过O作OMAC于M，
∵∠AOB＝120°，C 是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC =60°，
∵OA＝OB＝OC＝2，
∴△ABC、△BOC是等边三角形，
∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，
∴△BOC的边AC上的高是=，
∴阴影部分的面积是=.
故答案为：A.
【分析】先求出∠AOC＝∠BOC =60°，再求出AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，最后利用勾股定理和扇形面积公式计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D．
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，结合扇形面积即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OC，
∵与相切于点C，
∴，
∵，，
∴，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再利用锐角三角函数求出OC的值，最后利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=
故答案为：A．
【分析】先求出△AOB是等边三角形，再求出∠AOB=60°，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图连接，，，，．
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
点在菱形的对角线上，
，
，
，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】连接，，，，，根据菱形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，由等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据正切定义，特殊角的三角函数值可得，再根据，结合三角形面积，扇形面积即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接OE，OC，BC，
由旋转知AC=AD，∠CAD=30°，∴∠BOC=60°，∠ACE=(180°-30°) ÷2=75°．
∴∠BCE =90°-∠ACE=15°．∴∠BOE=2∠BCE=30°，∴∠EOC=90°，即△EOC为等腰直角三角形．∵CE=4，∴OE=OC= ．∴S阴影=S扇形OEC -S△OEC= =2π-4．
【分析】连接OE，OC，BC，根据等腰三角形、半圆所对圆周角为90°的性质可推出△EOC为等腰直角三角形，结合S阴影=S扇形OEC -S△OEC进行分析。
11．【答案】10
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意知，，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴此管件的直径为，
故答案为：．
【分析】连接，先由垂径定理求出的长，设的半径为，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
过点O，作于点，
由题得
故答案为：
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点O，作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图所示，过作于，
正六边形内接于中，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在Rt△ABO中，OB=1，HB=1，
∴，
∴，
∴S正六边形 ABCDEF=6S△AOB=，
又∵，
∴S阴影=，
故答案为：．
【分析】根据阴影面积圆的面积空白面积，通过作图，先利用正六边形的性质及正六边形内接于圆，结合勾股定理，求出OH的长，再求出△ABO的面积，继而可求出正六边形的面积，最后计算面积差，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵弓形AEB折叠后为弓形AOB过圆心，
∴OD＝EO＝OA＝，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OB＝OC＝1，
∴，
将弓形OmB绕着点O顺时针旋转120°得弓形OA，弓形OmB绕着点O逆时针旋转120°得弓形OC，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝=，
故答案为：．
【分析】作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，先求出∠BOC＝120°，∠AOC＝120°，再求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC是圆O的内接等边三角形，
∴AC=AB=，∠AOC=2∠ABC=120°，
∵OD⊥AC，OA=OC，
∴AD=，∠AOD=∠AOC=60°，
∴OA=
在△AOB与△AOC中，
∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴S△AOB=S△AOC，
∴S阴影=S扇形AOC=.
故答案为：.
【分析】连接OC，过点O作OD⊥AC于点D，由等边三角形的性质及圆周角定理得AC=AB=，∠AOC=2∠ABC=120°，由等腰三角形的三线合一得AD=，∠AOD=∠AOC=60°，在Rt△AOD中，利用∠AOD的正弦函数可求出OA的长；用SSS判断出△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得S△AOB=S△AOC，由S阴影=S扇形AOC并结合扇形面积计算方法，列式计算即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据扇形面积即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180° ∠ADC＝180° 130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴这块扇形玉石的面积＝()，
故答案为：．
【分析】连接BC，先利用圆内接四边形的对角互补的性质求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC的度数，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
18．【答案】解：（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°.
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB.
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠A=∠D=30°.
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD.
∴BE=DE.
∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcos30°=3.
∴BD=2BE=6.
（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，
∴△OEB≌△CED（AAS）.
∴S阴影=S扇形BOC.
∴S阴影=．
答：阴影部分的面积是6π．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OC交BD于E，可得ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理得到∠COB=2∠D=60°，即可得到∠OCA=90°解题即可.
（2）根据垂径定理可得BE=DE，然后利用解直角三角形求出BD的长解题.
（3）先得到△OEB≌△CED，根据S阴影=S扇形BOC解题即可．
19．【答案】（1）解：如图，
如图，先作线段的垂直平分线，交圆于两点，
∴EF必过圆心
再作线段的垂直平分线，
∴MN必过圆心
∴两条线的交点即为圆心.
