精选新题速递—深圳市中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2025·深圳模拟） 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、 ∵该图是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由题可知，A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形图形．
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十1红，此花无11不春风，“尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有常高的观赏价俏。某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（ ）
A．3.52×105 B．0.352×105 C．3.52×106 D．35.2×106
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000352= 3.52×10-5 ，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）.再分析求解即可.
4．（2025·深圳模拟） 深度求索（Deep Seek）是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，Deep Seek 的 H800 芯片在每秒可以处理 3000GB数据的同时，执行 580万亿次浮点运算，数据 580万亿可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿=580000000000000=5.8×1014，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．（2025·深圳模拟） 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，
，
∵∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，BC＝70cm，
∴AP＝30cm，
∴CH＝BC sin80°≈70×0.98＝68.6（cm），
∴坐垫C离地面高度约为68.6＋30＝98.6≈99（cm），
故答案为：A.
【分析】如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，先利用解直角三角形的方法求出CH的长，再利用线段的和差求出坐垫C离地面高度即可.
6．（2025九下·南山模拟）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F.若DP=3，EF=2，则PE的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP．
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△APD，
∴∠ABP＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠ADP＝∠ABP，
又∵∠BPE＝∠BPF，
∴△EBP∽△FBP．
∴．
∴PB2＝PE PF．
∵△ABP≌△APD，
∴BP＝PD．
∴PD2＝PE PF，
∵DP＝3，EF＝
∴PE＝，
故答案为：D．
【分析】连接BP，先证出△EBP∽△FBP，再利用相似三角形的性质可得，变形为PB2＝PE PF，再利用等量代换可得PD2＝PE PF，最后将数据代入求出PE的长即可.
7．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图！所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”"之” “保" （分别记作点A， B， C， D）四个大字，要求 BC与地面平行，且BC//AD， 抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6M，BC=2m， AD=4m， 如图2所示，则点C到AD的距离为（ ）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5M
【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，
∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（ 1，0），
∴点E的坐标为（0，0.6），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），
将点E的坐标代入得：a（0＋1）×（0 1）＝0.6，
解得：a＝ 0.6，
∴抛物线的解析式为y＝ 0.6（x＋1）（x 1）．
∵点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为 0.6×（2＋1）×（2 1）＝ 1.8，
∴点C到AD的距离为1.8m.
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），将点E的坐标代入求出a的值可得解析式，再求出点D的坐标，最后求出点C到AD的距离即可.
8．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题） 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如示意图，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，点D在伞柄AP上， AE=AF=DE=DF=m， 则AD的长度可表示为（ ）
A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EF交AD于点O，
∵AE＝AF＝DE＝DF＝m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，
在Rt△AOF中，AO＝AF cos65°＝mcos65°，
∴AD＝2AO＝2mcos65°，
∴AD的长度可表示为2mcos65°，
故答案为：D．
【分析】连接EF交AD于点O，先利用菱形的性质可得OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，再利用解直角三角形的方法求出AD＝2AO＝2mcos65°即可.
9．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■，”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，“■”设绫布有x尺，则可得方程为根据此情境，题中 “■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，
设绫布有x尺，则可得方程为120 ，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故答案为：C．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，根据“ 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文”才能列出方程.
10．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子，小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同·根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：左侧的绳头分别用A、B、C表示，右侧的绳头分别用a、b、c表示，
从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子，用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现结果，其中恰好选中同一根绳子的有3种，
所以恰好选中同一根绳子的概率为，
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
11．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行、若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ）
A．155° B．125° C．115° D．65°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α＋∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β＋∠2＝180°，
∴∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，再结合∠β＋∠2＝180°，求出∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°即可.
12．（2025·深圳模拟）某仓储中心有一个斜坡AB，∠B=18°，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE=1.6米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为6.2米，则BG的长度应不超过（ ）米（参考数据：sin18≈0.31，cos18°≈0.95，tan18≈0.32）
A．13.4 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG，
∴DG＝DE＝1.6米，∠DGM＝90°，
∴∠DGM＝∠DHB＝90°，
∵∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠B＝18°，
∴DM＝==≈1.68，MG＝DG tan∠GDM＝tan18°×1.6＝0.32×1.6≈0.51，
∵DH＝6.2米，
∴HM＝DH DM＝6.2 1.68＝4.52（米），
∵sin∠B＝，
∴MB＝＝=≈14.58（米），
∴BG＝MG＋MB＝0.51＋14.58≈15（米）．
故答案为：B．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出DM和MG的长，再利用线段的和差求出HM的长，再求出MB的长，最后求出BG的长即可.
