【精品解析】几何新定义型—深圳市中考数学地方特色专题

几何新定义型—深圳市中考数学地方特色专题
一、解答题
1．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
2．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
（1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”)
①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；（　　）
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；（　　）
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；（　　）
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．（　　）
（2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB（3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB=8，AD=10．请利用备用图求AE的长度．
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题19新定义与阅读理解（较难））我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．
（1）等边三角形“内似线”的条数为　 　；
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求证：BD是△ABC的“内似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．（松泉巫小斌供）
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（易1））定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边
形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．
（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；
（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，
①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；
②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；
③请直接写出AC的长．
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（易2））我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图（1），已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为　 　，最小值为　 　．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
（3）【问题解决】
如图3，在中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB，~CD互为＂十字弦＂且，则CD的长度　 　．
7．（2024九下·中山模拟）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试：
（1）如图①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为　 　时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
理解运用：
（2）如图②，△ABD与△ACD为偏等积三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长；
综合应用：
（3）如图③，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF，求证：△ABC与△AEF为偏等积三角形．
8．（2024九下·东莞模拟）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形．
（1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
（2）如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值；
（3）对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值．
9．（2024九下·东莞模拟）随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
10．（2024九下·博罗模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）验证：矩形是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
（2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
11．（2024·中山模拟）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是　 　（填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；
（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
12．（2024九下·东莞模拟）如图①，点，在线段上，点在点的左侧，若线段，，满足，称，是线段的勾股点．
（1）如图②，，是线段的勾股点，分别以线段，，为边向的同侧作正，正，正，已知正、正的面积分别是3，5，则正的面积是 ；
（2）如图①，，，是线段的勾股点，当时，求的长；
（3）如图③，，是线段的勾股点，以为直径画，在上，，连接，，若，求的度数．
13．（2025九下·杭州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）基础巩固：
若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　°；
（2）尝试应用：
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．
①若AD是∠BAC的平分线，判断△ABD是否是“准互余三角形” ▲ （是、否）；
②在边BC上存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”，求此时∠EAC的度数；
（3）拓展提高：
如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
14．（2024九下·浙江模拟）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
（2）在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
15．（2024·常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是　 　，d＝　 　（写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
2．【答案】（1）解：①错误②正确③正确④正确
（2）解：如图2所示，点E、F即为所求；
（3）解：连接EF，如图3所示：
四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，
由作图可知，CF=CB=10，
设，则，
是BF的垂直平分线，
在Rt中，由勾股定理得：，解得：，
即AE的长为3．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；×，
故答案为：×；
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；√，
故答案为：√；
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；√，
故答案为：√；
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．√，
故答案为：√；
【分析】（1）根据顶针点的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据题意作图即可求出答案.
（3）连接EF，根据矩形性质可得BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，再根据勾股定理可得DF=10，再根据边之间的关系可得AF=4，设，则，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】（1）3
（2）证明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“内似线”；
（3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
由勾股定理可得AB＝13．
设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“内似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当时，EF∥AB，
过点D作DN⊥BC于点N，如图2所示
∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=（AC+BC﹣AB）＝2，
∵CD平分∠ACB，
，
∵DN∥AC，
，即，解得，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
，即，解得；
②当时，同理可得，解得（舍弃）．
综上，
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示，
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”；
故答案为：3；
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，再根据“内似线”定义即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，再根据相似三角形判定定理可得△BCD∽△ABC，再根据角平分线判定定理可得BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，再根据“内似线”定义即可求出答案.
