图形的个数规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024·旺苍模拟）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（ ）
A．820 B．600 C．465 D．210
2．（2024九下·重庆市模拟）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024九上·沙坪坝开学考）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A．110 B．112 C．114 D．116
4．（2024九上·株洲开学考）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质 ，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图 ，其中灰球代表碳原子 ，白球 代表氢原子.第 1种如图①有4个氢原子 ，第2种如图②有6个氢原子 ，第3种如图③有8个氢原子 ……按照这一规律 ，第 10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ( )
A．20 B．22 C．24 D．26
5．（2024九下·青岛模拟）用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）
A．34 B．38 C．42 D．46
6．（2024·从江模拟）石墨烯是一类重要的化工原料，其结构如图(1)所示，图(2)是其结构的一部分，是由相同的正六边形横向排列而成的链状结构.正六边形的一条边表示两个碳原子构成的碳碳键，当正六边形只有一个时，碳碳键有6条；当正六边形有2个时，碳碳键有11条……以此类推.当链状结构有204个正六边形时，则碳碳键共有（ ）
A．1027条 B．1026条 C．1024条 D．1021条
7．（2024·济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
8．（2024·重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
9．（2024九上·重庆市月考）下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（ ）
A．34 B．39 C．40 D．44
10．（2024·牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
二、填空题
11．（2024九下·迎泽模拟）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第个图形需要 根小木棒．（用含的代数式表示）
12．（2024·青海） 如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．
13． 用火柴棍拼成如图所示的图案， 其中第①个图案由 4 个小等边三角形围成 1 个小菱形，第②个图案由 6 个小等边三角形围成 2 个小菱形， ， ， 若按此规律拼下去， 则第 个图案需要火柴棍 根．(用含 的式子表示)
14．（2024九下·临沭月考）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 .
15．求1+2+3+…+100 的值时，发现1+100=101，2+99=101，…，从而得到1+2+3+…+100=101×50=5050.按此方法可解决下面的问题. 图①有1个三角形，记作a1=1；分别连结这个三角形的三边中点得到图②，图②共有5个三角形，记作a2=5；再分别连结图②中间的小三角形的三边中点得到图③，图③共有9个三角形，记作9……按此方法继续下去，an= (结果用含 n的代数式表示).
16．（2023九下·蓬江模拟）如图，是一组有规律的图案（后一个图案比前一个图案多2个），第1个图案由1个组成，第2个图案由3个组成，第3个图案由5个组成，第4个图案由7个组成，……，则前n（n为正整数）个图案共有的个数为 ．
三、解答题
17．（2022九上·保定月考）“分块计算法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.
尝试：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10，、图有多少个点？
（1）我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图一、二、三），这样图1中黑点个数是个；图2中黑点个数是个；图3中黑点个数是个；……；容易求出图10、图中黑点的个数分别是___________、___________.
应用：请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成（2）（3）问题：
（2）第5个点阵中有___________个小圆圈；第个点阵中有___________个小圆圈；
（3）小圆圈的个数能不能等于331吗？如果能，请求出是第几个点阵；如果不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用；用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题意可得：前行的点数之和为，
若前行的点数之和为，则，
解得：（舍去）或，即前行的点数之和为，故A不符合题意；
若前行的点数之和为600，则，
解得：，∵n不是整数，∴不存在前行的点数之和为600，故B符合题意；
若前行的点数之和为465，则，
解得：或（舍去），即前行的点数之和为465，故C不符合题意；
若前行的点数之和为210，则，
解得：或（舍去），即前行的点数之和为210，故D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，故前n行的点数之和为，再分别求出的值分别为、600、465、210时n的值，由n得值为正整数判断即可得解．
2．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…；
∴第n个图案棋子的颗数为，
依题意，
解得：
故答案为：C
【分析】根据题意观察图形，进而得到第n个图案棋子的颗数为，从而即可求解。
3．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据列出部分图形中三角形的个数，找出变化规律，进行计算即可求解.