13．（2025·深圳模拟）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则×与y的和为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：x＋（ 1）＋6＝7＋a＋y＝x＋a＋b＝6＋y＋b，
∴a＝2，b＝3，
如图：
由图可知：x＋7＋c＝ 1＋2＋d＝6＋y＋3＝c＋d＋3＝c＋2＋6，
∴c＝ 2，
∴和为6，
如图：
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ 2，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求出x＋y＝1＋（ 3）＝ 2即可.
14．（2025·深圳模拟） 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则. 如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行. 若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠NCD＝58°，
∴∠OCB＝58°，
∴∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180° 64°＝116°，
∴∠MBA＝＝32°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，再利用平行线的性质及角的运算求出∠ABC＝180° 64°＝116°，最后求出∠MBA＝＝32°即可.
15．（2024九下·福田模拟）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）．
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
二、填空题
16．（2025九下·南山模拟）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足 （AC>BC），则点C为线段AB的白银分割点.已知点C是线段AB的白银分割点（AC>BC），且BC=4，则AC= .
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），
∴，
∵BC＝4，
∴AC＝，
故答案为：．
【分析】利用“白银分割点”的定义列出算式，再将数据代入求出AC的长即可.
17．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题） 如图，A，B， C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1. 则B的边长可以是 .（写出一个答案即可）
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵SA＝10，SC＝1，
∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，
∴1＜正方形B的边长＜，
正方形B的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】先利用正方形的面积求出其边长，再求出1＜正方形B的边长＜，最后求出正方形B的边长即可.
18．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）把块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在半面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴L，斜边AB与x轴的火角∠ABO=60°，若BC=2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 .
【答案】（5，0）
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90° 60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB＋∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90° 60°＝30°，
∴EB＝AB＝2，AE＝，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180° ∠ABO ∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝=，
∴OF＝OE＋BE＋BF＝m＋3，
∴点C坐标为（m＋3，），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴m＝（m＋3），
解得：m＝3，
∴OB＝OE＋EB＝3＋2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，先求出EB＝AB＝2，AE＝，设OE＝m，则点A的坐标为（m，），先利用勾股定理求出BF＝BC＝1，CF＝=，再利用线段的和差求出OF的长，可得点C的坐标，再求出m的值，最后求出点B的坐标即可.
19．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）鸳鸯下是指产于比肃武山县鸳鸯镇带的超基性岩石，又名蛇纹石下，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽品莹，而成为长雕工艺品、商档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料。如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点， ∠ADC=130°、张师傅在这块玉行上切割了一块扇形玉石.（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 cm2.
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180° ∠ADC＝180° 130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴这块扇形玉石的面积＝()，
故答案为：．
【分析】连接BC，先利用圆内接四边形的对角互补的性质求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC的度数，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
20．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题） 如图，在中，，，将沿对角线AC翻折至，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为 .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBT＝45°，
∵CT⊥BT，
∴CT＝BT，
设CT＝BT＝m，则BC＝m，
∵AB＝BC，
∴AB＝2m，
∴AT＝AB＋BT＝3m，
∴AC＝=m，
∵∠BAJ＝∠CAT，∠AJB＝∠T＝90°，
∴△AJB∽△ATC，
∴，
∴，
∴AJ＝m，
∴CJ＝AC AJ＝m，
在△AKD和△CJB中，
∴△AKD≌△CJE（AAS），
∴AK＝CJ＝m，
∵四边形DEJK是矩形，
∴DE＝JK＝AC AK CK＝m，
∴=，
故答案为：．
【分析】过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K，设CT＝BT＝m，则BC＝m，先证出△AJB∽△ATC，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AJ＝m，再利用“AAS”证出△AKD≌△CJE，利用全等三角形的性质可得AK＝CJ＝m，最后求出=即可.
21．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为 .