（3）由勾股定理可得AB＝13，设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，根据“内似线”定义可得△CEF与△ABC相似，分情况讨论：①当时，EF∥AB，过点D作DN⊥BC于点N，则DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得△CEF∽△CAB，则，代值计算即可求出答案；②当时，同理可得，解得（舍弃）即可求出答案
4．【答案】（1）解：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E＝α；
（2）解：如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线
∵
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角
【知识点】圆内接四边形的性质；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和角度的计算规则，可以用含α的代数式表示出∠E；
（2）延长BC到点T，结合圆内接四边形的性质、圆周角定理和角平分线的定义，对四边形ABCD内接于⊙O的情况进行论证，证明
∠ BEC是△ABC中∠BAC的遥望角。
5．【答案】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APQ＝60°，
∵PQ＝AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q＝60°＝∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，
∴∠QAC+∠QBC＝240°，
∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，
∴∠QBC＜120°，
∴∠QAC≠∠QBC，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，
∴四边形AQBC是等对角四边形；
（2）解：①如图②，∠BAD＝∠BCD，
理由：连接BD，
∵AB≠AD，BC＝DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD；
②∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∴BD＝10，
∴BC＝CD＝；
③7
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（3）③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠CDH＝180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH＝AD+DH＝14，
∵AC2+CH2＝AH2，
∴2AC2＝196，
∴AC＝7，
故AC的长为7
【分析】（1）根据题目所给新定义及圆周角性质、圆内接四边形、等边三角形的性质和四边形内角和进行证明即可；
（2）①连接BD，根据题意，结合圆周角的性质分析，即可得到答案；
②结合①，通过勾股定理进行计算，即可得到答案；
③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，结合①，通过圆内接四边形、勾股定理、旋转性质进行分析，即可得到答案．
6．【答案】（1）10；6
（2）证明：如图2，连接AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵AC＝12，DH＝7，CH＝9，
，
，
∵∠C＝∠C，
∴△HCA∽△ACD，
∴∠CHA＝∠CAD＝90°，
∴AB⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”；
（3）6
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆的综合题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：当CD为⊙O的直径时，CD有最大值，最大值为10，
如图4，当点D与点A重合时，CD有最小值，
连接BC，
∵AB⊥CD，
∴BC为⊙O的直径，
由勾股定理得：AC＝
故答案为：10；6；
（3）解：如图3，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OD，
∵AB⊥CD，
∴四边形EOFH为矩形，
∵AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴OE＝OF，
∴矩形EOFH为正方形，
∴OE＝EH，
设DH＝x，则CH＝5x，
∴CD＝CH+DH＝6x，
∵OE⊥CD，
∴DE＝CD＝3x，
∴EH＝OE＝2x，
在Rt△OED中，，即，
解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴CD＝6x＝6，
故答案为：6
【分析】（1）根据垂径定理，AB的“十字弦”CD的最大值发生在AB为直径的垂直平分线时，此时CD为圆的直径，最大值为圆的直径；对于最小值，考虑CD垂直于AB，当CD尽可能远离圆心时，CD的长度最小利用勾股定理，即可求解；
(2) 根据题设条件，弦CD是直径，根据直径的性质可得∠ACD=90°，进而得到△ACD是直角三角形。又给定DH=7，CH=9，则CD=16，DH+CH=CD。由勾股定理得：，因为，代入，可以验证确实构成直角三角形。由于CD是直径，根据垂径定理，弦AB垂直于CD，且相交于H，满足“十字弦”的定义。故AB、CD互为“十字弦”。
7．【答案】（1）；
解：（2）∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，△ABD与△ACD为等高三角形
∴BD=DC，
∵ABCE，
∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD=DE，CE=AB=2
∴AE=2AD，
∵AC-CE∴3∴1.5∵AD的长为正整数，
∴AD=2或3，
∴AE=4或6；
（3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，
∴∠H=∠ACB=90°，
∴∠HEA+∠EAH=90°
∵四边形ABDE为正方形，
∴AB=AE，∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠HAB=90°，
∴∠HAB=∠HEA，
∵四边形ACGF是正方形，
∴AF=AC，AFCG，
∴∠HAB=∠ABC，
∴∠HEA=∠ABC，
∴△EAH≌△BAC（ASA），
∴EH=BC，
∵，，
∴，
又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90°
∴△ABC与△AEF不是全等三角形，
∴△ABC与△AEF为偏等积三角形．
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴，，
∵△ABP与△CBP为偏等积三角形，
∴，
∴；
【分析】（1）根据三角形面积及题意即可求出答案.
（2）根据题意可得BD=DC，再根据直线平行性质可得∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ECD（AAS），则AD=DE，CE=AB=2，再根据三角形三边关系可得3（3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，根据角之间的关系可得∠HEA+∠EAH=90°，再根据正方形性质可得AB=AE，∠EAB=90°，则∠HAB=∠HEA，再根据正方形性质可得AF=AC，AFCG，则∠HEA=∠ABC，再根据全等三角形判定定理可得△EAH≌△BAC（ASA），则EH=BC，再根据三角形面积可得，再根据题意即可求出答案.