4．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2＋2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2＋2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2＋2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2＋2；
…，
∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，
∴当n＝10时，2n＋2＝22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故答案为：B.
【分析】先根据前几幅图中氢原子的数量与序号的关系可得规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，再将n=10代入计算即可.
5．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图形有个边长为1的小三角形，
第②个图形有个边长为1的小三角形，
第③个图形有个边长为1的小三角形，
第④个图形有个边长为1的小三角形，
，
按照这个规律排列下去，
第个图形有个边长为1的小三角形，
第⑩个图形中边长为的小三角形.
故答案为：C．
【分析】观察图形发现后一个图形比前一个图形增加4个小三角形，利用这一规律可得第n个图形有(2+4n)个边长为1的小三角形，进而将n=10代入计算可得答案.
6．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
当链状结构有1个正六边形时，碳碳键的个数为：6=1×5+1；
当链状结构有2个正六边形时，碳碳键的个数为：11=2×5+1；
当链状结构有3个正六边形时，碳碳键的个数为：16=3×5+1；
…，
所以当链状结构有n个正六边形时，碳碳键的个数为（5n+1）条，
当n=204时，
5n+1=5×204+1=1021（条），
即当链状结构有204个正六边形时，碳碳键的个数为1021条.
故答案为：D.
【分析】根据图形，依次求出图形中碳碳键的个数，找出规律即可求解.
7．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一幅图有12=1个正方形，
第二幅图正方形的个数为1+22，
第三幅图正方形的个数为1+22+32=14；
第四幅图正方形的个数为1+22+32+42=30；
第n幅图正方形的个数为1+22+32+42++n2；
∴第六幅图正方形的个数为1+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91；
故答案为：B.
【分析】观察图形中正方形的放置规律可知第一幅图有1个正方形；第二幅图正方形的个数为1+22；第三幅图正方形的个数为1+22+32=14按此规律可得到第n幅图正方形的个数，据此可求出第六幅图正方形的个数.
8．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图可知，
第一个图形，第二个图形，第三个图形，第四个图形.......
2 ， 2+3×1 ， 2+3×2 ，2+3×3
由上面可推出规律为：2+3（n-1）=3n-1
∴第八个图案菱形的个数是：3×8-1=23.
故答案为：C.
【分析】观察图形找出规律，将所求图案的个数代入规律公式即可.
9．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：观察图形，可知：
第①个图形有4个，即，
第②个图形有9个，即，
第③个图形有14个，即，
第④个图形有19个，即，
…
第n个图形有个，
当时，．
第⑧个图形中的个数为39．
故答案为：B
【分析】根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图案有4个三角形，则4=3×1+1
第2个图案有7个三角形，则7=3×2+1，
第3个图案有10个三角形，则10=3×3+1
···，
∴第n个图案有（3n+1）个三角形，
当n=674时，3n+1=3×674+1=2023个，
∴ 第674个图中三角形的个数是2023.
故答案为：B.
【分析】根据前几个图形的变化规律，可得规律：第n个图案有（3n+1）个三角形，据此计算即可.
11．【答案】
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第个图形中木棒的根数为：，
第个图形中木棒的根数为：，
第个图形中木棒的根数为：，
…，
∴第n图形中木棒的根数为：，
故答案为：．
【分析】先结合图形求出前几项中小木棒的数量与序号的关系可得规律第n图形中木棒的根数为：，从而得解.
12．【答案】15
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第（1）个图案中有（3+2×0）个火柴棒；
第（2）个图案中有（3+2×1）个火柴棒；
第（3）个图案中有（3+2×2）个火柴棒.......，
∴ 第（7）个图案中有 ：3+2×6=15（个）火柴.
故答案为：15.
【分析】根据现有图案进行分析归纳，找出规律，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图形可得：
第①个图案有：2(1+1)=4个三角形
第②个图案有：2(2+1)=6个三角形
第③个图案有：2(3+1)=8个三角形
......