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
三、解答题
22．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
23．（2025·深圳模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C.木炭还原氧化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E、铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权），
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a= ，E所对应的扇形圆心角是 °
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有 人最喜欢的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通人澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
【答案】（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）＝=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：总人数为60÷30%＝200（人），
∴a＝200 20 60 30 40＝50（人），
∴E所对应的扇形圆心角=×360°＝72°，
故答案为：50；72；
（2）根据题意可得：800×＝120（人），
故答案为：120.
【分析】（1）先利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值并求出E所对的扇形圆心角即可；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以800可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
24．（2025九下·龙岗月考）【背景介绍】
烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．
【问题情境】
距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：
d/m 0 10 20 30 40 50 60 70
h/m k
【探究过程】
小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；
（1）k的值为______，
（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．
（3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？
（4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？
【答案】（1）
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）；
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可；
（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）；
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
25．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
26．（2025·深圳模拟）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
【答案】（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
27．（2025九下·罗湖月考）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
（2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
（3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
【答案】（1）①；②2
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
【分析】（1）①根据新定义即可求出答案.
②根据旋转相似变换，得到，根据等边三角形判定定理可得，，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据题意可得，，由相似三角形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AF，再根据题意可得，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得AE，再根据题意可得，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
28．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
29．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C （填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为 ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
30．（2025·深圳模拟）如果三个数a、b、c满足，即，那么称b是a和c的比例中项. 比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用，数形结合是解决数学问题的重要思想方法。我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示，如图，点A、C在数轴上分别表示实数a、c，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点B、使得点B表示的正数，恰好是数a和c的一个比例中项。方法如下：
第1步：作以AC为直径的圆M；
第2步：____的其中一点记为点N；
A.以A为圆心，AM为半径画圆，交圆M
B.以原点0为圆心，OM为半径画圆，交圆M
C.以OM为直径作圆P，交圆M
D.作AM的垂直平分线，交圆M
E.以OC为直径作圆P，再过点A作AC的垂线l交圆P
第3步：以原点O为圆心，ON长为半径画弧交数轴正半轴于点B，则点B即为所求
（1）请选出你认为第2步中正确作法对应的字母： （只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点B，要求保留作图痕迹，不需要写出作法。
（2）若BC =a =2，写出此时圆M的直径AC = .
【答案】（1）C或E；
（2）＋1
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）第2步中正确作法对应的字母：C或E，理由如下：
选C：
证明：如图，连接ON、MN、AN、NC，
∵OM是圆P的直径，
∴∠MNO＝90°，
∴∠MNA＋∠ONA＝90°，
∵AC是圆O的直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC＋∠NCA＝90°，
∵MA＝MN，
∴∠NAC＝∠MNA，
∴∠ONA＝∠NCA，
即∠ONA＝∠OCN，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
选E：
证明：如图，连接ON、NC，
∵OC是圆P的直径，
∴∠ONC＝90°，
∵l⊥AC，
∴∠OAN＝90°，
∴∠OAN＝∠ONC，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
故答案为：C或E；
（2）∵BC＝a＝2，
∴OB＝OC BC＝c 2，
∵ac＝OB2，
∴2c＝（c 2）2，
整理得，c2 6c＋4＝0，
解得：c＝3＋或c＝3 （不符合，舍去），
∴OC＝3＋，
∴AC＝OC OA＝3＋ 2＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】（1）根据题干中的定义及作图方法和步骤作出图形即可；
（2）利用比例线段的性质可得2c＝（c 2）2，再求出c的值，再求出OC的长，最后求出AC的长即可.
31．（2025九下·罗湖月考）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；配方法的应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点(2，5)代入解析式即可求出答案.
②根据点的平移可得，根据二次函数对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可得，再将点M，N坐标代入解析式可得，再结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
32．（2025九下·罗湖月考）根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长．
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，）
素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速
问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值．
任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．
【答案】解：任务一：，，长，
，
的值为：；
任务二：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务一：利用勾股定理求出，即可求出答案.
任务二：过点作于，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得BE，求出时间，再比较大小即可求出答案.