8．【答案】（1）解：
（2）解：设矩形是其美好矩形，
，
或．

（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为二次函数的对称轴为直线
当时，即
①顶点在x轴上，端点纵坐标是即
或
解得：或均符合题意；
②端点在x轴上，顶点纵坐标是即
或
，
解得：或(舍去，不符合a，b大小关系)或或或(舍去，不满足a，b大小关系)；
当对称轴不在x的取值范围内时，有：
或
，
解得：或
综上所述，或或．

【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据x的取值范围可以求出A点和C的坐标，从而推出B点和D的坐标，然后根据矩形面积公式求解即可.
（2）函数图象在A、B之间的图形的美好矩形即以AB为对角线的矩形，据此求出m的值即可；
（3）根据二次函数的对称轴是否在x的取值范围内分类讨论，当对称轴在x取值范围内，顶点在x轴上，端点纵坐标是或端点在x轴上，顶点纵坐标是，当对称轴不在取值范围内时，两个端点一个在x轴上，一个纵坐标是据此解答．
9．【答案】解（1）作AB⊥x轴，
∵A（2，2），
∴OA=2，
∴∠AOB=45°，
∴给机器人发的指令为：[2，45°]；
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，
在Rt△ABC中：，
解得x=2.5，
又∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=37°，
∵∠OAB=45°，
∴∠OAC=37°+45°=82°，
∴∠DAC=180°-82°=98°，
∴输入的指令为[2.5，98°]．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）作AB⊥x轴，根据两点间距离可得OA=2，再根据直角三角形性质即可求出答案.
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2.5，再根据正切定义可得tan∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】（1）解：矩形的周长为：，
矩形的周长为：，
矩形的周长矩形的周长．
矩形的面积为：，
矩形的面积为：，
矩形的面积矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）解：该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将代入②得：
即
方程无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义列出方程组，解方程组即可求出答案.
11．【答案】（1）④
（2）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴AE＝BG，
又∵BG⊥AE，
∴四边形ABEG是“神奇四边形”；
②解：四边形MNPQ是“神奇四边形”，理由如下：
∵M，N为AB，AG的中点，
∴MN为△ABG的中位线，
∴MN∥BG，MN＝BG，
同理：PQ∥BG，PQ＝BG，MQ∥AE，MQ＝AE，NP∥AE，NP＝AE，
∴MN＝PQ，MQ＝NP，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵AE＝BG，
∴MN＝MQ，
∴平行四边形MNPQ为菱形，
∵BG⊥AE，MQ∥AE，
∴MQ⊥BG，
∵MN∥BG，
∴MQ⊥MN，
∴∠QMN＝90°，
∴四边形MNPQ为正方形，
∴四边形MNPQ是“神奇四边形”；
（3）解：如图3，延长AO交BC于S，
由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB＝6，∠B＝90°，
设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，
在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴AF＝，
∵AO⊥FR，
∴∠AOF＝90°，
即线段OF的长为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵平行四边形的对角线互相平分，
∴平行四边形不是“神奇四边形”；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形不是“神奇四边形”；
∵菱形对角线互相垂直，
∴菱形不是“神奇四边形”；
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴正方形是“神奇四边形”；
故答案为：④
【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形对角线互相垂直；正方形的对角线互相垂直平分且相等；利用“神奇四边形”的定义可作出判断.
（2）①利用正方形的性质可证得∠ABC＝∠BCD＝90°，再利用余角的性质可推出∠BAE＝∠CBG，利用ASA可证得△ABE≌△BCG，利用全等三角形的性质可证得AE＝BG，然后利用“神奇四边形”的定义可证得结论；②利用已知易证MN为△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理可推出MN＝PQ，MQ＝NP，据此可证得四边形MNPQ为平行四边形，可推出MN=NQ，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得平行四边形MNPQ为菱形；再证明四边形MNPQ为正方形，据此可证得结论.