∴第n个图案有：2(n+1)=2n+2个三角形
∵每个三角形用三根
∴第 个图案需要火柴棍3(2n+2)=6n+6
故答案为：
【分析】求出前3个图案中三角形个数，总结规律，即可求出答案.
14．【答案】16
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，
丙烷分子结构中“”的个数是：，
……
庚烷分子结构中“”的个数是：，
故答案为：16．
【分析】先根据前几幅图中“H”的数量与序号的关系可得规律，再求解即可.
15．【答案】2n2-n
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得出，进而求解即可．
16．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图案由1个▲组成，
第2个图案由3个▲组成，
第3个图案由5个▲组成，
第4个图案由7个▲组成，
…，
∴第n个图案中▲的个数是：，
∴前n个图案共有▲的个数为：．
故答案为：．
【分析】根据题意得到第n个图案中▲的个数是：，进而即可求解。
17．【答案】解：（1）图1中黑点个数是个；
图2中黑点个数是个；
图3中黑点个数是个；
…，
所以图10中黑点个数是个；
图n中黑点的个数是6n；
故答案为：60，6n；
（2）
解：观察点阵可知：
第1个点阵中有1个圆圈；
第2个点阵中有7个圆圈；；
第3个点阵中有19个圆圈；；
第4个点阵中有37个圆圈；；
第5个点阵中有圆圈个数为：（个）；
发现规律：
第n个点阵中有圆圈个数为：．
故答案为：61；；
（3）
解：会；是第11个点阵．
由题意得，整理得，，
解得，（负值舍去），
答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【分析】（1）观察图形可得，图1中黑点个数是个；图2中黑点个数是个；图3中黑点个数是个；…，所以容易求出图10、图n中黑点的个数；
（2）观察点阵可得，第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；；第3个点阵中有19个圆圈；；第4个点阵中有37个圆圈；；第5个点阵中有圆圈个数为：（个）；进而发现规律：即可得第n个点阵中有圆圈个数；
（3）由（2）得到，结合一元二次方程的解法，即可得到结论.
1 / 1图形的个数规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024·旺苍模拟）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（ ）
A．820 B．600 C．465 D．210
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用；用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题意可得：前行的点数之和为，
若前行的点数之和为，则，
解得：（舍去）或，即前行的点数之和为，故A不符合题意；
若前行的点数之和为600，则，
解得：，∵n不是整数，∴不存在前行的点数之和为600，故B符合题意；
若前行的点数之和为465，则，
解得：或（舍去），即前行的点数之和为465，故C不符合题意；
若前行的点数之和为210，则，
解得：或（舍去），即前行的点数之和为210，故D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，故前n行的点数之和为，再分别求出的值分别为、600、465、210时n的值，由n得值为正整数判断即可得解．
2．（2024九下·重庆市模拟）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…；
∴第n个图案棋子的颗数为，
依题意，
解得：
故答案为：C
【分析】根据题意观察图形，进而得到第n个图案棋子的颗数为，从而即可求解。
3．（2024九上·沙坪坝开学考）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A．110 B．112 C．114 D．116
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据列出部分图形中三角形的个数，找出变化规律，进行计算即可求解.
4．（2024九上·株洲开学考）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质 ，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图 ，其中灰球代表碳原子 ，白球 代表氢原子.第 1种如图①有4个氢原子 ，第2种如图②有6个氢原子 ，第3种如图③有8个氢原子 ……按照这一规律 ，第 10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ( )
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2＋2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2＋2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2＋2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2＋2；
…，
∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，
∴当n＝10时，2n＋2＝22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故答案为：B.
【分析】先根据前几幅图中氢原子的数量与序号的关系可得规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，再将n=10代入计算即可.
5．（2024九下·青岛模拟）用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）
A．34 B．38 C．42 D．46
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图形有个边长为1的小三角形，
第②个图形有个边长为1的小三角形，
第③个图形有个边长为1的小三角形，
第④个图形有个边长为1的小三角形，
，
按照这个规律排列下去，
第个图形有个边长为1的小三角形，
第⑩个图形中边长为的小三角形.