33．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
34．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
1 / 1精选新题速递—深圳市中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2025·深圳模拟） 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十1红，此花无11不春风，“尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有常高的观赏价俏。某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（ ）
A．3.52×105 B．0.352×105 C．3.52×106 D．35.2×106
4．（2025·深圳模拟） 深度求索（Deep Seek）是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，Deep Seek 的 H800 芯片在每秒可以处理 3000GB数据的同时，执行 580万亿次浮点运算，数据 580万亿可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟） 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
6．（2025九下·南山模拟）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F.若DP=3，EF=2，则PE的长是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图！所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”"之” “保" （分别记作点A， B， C， D）四个大字，要求 BC与地面平行，且BC//AD， 抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6M，BC=2m， AD=4m， 如图2所示，则点C到AD的距离为（ ）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5M
8．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题） 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如示意图，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，点D在伞柄AP上， AE=AF=DE=DF=m， 则AD的长度可表示为（ ）
A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°
9．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■，”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，“■”设绫布有x尺，则可得方程为根据此情境，题中 “■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文
10．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子，小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同·根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行、若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ）
A．155° B．125° C．115° D．65°
12．（2025·深圳模拟）某仓储中心有一个斜坡AB，∠B=18°，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE=1.6米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为6.2米，则BG的长度应不超过（ ）米（参考数据：sin18≈0.31，cos18°≈0.95，tan18≈0.32）
A．13.4 B．15 C．20 D．25
13．（2025·深圳模拟）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则×与y的和为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
14．（2025·深圳模拟） 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则. 如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行. 若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九下·福田模拟）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）．
A．1 B． C． D．2
二、填空题
16．（2025九下·南山模拟）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足 （AC>BC），则点C为线段AB的白银分割点.已知点C是线段AB的白银分割点（AC>BC），且BC=4，则AC= .
17．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题） 如图，A，B， C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1. 则B的边长可以是 .（写出一个答案即可）
18．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）把块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在半面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴L，斜边AB与x轴的火角∠ABO=60°，若BC=2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 .
19．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）鸳鸯下是指产于比肃武山县鸳鸯镇带的超基性岩石，又名蛇纹石下，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽品莹，而成为长雕工艺品、商档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料。如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点， ∠ADC=130°、张师傅在这块玉行上切割了一块扇形玉石.（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 cm2.
20．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题） 如图，在中，，，将沿对角线AC翻折至，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为 .
21．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为 .
三、解答题
22．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
23．（2025·深圳模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C.木炭还原氧化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E、铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权），
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a= ，E所对应的扇形圆心角是 °
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有 人最喜欢的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通人澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
24．（2025九下·龙岗月考）【背景介绍】
烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．
【问题情境】
距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：
d/m 0 10 20 30 40 50 60 70
h/m k
【探究过程】
小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；
（1）k的值为______，
（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．
（3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？
（4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？
25．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
26．（2025·深圳模拟）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
27．（2025九下·罗湖月考）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
（2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
（3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
28．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
29．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C （填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为 ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
30．（2025·深圳模拟）如果三个数a、b、c满足，即，那么称b是a和c的比例中项. 比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用，数形结合是解决数学问题的重要思想方法。我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示，如图，点A、C在数轴上分别表示实数a、c，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点B、使得点B表示的正数，恰好是数a和c的一个比例中项。方法如下：
第1步：作以AC为直径的圆M；
第2步：____的其中一点记为点N；
A.以A为圆心，AM为半径画圆，交圆M
B.以原点0为圆心，OM为半径画圆，交圆M
C.以OM为直径作圆P，交圆M
D.作AM的垂直平分线，交圆M
E.以OC为直径作圆P，再过点A作AC的垂线l交圆P
第3步：以原点O为圆心，ON长为半径画弧交数轴正半轴于点B，则点B即为所求
（1）请选出你认为第2步中正确作法对应的字母： （只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点B，要求保留作图痕迹，不需要写出作法。
（2）若BC =a =2，写出此时圆M的直径AC = .
31．（2025九下·罗湖月考）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
32．（2025九下·罗湖月考）根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长．
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，）
素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速
问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值．
任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．
33．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
34．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、 ∵该图是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由题可知，A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形图形．
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000352= 3.52×10-5 ，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）.再分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿=580000000000000=5.8×1014，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，
，
∵∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，BC＝70cm，
∴AP＝30cm，
∴CH＝BC sin80°≈70×0.98＝68.6（cm），
∴坐垫C离地面高度约为68.6＋30＝98.6≈99（cm），
故答案为：A.
