点的坐标规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；探索规律-点的坐标规律；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
如图，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，
∵，
∴，，
等边经过第次翻转后，，等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，
∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，
故答案为：D
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据两点间距离可得，，，由锐角三角函数定义可得，结合特殊角的三角函数值可得，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，根据锐角三角函数定义可得，，结合翻转变换，总结规律，即可求出答案.
2．（2024九上·九龙坡月考）将有序实数对进行操作后可得到一个新的有序实数对，将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如：经过一次操作后得到，经过二次操作后得到，…，下列说法：
①若经过三次操作后得到有序实数对，则；
②在平面直角坐标系中，将所对应的点标记为点P，将经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点M，点N，若直线垂直于x轴，则的面积为56；
③若，且，则经过三次操作后的结果为．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：①根据题意，经过一次操作后得到，经过二次操作后得到，经过三次操作后得到，
∵ 经过三次操作后得到有序实数对，
∴，
解得，
，故①正确；
②经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为M，N，
∴点，点，
当直线垂直于x轴时，可得，解得，
，，
的面积为，故②正确；
③经过三次操作后的结果为，
若，且，
则可得，
，
，
，
，
，
经过三次操作后的结果为，故③正确；
故答案为：D．
【分析】根据规定逐项计算，根据结果进行判断即可.
3．（2024九上·麒麟开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点出发以个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：，，，，
，，
，
（秒），
瓢虫爬行一周需要秒，
，
，
，
第秒瓢虫在处．
故答案为：D．
【分析】先求出规律瓢虫爬行一周需要秒，再结合，求出第秒瓢虫在处即可．
4．（2024·喀什模拟）如图，正方形的顶点，，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按照这样的规律，点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
同理可得，，，
∴的纵坐标分别为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：D
【分析】连接，先根据点A和点B的坐标得到OA=OB=1，进而根据勾股定理求出AB，再根据正方形的性质得到，进而即可解直角三角形得到BD，从而得到点D的纵坐标为，再结合题意解直角三角形得到，同理可得，，，故点的纵坐标分别是：，从而结合题意即可求解。
5．（2024·裕华模拟）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1次：，
第2次：，
第3次：，
第4次：，
第5次：，
…，
以此类推，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
∵，
∴第2024次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为
∴第2024次的坐标是，
故答案为：D
【分析】先题意点的坐标得到第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，进而即可得到横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，再结合题意即可求解。
6．（2024·裕华模拟）某班开展了两次跳绳比赛，从班级里随机抽取了20名学生两次跳绳的成绩（单位：个/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．如图是这些学生第一次和第二次比赛成绩情况统计图，设每名学生两次跳绳的平均成绩是x个/分钟，落在的范围内的数据有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【知识点】统计表；分析数据的波动程度；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察统计图，是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．即某一个点的横坐标代表第一次成绩，纵坐标代表第二次成绩，
点A横坐标是110，纵坐标在150到155之间，其平均数落在的范围内，
点B横坐标在120到130之间，纵坐标在140到150之间，其平均数落在的范围内，
点C横坐标是130，纵坐标是140，其平均数落在的范围内，
点D横坐标是140，纵坐标是140，其平均数落在的范围内，
点E横坐标是140，纵坐标是130，其平均数落在的范围内，
左下角的5个点的横坐标不超过120，纵坐标也不超过120，其平均数都落在的范围外，
右上角的8个点的横坐标超过140，纵坐标不小于140，其平均数都落在的范围外，
所以两次活动平均成绩在的范围内的数据有5个，
故答案为：B
【分析】先观察散点图得到是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．即某一个点的横坐标代表第一次成绩，纵坐标代表第二次成绩，进而逐一观察散点即可求解。
7．（2024九下·杭州模拟）如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，直角顶点，将以点为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：旋转一周为360°，每秒旋转45°，
（一个周期）.
，
如图所示，为以点为旋转中心，顺时针旋转5次后的图形.
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，
由旋转的性质得，
，
可得所求点的坐标为，
故答案为：B.
【分析】根据题意知，每隔8秒点B回到原来的位置，而77÷8=9……5，故△ABC顺时针旋转77秒后的位置与顺时针旋转5次后的图形位置一样，从而作出示意图；由A、C的坐标得到AC、OA的长，根据等腰直角三角形性质及勾股定理可算出AB的长，再根据旋转的性质得AB'=AB，进而找出点B'离开原点的距离即可求出点B'的坐标.