故答案为：C．
【分析】观察图形发现后一个图形比前一个图形增加4个小三角形，利用这一规律可得第n个图形有(2+4n)个边长为1的小三角形，进而将n=10代入计算可得答案.
6．（2024·从江模拟）石墨烯是一类重要的化工原料，其结构如图(1)所示，图(2)是其结构的一部分，是由相同的正六边形横向排列而成的链状结构.正六边形的一条边表示两个碳原子构成的碳碳键，当正六边形只有一个时，碳碳键有6条；当正六边形有2个时，碳碳键有11条……以此类推.当链状结构有204个正六边形时，则碳碳键共有（ ）
A．1027条 B．1026条 C．1024条 D．1021条
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
当链状结构有1个正六边形时，碳碳键的个数为：6=1×5+1；
当链状结构有2个正六边形时，碳碳键的个数为：11=2×5+1；
当链状结构有3个正六边形时，碳碳键的个数为：16=3×5+1；
…，
所以当链状结构有n个正六边形时，碳碳键的个数为（5n+1）条，
当n=204时，
5n+1=5×204+1=1021（条），
即当链状结构有204个正六边形时，碳碳键的个数为1021条.
故答案为：D.
【分析】根据图形，依次求出图形中碳碳键的个数，找出规律即可求解.
7．（2024·济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一幅图有12=1个正方形，
第二幅图正方形的个数为1+22，
第三幅图正方形的个数为1+22+32=14；
第四幅图正方形的个数为1+22+32+42=30；
第n幅图正方形的个数为1+22+32+42++n2；
∴第六幅图正方形的个数为1+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91；
故答案为：B.
【分析】观察图形中正方形的放置规律可知第一幅图有1个正方形；第二幅图正方形的个数为1+22；第三幅图正方形的个数为1+22+32=14按此规律可得到第n幅图正方形的个数，据此可求出第六幅图正方形的个数.
8．（2024·重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图可知，
第一个图形，第二个图形，第三个图形，第四个图形.......
2 ， 2+3×1 ， 2+3×2 ，2+3×3
由上面可推出规律为：2+3（n-1）=3n-1
∴第八个图案菱形的个数是：3×8-1=23.
故答案为：C.
【分析】观察图形找出规律，将所求图案的个数代入规律公式即可.
9．（2024九上·重庆市月考）下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（ ）
A．34 B．39 C．40 D．44
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：观察图形，可知：
第①个图形有4个，即，
第②个图形有9个，即，
第③个图形有14个，即，
第④个图形有19个，即，
…
第n个图形有个，
当时，．
第⑧个图形中的个数为39．
故答案为：B
【分析】根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求出答案.
10．（2024·牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图案有4个三角形，则4=3×1+1
第2个图案有7个三角形，则7=3×2+1，
第3个图案有10个三角形，则10=3×3+1
···，
∴第n个图案有（3n+1）个三角形，
当n=674时，3n+1=3×674+1=2023个，
∴ 第674个图中三角形的个数是2023.
故答案为：B.
【分析】根据前几个图形的变化规律，可得规律：第n个图案有（3n+1）个三角形，据此计算即可.
二、填空题
11．（2024九下·迎泽模拟）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第个图形需要 根小木棒．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第个图形中木棒的根数为：，
第个图形中木棒的根数为：，
第个图形中木棒的根数为：，
…，
∴第n图形中木棒的根数为：，
故答案为：．
【分析】先结合图形求出前几项中小木棒的数量与序号的关系可得规律第n图形中木棒的根数为：，从而得解.
12．（2024·青海） 如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．
【答案】15
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第（1）个图案中有（3+2×0）个火柴棒；
第（2）个图案中有（3+2×1）个火柴棒；
第（3）个图案中有（3+2×2）个火柴棒.......，
∴ 第（7）个图案中有 ：3+2×6=15（个）火柴.