【分析】如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，先利用解直角三角形的方法求出CH的长，再利用线段的和差求出坐垫C离地面高度即可.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP．
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△APD，
∴∠ABP＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠ADP＝∠ABP，
又∵∠BPE＝∠BPF，
∴△EBP∽△FBP．
∴．
∴PB2＝PE PF．
∵△ABP≌△APD，
∴BP＝PD．
∴PD2＝PE PF，
∵DP＝3，EF＝
∴PE＝，
故答案为：D．
【分析】连接BP，先证出△EBP∽△FBP，再利用相似三角形的性质可得，变形为PB2＝PE PF，再利用等量代换可得PD2＝PE PF，最后将数据代入求出PE的长即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，
∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（ 1，0），
∴点E的坐标为（0，0.6），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），
将点E的坐标代入得：a（0＋1）×（0 1）＝0.6，
解得：a＝ 0.6，
∴抛物线的解析式为y＝ 0.6（x＋1）（x 1）．
∵点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为 0.6×（2＋1）×（2 1）＝ 1.8，
∴点C到AD的距离为1.8m.
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），将点E的坐标代入求出a的值可得解析式，再求出点D的坐标，最后求出点C到AD的距离即可.
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EF交AD于点O，
∵AE＝AF＝DE＝DF＝m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，
在Rt△AOF中，AO＝AF cos65°＝mcos65°，
∴AD＝2AO＝2mcos65°，
∴AD的长度可表示为2mcos65°，
故答案为：D．
【分析】连接EF交AD于点O，先利用菱形的性质可得OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，再利用解直角三角形的方法求出AD＝2AO＝2mcos65°即可.
9．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，
设绫布有x尺，则可得方程为120 ，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故答案为：C．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，根据“ 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文”才能列出方程.
10．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：左侧的绳头分别用A、B、C表示，右侧的绳头分别用a、b、c表示，
从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子，用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现结果，其中恰好选中同一根绳子的有3种，
所以恰好选中同一根绳子的概率为，
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
11．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α＋∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β＋∠2＝180°，
∴∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，再结合∠β＋∠2＝180°，求出∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°即可.
12．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG，
∴DG＝DE＝1.6米，∠DGM＝90°，
∴∠DGM＝∠DHB＝90°，
∵∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠B＝18°，
∴DM＝==≈1.68，MG＝DG tan∠GDM＝tan18°×1.6＝0.32×1.6≈0.51，
∵DH＝6.2米，
∴HM＝DH DM＝6.2 1.68＝4.52（米），
∵sin∠B＝，
∴MB＝＝=≈14.58（米），
∴BG＝MG＋MB＝0.51＋14.58≈15（米）．
故答案为：B．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出DM和MG的长，再利用线段的和差求出HM的长，再求出MB的长，最后求出BG的长即可.
13．【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：x＋（ 1）＋6＝7＋a＋y＝x＋a＋b＝6＋y＋b，
∴a＝2，b＝3，
如图：
由图可知：x＋7＋c＝ 1＋2＋d＝6＋y＋3＝c＋d＋3＝c＋2＋6，
∴c＝ 2，
∴和为6，
如图：
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ 2，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求出x＋y＝1＋（ 3）＝ 2即可.
14．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠NCD＝58°，
∴∠OCB＝58°，
∴∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180° 64°＝116°，
∴∠MBA＝＝32°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，再利用平行线的性质及角的运算求出∠ABC＝180° 64°＝116°，最后求出∠MBA＝＝32°即可.
15．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），
∴，
∵BC＝4，
∴AC＝，
故答案为：．
【分析】利用“白银分割点”的定义列出算式，再将数据代入求出AC的长即可.
17．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵SA＝10，SC＝1，
∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，
∴1＜正方形B的边长＜，
正方形B的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】先利用正方形的面积求出其边长，再求出1＜正方形B的边长＜，最后求出正方形B的边长即可.