（3）延长AO交BC于S，由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，利用勾股定理可求出AS，AO的长，设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AF的长；然后；利用勾股定理求出OF的长.
12．【答案】（1）2
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，是线段的勾股点，
∴，即，
解得；
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，是线段的勾股点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如下图，过点作于点，
设，，，
∵，是线段的勾股点，
∴，即，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：2；
【分析】（1）过点作于点，设，，，根据勾股点定义可得，再解得，同理可得，，进而解得，即可求出答案.
（2）根据题意可得，，根据勾股点的定义可得，即，解方程即可求出答案.
（3）连接，由题意可得，根据圆周角定理可知，再由勾股定理可得，得到以及各角间的关系，从而求出的度数，即可求出答案.
13．【答案】（1）15
（2）解：①是
②如图①中，在Rt△ABC中， ∠BAC＝50° ， ∠ACB＝90°，
∴∠B=90°-∠BAC=40°，
∵△ABE是“准互余三角形”， 且∠AEB＞90°，
∴只有2∠B+∠BAE=90°， 即2×40°+∠BAE=90°，
∴∠BAE=10°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，
∴CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，
又∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴
∴，
设FB=x，
则有：，
∴x=9或-16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°， ∠A＝60°，
∴2∠B+∠A=90°，即2∠B+60°=90°，
∴∠B=15°；
故答案为：15；
（2）①∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=50°，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，
在△ABD中，∵∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
故答案为：是；
【分析】（1）根据“准互余三角形”定义并结合∠C与∠A的度数得出2∠B+∠A=90°，在代值计算即可；
（2）①由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD=25°，由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，故∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，从而根据“准互余三角形”定义得出结论；
②由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，根据“准互余三角形”定义得出只有2∠B+∠BAE=90°，代值计算求出∠BAE=10°，最后根据∠CAE=∠BAC-∠BAE算出答案；
（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，由翻性质得CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，然后判断出A、B、F共线，由直角三角形量锐角互余得出∠FAC+∠ACF=90°，根据“准互余三角形”定义得出2∠BAC+∠ACB=90°，则∠FCB=∠FAC，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FCB∽△FAC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出FB的长，最后在Rt△AFC中，利用勾股定理算出AC即可.
14．【答案】（1）菱形、正方形
（2）解：①当，时，与最小，∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
【分析】（1）根据 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，利用“ 可折四边形 ”的定义解题；
（2）①当，时，与最小，此时最小；根据30°的直角三角形的性质解题即可；
②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，即可得到，，进而求得，根据角平分线的判定解题即可；
③先得到，，，四点共圆，然后分为两种情况：当和时，利用勾股定理解题即可．
15．【答案】（1）BD；1
（2）解：作图如图所示，
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SAS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）解：∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，
∴DE＝2，，
对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴DF≥3，EF≥3，
当DE在圆外时，
∵DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF总成立，
∴，
∴，
即；
当DE在圆内时，

有DF≥GF﹣DG，EF≥GF﹣EG总成立，
则，
∴GF3，
∴r3；
综上：或r3；
【知识点】平移的性质；尺规作图-作三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵B、C、D是线段AE的四等分点，AE＝4，
∴，
∴AC=AB+BC=BC+CD=BD=2.
∵AC向右平移1个单位可以和BD重合，根据平移关联图形的定义，可知线段AC的“平移关联图形”是BD，d=1.
故答案为：BD；1.
【分析】（1）B、C、D是线段AE的四等分点可得AB=BC=CD=DE=1，且AC=BD=2，根据平移关联图形的定义，AC向右平移1个单位可以和BD重合，据此可得到结论.
（2）①在AB延长线上截取BA'＝BA，②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，③连接BC和A'C'，得到△BA'C'，可以证明三角形△BA'C'≌△BA'C'，且AB向右平移2个单位可得BA'，故△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且d=2；
（3）根据点D，E。G的坐标可得OD=OE=1，OG=4，DE=2，.根据题意，连接DE、EF、FD所形成的图形的“平移关联图形”都满足d≥3，由于DE＝2＜3，可知DF≥3，EF≥3总成立.于是可分两种情况进行讨论：①当DE在圆外时，DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF，即，据此可得r的取值范围；②当DE在圆外时，有，也可据此得到r的取值范围，最后综述即可.