故答案为：15.
【分析】根据现有图案进行分析归纳，找出规律，即可得出答案.
13． 用火柴棍拼成如图所示的图案， 其中第①个图案由 4 个小等边三角形围成 1 个小菱形，第②个图案由 6 个小等边三角形围成 2 个小菱形， ， ， 若按此规律拼下去， 则第 个图案需要火柴棍 根．(用含 的式子表示)
【答案】
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图形可得：
第①个图案有：2(1+1)=4个三角形
第②个图案有：2(2+1)=6个三角形
第③个图案有：2(3+1)=8个三角形
......
∴第n个图案有：2(n+1)=2n+2个三角形
∵每个三角形用三根
∴第 个图案需要火柴棍3(2n+2)=6n+6
故答案为：
【分析】求出前3个图案中三角形个数，总结规律，即可求出答案.
14．（2024九下·临沭月考）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 .
【答案】16
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，
丙烷分子结构中“”的个数是：，
……
庚烷分子结构中“”的个数是：，
故答案为：16．
【分析】先根据前几幅图中“H”的数量与序号的关系可得规律，再求解即可.
15．求1+2+3+…+100 的值时，发现1+100=101，2+99=101，…，从而得到1+2+3+…+100=101×50=5050.按此方法可解决下面的问题. 图①有1个三角形，记作a1=1；分别连结这个三角形的三边中点得到图②，图②共有5个三角形，记作a2=5；再分别连结图②中间的小三角形的三边中点得到图③，图③共有9个三角形，记作9……按此方法继续下去，an= (结果用含 n的代数式表示).
【答案】2n2-n
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得出，进而求解即可．
16．（2023九下·蓬江模拟）如图，是一组有规律的图案（后一个图案比前一个图案多2个），第1个图案由1个组成，第2个图案由3个组成，第3个图案由5个组成，第4个图案由7个组成，……，则前n（n为正整数）个图案共有的个数为 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图案由1个▲组成，
第2个图案由3个▲组成，
第3个图案由5个▲组成，
第4个图案由7个▲组成，
…，
∴第n个图案中▲的个数是：，
∴前n个图案共有▲的个数为：．
故答案为：．
【分析】根据题意得到第n个图案中▲的个数是：，进而即可求解。
三、解答题
17．（2022九上·保定月考）“分块计算法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.
尝试：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10，、图有多少个点？
（1）我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图一、二、三），这样图1中黑点个数是个；图2中黑点个数是个；图3中黑点个数是个；……；容易求出图10、图中黑点的个数分别是___________、___________.
应用：请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成（2）（3）问题：
（2）第5个点阵中有___________个小圆圈；第个点阵中有___________个小圆圈；
（3）小圆圈的个数能不能等于331吗？如果能，请求出是第几个点阵；如果不能，请说明理由.
【答案】解：（1）图1中黑点个数是个；
图2中黑点个数是个；
图3中黑点个数是个；
…，
所以图10中黑点个数是个；
图n中黑点的个数是6n；
故答案为：60，6n；
（2）
解：观察点阵可知：
第1个点阵中有1个圆圈；
第2个点阵中有7个圆圈；；
第3个点阵中有19个圆圈；；
第4个点阵中有37个圆圈；；
第5个点阵中有圆圈个数为：（个）；
发现规律：
第n个点阵中有圆圈个数为：．
故答案为：61；；
（3）
解：会；是第11个点阵．
由题意得，整理得，，
解得，（负值舍去），
答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【分析】（1）观察图形可得，图1中黑点个数是个；图2中黑点个数是个；图3中黑点个数是个；…，所以容易求出图10、图n中黑点的个数；
（2）观察点阵可得，第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；；第3个点阵中有19个圆圈；；第4个点阵中有37个圆圈；；第5个点阵中有圆圈个数为：（个）；进而发现规律：即可得第n个点阵中有圆圈个数；
（3）由（2）得到，结合一元二次方程的解法，即可得到结论.
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