（2）解：如图：过点作于点，连接，
∵AB=8
∴
设
∵水面最深地方的高度为
OD=r-2
在中，
即
解得：
故该输水管的半径为．
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线EF，根据垂径定理的推论：可知EF必过圆心，同理：再作EF的垂直平分线MN，两垂直平分线的交点为圆心
（2）先根据垂径定理，得出，由题意知：水面最深地方的高度为，因此可以表示出OD=r-2，再根据勾股定理：，列出方程，解出半径r即可.
20．【答案】解：（1）；理由如下：
如图1，连接和，
∵和是的两条切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C，
∴分别平分，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴，
又∵经过半径的外端点M，
∴是的切线．
②解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的半径为．
∴，
综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是．
【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接和，根据切线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）①根据切线性质可得分别平分，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，即，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
②连接，根据切线性质可得，根据勾股定理可得PD=5，再根据三角形面积可得，再根据阴影面积=三角形面积-扇形面积即可求出答案.
1 / 1圆中阴影面积计算—深圳市中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2025九下·南山开学考）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解∶过D作于E，如图所示，
由题意得，，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，△BCD为等腰三角形，
又∵，
∴，，
在Rt△BDE中，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，推出，再根据等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用等腰三角形三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
2．（2024九下·南山模拟）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故答案为：C．
【分析】连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，根据等边对等角可得 ，由圆周角定理得得，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据，结合扇形面积，三角形面积即可求出答案.
3．（2024九下·龙湖模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据，结合扇形面积即可求出答案.
4．（2023九上·南山月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．π C．4－π D．π－2
【答案】C
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：过O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，OP⊥AB于点P，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=10.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OM=ON，M，N，P为切点.
∴AM=AP，CM=CN，BN=BP.
CN+CM=AC+BC－AB=8+6－10=4.
∴CM=2.
∵∠C=90°，ON⊥BC，OM⊥AC，OM=ON，
∴四边形CMON是正方形，
∴∠MON=90°，OM=CM=2.
∴
故答案为：C.
【分析】作出与三边切线垂直的半径后，可得四边形CMON是正方形，CN+CM=AC+BC－AB=4，即CM=2，从而可求正方形以及扇形面积，相减即可得到阴影部分面积.
5．（2023·坪山模拟）如图，扇形AOB 中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接OC，过O作OMAC于M，
∵∠AOB＝120°，C 是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC =60°，
∵OA＝OB＝OC＝2，
∴△ABC、△BOC是等边三角形，
∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，
∴△BOC的边AC上的高是=，
∴阴影部分的面积是=.
故答案为：A.
【分析】先求出∠AOC＝∠BOC =60°，再求出AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，最后利用勾股定理和扇形面积公式计算求解即可。
6．（2024九下·南山模拟）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D．
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，结合扇形面积即可求出答案.
7．（2023·南山模拟）如图，点O为的边上的一点，经过点B且恰好与边相切于点C，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OC，
∵与相切于点C，
∴，
∵，，
∴，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再利用锐角三角函数求出OC的值，最后利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
8．（2023·惠东模拟）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π B．π C．π D．2π
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=
故答案为：A．
【分析】先求出△AOB是等边三角形，再求出∠AOB=60°，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
9．（2025九上·麻章期末）如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图连接，，，，．
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
点在菱形的对角线上，
，
，
，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】连接，，，，，根据菱形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，由等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据正切定义，特殊角的三角函数值可得，再根据，结合三角形面积，扇形面积即可求出答案.