1 / 1几何新定义型—深圳市中考数学地方特色专题
一、解答题
1．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
2．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
（1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”)
①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；（　　）
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；（　　）
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；（　　）
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．（　　）
（2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB（3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB=8，AD=10．请利用备用图求AE的长度．
【答案】（1）解：①错误②正确③正确④正确
（2）解：如图2所示，点E、F即为所求；
（3）解：连接EF，如图3所示：
四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，
由作图可知，CF=CB=10，
设，则，
是BF的垂直平分线，
在Rt中，由勾股定理得：，解得：，
即AE的长为3．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；×，
故答案为：×；
②一条顶针线段的顶针点有无数多对；√，
故答案为：√；
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；√，
故答案为：√；
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．√，
故答案为：√；
【分析】（1）根据顶针点的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据题意作图即可求出答案.
（3）连接EF，根据矩形性质可得BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，再根据勾股定理可得DF=10，再根据边之间的关系可得AF=4，设，则，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题19新定义与阅读理解（较难））我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．
（1）等边三角形“内似线”的条数为　 　；
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求证：BD是△ABC的“内似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．（松泉巫小斌供）
【答案】（1）3
（2）证明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“内似线”；
（3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
由勾股定理可得AB＝13．
设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“内似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当时，EF∥AB，
过点D作DN⊥BC于点N，如图2所示
∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=（AC+BC﹣AB）＝2，
∵CD平分∠ACB，
，
∵DN∥AC，
，即，解得，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
，即，解得；
②当时，同理可得，解得（舍弃）．
综上，
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示，
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”；
故答案为：3；
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，再根据“内似线”定义即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，再根据相似三角形判定定理可得△BCD∽△ABC，再根据角平分线判定定理可得BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，再根据“内似线”定义即可求出答案.
（3）由勾股定理可得AB＝13，设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，根据“内似线”定义可得△CEF与△ABC相似，分情况讨论：①当时，EF∥AB，过点D作DN⊥BC于点N，则DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得△CEF∽△CAB，则，代值计算即可求出答案；②当时，同理可得，解得（舍弃）即可求出答案
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（易1））定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【答案】（1）解：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E＝α；
（2）解：如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线
∵
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角
【知识点】圆内接四边形的性质；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和角度的计算规则，可以用含α的代数式表示出∠E；
（2）延长BC到点T，结合圆内接四边形的性质、圆周角定理和角平分线的定义，对四边形ABCD内接于⊙O的情况进行论证，证明
∠ BEC是△ABC中∠BAC的遥望角。
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（中等））定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边
形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．
（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；
（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，
①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；
②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；
③请直接写出AC的长．
【答案】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APQ＝60°，
∵PQ＝AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q＝60°＝∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，
∴∠QAC+∠QBC＝240°，
∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，
∴∠QBC＜120°，
∴∠QAC≠∠QBC，
∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，
∴四边形AQBC是等对角四边形；
（2）解：①如图②，∠BAD＝∠BCD，
理由：连接BD，
∵AB≠AD，BC＝DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD；
②∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∴BD＝10，
∴BC＝CD＝；
③7
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（3）③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠CDH＝180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH＝AD+DH＝14，
∵AC2+CH2＝AH2，
∴2AC2＝196，
∴AC＝7，
故AC的长为7
【分析】（1）根据题目所给新定义及圆周角性质、圆内接四边形、等边三角形的性质和四边形内角和进行证明即可；
（2）①连接BD，根据题意，结合圆周角的性质分析，即可得到答案；
②结合①，通过勾股定理进行计算，即可得到答案；
③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，结合①，通过圆内接四边形、勾股定理、旋转性质进行分析，即可得到答案．
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题11圆的综合题（易2））我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图（1），已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为　 　，最小值为　 　．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
（3）【问题解决】
如图3，在中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB，~CD互为＂十字弦＂且，则CD的长度　 　．
【答案】（1）10；6
（2）证明：如图2，连接AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵AC＝12，DH＝7，CH＝9，
，
，
∵∠C＝∠C，
∴△HCA∽△ACD，
∴∠CHA＝∠CAD＝90°，
∴AB⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”；
（3）6
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆的综合题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：当CD为⊙O的直径时，CD有最大值，最大值为10，
如图4，当点D与点A重合时，CD有最小值，
连接BC，
∵AB⊥CD，
∴BC为⊙O的直径，
由勾股定理得：AC＝
故答案为：10；6；
（3）解：如图3，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OD，
∵AB⊥CD，
∴四边形EOFH为矩形，
∵AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴OE＝OF，
∴矩形EOFH为正方形，
∴OE＝EH，
设DH＝x，则CH＝5x，
∴CD＝CH+DH＝6x，
∵OE⊥CD，
∴DE＝CD＝3x，
∴EH＝OE＝2x，
在Rt△OED中，，即，
解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴CD＝6x＝6，
故答案为：6
【分析】（1）根据垂径定理，AB的“十字弦”CD的最大值发生在AB为直径的垂直平分线时，此时CD为圆的直径，最大值为圆的直径；对于最小值，考虑CD垂直于AB，当CD尽可能远离圆心时，CD的长度最小利用勾股定理，即可求解；
(2) 根据题设条件，弦CD是直径，根据直径的性质可得∠ACD=90°，进而得到△ACD是直角三角形。又给定DH=7，CH=9，则CD=16，DH+CH=CD。由勾股定理得：，因为，代入，可以验证确实构成直角三角形。由于CD是直径，根据垂径定理，弦AB垂直于CD，且相交于H，满足“十字弦”的定义。故AB、CD互为“十字弦”。
7．（2024九下·中山模拟）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试：
（1）如图①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为　 　时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
理解运用：
（2）如图②，△ABD与△ACD为偏等积三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长；
综合应用：
（3）如图③，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF，求证：△ABC与△AEF为偏等积三角形．
【答案】（1）；
解：（2）∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，△ABD与△ACD为等高三角形
∴BD=DC，
∵ABCE，
∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD=DE，CE=AB=2
∴AE=2AD，
∵AC-CE∴3∴1.5∵AD的长为正整数，
∴AD=2或3，
∴AE=4或6；
（3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，
∴∠H=∠ACB=90°，
∴∠HEA+∠EAH=90°
∵四边形ABDE为正方形，
∴AB=AE，∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠HAB=90°，
∴∠HAB=∠HEA，
∵四边形ACGF是正方形，
∴AF=AC，AFCG，
∴∠HAB=∠ABC，
∴∠HEA=∠ABC，
∴△EAH≌△BAC（ASA），
∴EH=BC，
∵，，
∴，
又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90°
∴△ABC与△AEF不是全等三角形，
∴△ABC与△AEF为偏等积三角形．
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴，，
∵△ABP与△CBP为偏等积三角形，
∴，
∴；
【分析】（1）根据三角形面积及题意即可求出答案.
（2）根据题意可得BD=DC，再根据直线平行性质可得∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ECD（AAS），则AD=DE，CE=AB=2，再根据三角形三边关系可得3（3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，根据角之间的关系可得∠HEA+∠EAH=90°，再根据正方形性质可得AB=AE，∠EAB=90°，则∠HAB=∠HEA，再根据正方形性质可得AF=AC，AFCG，则∠HEA=∠ABC，再根据全等三角形判定定理可得△EAH≌△BAC（ASA），则EH=BC，再根据三角形面积可得，再根据题意即可求出答案.
8．（2024九下·东莞模拟）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形．
（1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
（2）如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值；
（3）对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值．
【答案】（1）解：
（2）解：设矩形是其美好矩形，
，
或．

（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为二次函数的对称轴为直线
当时，即
①顶点在x轴上，端点纵坐标是即
或
解得：或均符合题意；
②端点在x轴上，顶点纵坐标是即
或
，
解得：或(舍去，不符合a，b大小关系)或或或(舍去，不满足a，b大小关系)；
当对称轴不在x的取值范围内时，有：
或
，
解得：或
综上所述，或或．

【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据x的取值范围可以求出A点和C的坐标，从而推出B点和D的坐标，然后根据矩形面积公式求解即可.