18．【答案】（5，0）
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90° 60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB＋∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90° 60°＝30°，
∴EB＝AB＝2，AE＝，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180° ∠ABO ∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝=，
∴OF＝OE＋BE＋BF＝m＋3，
∴点C坐标为（m＋3，），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴m＝（m＋3），
解得：m＝3，
∴OB＝OE＋EB＝3＋2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，先求出EB＝AB＝2，AE＝，设OE＝m，则点A的坐标为（m，），先利用勾股定理求出BF＝BC＝1，CF＝=，再利用线段的和差求出OF的长，可得点C的坐标，再求出m的值，最后求出点B的坐标即可.
19．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180° ∠ADC＝180° 130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴这块扇形玉石的面积＝()，
故答案为：．
【分析】连接BC，先利用圆内接四边形的对角互补的性质求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC的度数，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
20．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBT＝45°，
∵CT⊥BT，
∴CT＝BT，
设CT＝BT＝m，则BC＝m，
∵AB＝BC，
∴AB＝2m，
∴AT＝AB＋BT＝3m，
∴AC＝=m，
∵∠BAJ＝∠CAT，∠AJB＝∠T＝90°，
∴△AJB∽△ATC，
∴，
∴，
∴AJ＝m，
∴CJ＝AC AJ＝m，
在△AKD和△CJB中，
∴△AKD≌△CJE（AAS），
∴AK＝CJ＝m，
∵四边形DEJK是矩形，
∴DE＝JK＝AC AK CK＝m，
∴=，
故答案为：．
【分析】过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K，设CT＝BT＝m，则BC＝m，先证出△AJB∽△ATC，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AJ＝m，再利用“AAS”证出△AKD≌△CJE，利用全等三角形的性质可得AK＝CJ＝m，最后求出=即可.
21．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
22．【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
23．【答案】（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）＝=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：总人数为60÷30%＝200（人），
∴a＝200 20 60 30 40＝50（人），
∴E所对应的扇形圆心角=×360°＝72°，
故答案为：50；72；
（2）根据题意可得：800×＝120（人），
故答案为：120.
【分析】（1）先利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值并求出E所对的扇形圆心角即可；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以800可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
24．【答案】（1）
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）；
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可；
（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）；
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
25．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
26．【答案】（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
27．【答案】（1）①；②2
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
【分析】（1）①根据新定义即可求出答案.
②根据旋转相似变换，得到，根据等边三角形判定定理可得，，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据题意可得，，由相似三角形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AF，再根据题意可得，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得AE，再根据题意可得，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
28．【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
29．【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
30．【答案】（1）C或E；
（2）＋1
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）第2步中正确作法对应的字母：C或E，理由如下：
选C：
证明：如图，连接ON、MN、AN、NC，
∵OM是圆P的直径，
∴∠MNO＝90°，
∴∠MNA＋∠ONA＝90°，
∵AC是圆O的直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC＋∠NCA＝90°，
∵MA＝MN，
∴∠NAC＝∠MNA，
∴∠ONA＝∠NCA，
即∠ONA＝∠OCN，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
选E：
证明：如图，连接ON、NC，
∵OC是圆P的直径，
∴∠ONC＝90°，
∵l⊥AC，
∴∠OAN＝90°，
∴∠OAN＝∠ONC，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
故答案为：C或E；
（2）∵BC＝a＝2，
∴OB＝OC BC＝c 2，
∵ac＝OB2，
∴2c＝（c 2）2，
整理得，c2 6c＋4＝0，
解得：c＝3＋或c＝3 （不符合，舍去），
∴OC＝3＋，
∴AC＝OC OA＝3＋ 2＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】（1）根据题干中的定义及作图方法和步骤作出图形即可；
（2）利用比例线段的性质可得2c＝（c 2）2，再求出c的值，再求出OC的长，最后求出AC的长即可.
31．【答案】（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；配方法的应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点(2，5)代入解析式即可求出答案.
②根据点的平移可得，根据二次函数对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可得，再将点M，N坐标代入解析式可得，再结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
32．【答案】解：任务一：，，长，
，
的值为：；
任务二：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务一：利用勾股定理求出，即可求出答案.
任务二：过点作于，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得BE，求出时间，再比较大小即可求出答案.
33．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
34．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
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