10．（2023·深圳模拟）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B． C．2π-4 D．2π-
【答案】C
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接OE，OC，BC，
由旋转知AC=AD，∠CAD=30°，∴∠BOC=60°，∠ACE=(180°-30°) ÷2=75°．
∴∠BCE =90°-∠ACE=15°．∴∠BOE=2∠BCE=30°，∴∠EOC=90°，即△EOC为等腰直角三角形．∵CE=4，∴OE=OC= ．∴S阴影=S扇形OEC -S△OEC= =2π-4．
【分析】连接OE，OC，BC，根据等腰三角形、半圆所对圆周角为90°的性质可推出△EOC为等腰直角三角形，结合S阴影=S扇形OEC -S△OEC进行分析。
二、填空题
11．（2024九下·深圳模拟）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意知，，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴此管件的直径为，
故答案为：．
【分析】连接，先由垂径定理求出的长，设的半径为，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易2））如图，在⊙O中，OA=1，∠C=60°，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
过点O，作于点，
由题得
故答案为：
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点O，作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
13．（2025九下·南山开学考）如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图所示，过作于，
正六边形内接于中，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在Rt△ABO中，OB=1，HB=1，
∴，
∴，
∴S正六边形 ABCDEF=6S△AOB=，
又∵，
∴S阴影=，
故答案为：．
【分析】根据阴影面积圆的面积空白面积，通过作图，先利用正六边形的性质及正六边形内接于圆，结合勾股定理，求出OH的长，再求出△ABO的面积，继而可求出正六边形的面积，最后计算面积差，即可得出答案．
14．（2025·深圳模拟）如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵弓形AEB折叠后为弓形AOB过圆心，
∴OD＝EO＝OA＝，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OB＝OC＝1，
∴，
将弓形OmB绕着点O顺时针旋转120°得弓形OA，弓形OmB绕着点O逆时针旋转120°得弓形OC，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝=，
故答案为：．
【分析】作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，先求出∠BOC＝120°，∠AOC＝120°，再求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
15．（2024·高州模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC是圆O的内接等边三角形，
∴AC=AB=，∠AOC=2∠ABC=120°，
∵OD⊥AC，OA=OC，
∴AD=，∠AOD=∠AOC=60°，
∴OA=
在△AOB与△AOC中，
∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴S△AOB=S△AOC，
∴S阴影=S扇形AOC=.
故答案为：.
【分析】连接OC，过点O作OD⊥AC于点D，由等边三角形的性质及圆周角定理得AC=AB=，∠AOC=2∠ABC=120°，由等腰三角形的三线合一得AD=，∠AOD=∠AOC=60°，在Rt△AOD中，利用∠AOD的正弦函数可求出OA的长；用SSS判断出△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得S△AOB=S△AOC，由S阴影=S扇形AOC并结合扇形面积计算方法，列式计算即可.
16．（2024九下·南山模拟）如图，已知半径为1的上有三点，与交于点，，则阴影部分的扇形面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据扇形面积即可求出答案.
17．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）鸳鸯下是指产于比肃武山县鸳鸯镇带的超基性岩石，又名蛇纹石下，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽品莹，而成为长雕工艺品、商档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料。如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点， ∠ADC=130°、张师傅在这块玉行上切割了一块扇形玉石.（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 cm2.
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180° ∠ADC＝180° 130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴这块扇形玉石的面积＝()，
故答案为：．
【分析】连接BC，先利用圆内接四边形的对角互补的性质求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC的度数，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
三、解答题
18．（2024九下·兴宁开学考）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°.
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB.
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠A=∠D=30°.
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD.
∴BE=DE.
∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcos30°=3.
∴BD=2BE=6.
（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，
∴△OEB≌△CED（AAS）.
∴S阴影=S扇形BOC.
∴S阴影=．
答：阴影部分的面积是6π．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OC交BD于E，可得ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理得到∠COB=2∠D=60°，即可得到∠OCA=90°解题即可.
（2）根据垂径定理可得BE=DE，然后利用解直角三角形求出BD的长解题.
（3）先得到△OEB≌△CED，根据S阴影=S扇形BOC解题即可．
19．（2024九下·郁南模拟）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水面最深地方的高度为．
（1）用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；
（2）求该输水管的半径．
【答案】（1）解：如图，
如图，先作线段的垂直平分线，交圆于两点，
∴EF必过圆心
再作线段的垂直平分线，
∴MN必过圆心
∴两条线的交点即为圆心.
（2）解：如图：过点作于点，连接，
∵AB=8
∴
设
∵水面最深地方的高度为
OD=r-2
在中，
即
解得：
故该输水管的半径为．
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线EF，根据垂径定理的推论：可知EF必过圆心，同理：再作EF的垂直平分线MN，两垂直平分线的交点为圆心
（2）先根据垂径定理，得出，由题意知：水面最深地方的高度为，因此可以表示出OD=r-2，再根据勾股定理：，列出方程，解出半径r即可.
20．（2025九上·新会期末）（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由．
（2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线；
②当时，求的半径及图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）；理由如下：
如图1，连接和，
∵和是的两条切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C，
∴分别平分，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴，
又∵经过半径的外端点M，
∴是的切线．
②解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的半径为．
∴，
综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是．
【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接和，根据切线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）①根据切线性质可得分别平分，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，即，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
②连接，根据切线性质可得，根据勾股定理可得PD=5，再根据三角形面积可得，再根据阴影面积=三角形面积-扇形面积即可求出答案.
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