（2）函数图象在A、B之间的图形的美好矩形即以AB为对角线的矩形，据此求出m的值即可；
（3）根据二次函数的对称轴是否在x的取值范围内分类讨论，当对称轴在x取值范围内，顶点在x轴上，端点纵坐标是或端点在x轴上，顶点纵坐标是，当对称轴不在取值范围内时，两个端点一个在x轴上，一个纵坐标是据此解答．
9．（2024九下·东莞模拟）随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解（1）作AB⊥x轴，
∵A（2，2），
∴OA=2，
∴∠AOB=45°，
∴给机器人发的指令为：[2，45°]；
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，
在Rt△ABC中：，
解得x=2.5，
又∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=37°，
∵∠OAB=45°，
∴∠OAC=37°+45°=82°，
∴∠DAC=180°-82°=98°，
∴输入的指令为[2.5，98°]．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）作AB⊥x轴，根据两点间距离可得OA=2，再根据直角三角形性质即可求出答案.
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2.5，再根据正切定义可得tan∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．（2024九下·博罗模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）验证：矩形是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
（2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】（1）解：矩形的周长为：，
矩形的周长为：，
矩形的周长矩形的周长．
矩形的面积为：，
矩形的面积为：，
矩形的面积矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）解：该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将代入②得：
即
方程无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义列出方程组，解方程组即可求出答案.
11．（2024·中山模拟）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是　 　（填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；
（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
【答案】（1）④
（2）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴AE＝BG，
又∵BG⊥AE，
∴四边形ABEG是“神奇四边形”；
②解：四边形MNPQ是“神奇四边形”，理由如下：
∵M，N为AB，AG的中点，
∴MN为△ABG的中位线，
∴MN∥BG，MN＝BG，
同理：PQ∥BG，PQ＝BG，MQ∥AE，MQ＝AE，NP∥AE，NP＝AE，
∴MN＝PQ，MQ＝NP，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵AE＝BG，
∴MN＝MQ，
∴平行四边形MNPQ为菱形，
∵BG⊥AE，MQ∥AE，
∴MQ⊥BG，
∵MN∥BG，
∴MQ⊥MN，
∴∠QMN＝90°，
∴四边形MNPQ为正方形，
∴四边形MNPQ是“神奇四边形”；
（3）解：如图3，延长AO交BC于S，
由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB＝6，∠B＝90°，
设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，
在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴AF＝，
∵AO⊥FR，
∴∠AOF＝90°，
即线段OF的长为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵平行四边形的对角线互相平分，
∴平行四边形不是“神奇四边形”；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形不是“神奇四边形”；
∵菱形对角线互相垂直，
∴菱形不是“神奇四边形”；
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴正方形是“神奇四边形”；
故答案为：④
【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形对角线互相垂直；正方形的对角线互相垂直平分且相等；利用“神奇四边形”的定义可作出判断.
（2）①利用正方形的性质可证得∠ABC＝∠BCD＝90°，再利用余角的性质可推出∠BAE＝∠CBG，利用ASA可证得△ABE≌△BCG，利用全等三角形的性质可证得AE＝BG，然后利用“神奇四边形”的定义可证得结论；②利用已知易证MN为△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理可推出MN＝PQ，MQ＝NP，据此可证得四边形MNPQ为平行四边形，可推出MN=NQ，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得平行四边形MNPQ为菱形；再证明四边形MNPQ为正方形，据此可证得结论.
（3）延长AO交BC于S，由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，利用勾股定理可求出AS，AO的长，设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AF的长；然后；利用勾股定理求出OF的长.
12．（2024九下·东莞模拟）如图①，点，在线段上，点在点的左侧，若线段，，满足，称，是线段的勾股点．
（1）如图②，，是线段的勾股点，分别以线段，，为边向的同侧作正，正，正，已知正、正的面积分别是3，5，则正的面积是 ；
（2）如图①，，，是线段的勾股点，当时，求的长；
（3）如图③，，是线段的勾股点，以为直径画，在上，，连接，，若，求的度数．
【答案】（1）2
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，是线段的勾股点，
∴，即，
解得；
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，是线段的勾股点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如下图，过点作于点，
设，，，
∵，是线段的勾股点，
∴，即，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：2；
【分析】（1）过点作于点，设，，，根据勾股点定义可得，再解得，同理可得，，进而解得，即可求出答案.
（2）根据题意可得，，根据勾股点的定义可得，即，解方程即可求出答案.
（3）连接，由题意可得，根据圆周角定理可知，再由勾股定理可得，得到以及各角间的关系，从而求出的度数，即可求出答案.
13．（2025九下·杭州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）基础巩固：
若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　°；
（2）尝试应用：
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．
①若AD是∠BAC的平分线，判断△ABD是否是“准互余三角形” ▲ （是、否）；
②在边BC上存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”，求此时∠EAC的度数；
（3）拓展提高：
如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
【答案】（1）15
（2）解：①是
②如图①中，在Rt△ABC中， ∠BAC＝50° ， ∠ACB＝90°，
∴∠B=90°-∠BAC=40°，
∵△ABE是“准互余三角形”， 且∠AEB＞90°，
∴只有2∠B+∠BAE=90°， 即2×40°+∠BAE=90°，
∴∠BAE=10°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，
∴CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，
又∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴
∴，
设FB=x，
则有：，
∴x=9或-16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°， ∠A＝60°，
∴2∠B+∠A=90°，即2∠B+60°=90°，
∴∠B=15°；
故答案为：15；
（2）①∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=50°，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，
在△ABD中，∵∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
故答案为：是；
【分析】（1）根据“准互余三角形”定义并结合∠C与∠A的度数得出2∠B+∠A=90°，在代值计算即可；
（2）①由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD=25°，由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，故∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，从而根据“准互余三角形”定义得出结论；
②由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，根据“准互余三角形”定义得出只有2∠B+∠BAE=90°，代值计算求出∠BAE=10°，最后根据∠CAE=∠BAC-∠BAE算出答案；
（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，由翻性质得CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，然后判断出A、B、F共线，由直角三角形量锐角互余得出∠FAC+∠ACF=90°，根据“准互余三角形”定义得出2∠BAC+∠ACB=90°，则∠FCB=∠FAC，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FCB∽△FAC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出FB的长，最后在Rt△AFC中，利用勾股定理算出AC即可.
14．（2024九下·浙江模拟）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
（2）在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形、正方形
（2）解：①当，时，与最小，∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
【分析】（1）根据 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，利用“ 可折四边形 ”的定义解题；
（2）①当，时，与最小，此时最小；根据30°的直角三角形的性质解题即可；
②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，即可得到，，进而求得，根据角平分线的判定解题即可；
③先得到，，，四点共圆，然后分为两种情况：当和时，利用勾股定理解题即可．
15．（2024·常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是　 　，d＝　 　（写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）BD；1
（2）解：作图如图所示，
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SAS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）解：∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，
∴DE＝2，，
对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴DF≥3，EF≥3，
当DE在圆外时，
∵DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF总成立，
∴，
∴，
即；
当DE在圆内时，

有DF≥GF﹣DG，EF≥GF﹣EG总成立，
则，
∴GF3，
∴r3；
综上：或r3；
【知识点】平移的性质；尺规作图-作三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵B、C、D是线段AE的四等分点，AE＝4，
∴，
∴AC=AB+BC=BC+CD=BD=2.
∵AC向右平移1个单位可以和BD重合，根据平移关联图形的定义，可知线段AC的“平移关联图形”是BD，d=1.
故答案为：BD；1.
【分析】（1）B、C、D是线段AE的四等分点可得AB=BC=CD=DE=1，且AC=BD=2，根据平移关联图形的定义，AC向右平移1个单位可以和BD重合，据此可得到结论.
（2）①在AB延长线上截取BA'＝BA，②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，③连接BC和A'C'，得到△BA'C'，可以证明三角形△BA'C'≌△BA'C'，且AB向右平移2个单位可得BA'，故△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且d=2；
（3）根据点D，E。G的坐标可得OD=OE=1，OG=4，DE=2，.根据题意，连接DE、EF、FD所形成的图形的“平移关联图形”都满足d≥3，由于DE＝2＜3，可知DF≥3，EF≥3总成立.于是可分两种情况进行讨论：①当DE在圆外时，DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF，即，据此可得r的取值范围；②当DE在圆外时，有，也可据此得到r的取值范围，最后综述即可.
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