8．（2024九下·凉州模拟）如图，小球起始位置时位于处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第次碰到球桌边时，小球的位置是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，
第二次碰撞后的点的坐标为，
第三次碰撞后的点的坐标为，
第四次碰撞后的点的坐标为，
第五次碰撞后的点的坐标为，
第六次碰撞后的点的坐标为，
∴小球点坐标每六次为一循环，
∵
∴小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，
故答案为：A
【分析】根据题意求出每次点碰撞后的坐标，进而即可得到球点坐标每六次为一循环，再结合题意即可求解。
9．如图，在单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形.若的顶点坐标分别为，，则按图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图形可以看出每4个点为一组，
∵，
∴在第x轴上，位于y轴左边，纵坐标为0，
∵的横坐标分别为2，1，0，且，都是斜边在轴上，
∴，，横坐标上每两个点之间的横坐标相差为2，
∴的横坐标为-（505×2）= -1010，
∴的坐标为（-1010，0）．
故答案为：B.
【分析】观察图形可以看出每4个点为一组，由于，在第x轴上，位于y轴左边，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），
第二次运动到点P2（2，0），
第三次运动到点P3（3，-2），
第四次运动到点P4（4，0），
第五次运动到点P5（5，2），
第六次运动到点P6（6，0），
运动后的点的坐标特点可以发现规律：横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0），P7（1，1），P8（8，0）…，
∵2023＝7×289，
∴动点P2023的坐标是（2023，1），
∴动点P2023的纵坐标是1，
故答案为：C．
【分析】先求出规律：横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0），P7（1，1），P8（8，0）…，再结合2023＝7×289，求出动点P2023的坐标是（2023，1），从而得解.
11．（2023九下·齐河模拟）如图，以正六边形的中心O为原点建立平面直角坐标系，过点A作于点，再过作于点，再过作点，依次进行……若正六边形的边长为1，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；圆内接正多边形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：在正六边形中，
，，
∴是等边三角形，
∴，
∵于点，
∴，，
同理，
∴，
，
……
由此发现：，
∴，
∵，
∴点位于第二象限，
∴点的横坐标为，
故答案为：B.
【分析】先求出，，可得规律，再结合，求出点位于第二象限，最后求出点的横坐标为即可.
12．（2024九下·夏邑模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，，过点A作交半圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；旋转的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴每旋转8次一个循环，
，
∴第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，
如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置．
分别过点作轴于点轴于点，则，
连接，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据旋转性质及周角可得每旋转8次一个循环，则第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置，分别过点作轴于点轴于点，则，根据全等三角形性质可得，连接，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2023·日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1圈有1个点，即，
第2圈有8个点，到，
第3圈有16个点，到，
∴第n圈，，
∴位于第23圈上，则，
∴，A不符合题意；
∴位于第23圈上，则，
∴，B符合题意；
第n圈，，CD不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到规律第n圈，，进而对选项逐一分析即可求解.
14．（2024·威远模拟）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵ ，，，，……
∴
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据点的坐标总结出规律进而即可求解.
15．我们把这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，得到，，形成斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，得到螺旋折线（如图）．已知点，，则该折线上的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，可知P9在P6的正上方，P9到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为（-6，25），
故答案为：B．
【分析】观察各点的坐标，位置，从中发现规律，再利用规律求解.
二、填空题
16．（2024·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
【答案】（1，3）
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，观察点A变化后的坐标，
观察可知，回到点A处，即完成一圈的变化，后循环变化，
此时，故此时A2024的坐标与A8一致，
∴
故答案为：（1，3）.
【分析】将滚动变化的图形表示推理完整，后找出循环周期和目标循环的余数，进而找出与目标相同的点坐标即可得出结论.
17．（2024·齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，OC与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；线段垂直平分线的判定；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1B，
∵在等腰三角形OBC中，∠OBC=120°，
∴∠COB=∠O'C'B=30°，OB=C'B，
∴A1O=A1C'，
∴A1B垂直平分OC'，
∴∠A1BO=90°，
∵B(1，0)，
∴OB=1，
∵，
∴，
∴，
同理可得（n为正整数），
∵每滚动3次出现1个花心，
∴，
∴ △OBC 滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为A675，
∴.
故答案为：.
【分析】连接A1B，先根据等腰三角形的性质求出A1B垂直平分OC'，得∠A1BO=90°，再由点B的坐标得OB=1，接下来利用特殊角的三角函数值求出A1B的值，得点A1的坐标，同理求出点A2，A3，......An的坐标，根据题意得到每滚动3次出现1个花心，从而有滚动2024次停止后，最后一个花心对应的点为A675，将n=675代入即可求解.
18．（2024·广安）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线．直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵ 直线与轴相交于点，
∴点（1，0）.
∴OA1=2.
∵三角形为等边三角形，
∴以OA1为底的等边三角形的高为：.
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
∴.
∵三角形为等边三角形，
∴以为底的等边三角形的高为：.
∴到x轴的距离为：
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
同理：的横坐标为：.
∴观察可知的横坐标为：，的横坐标为：，的横坐标为：，
的横坐标为：.
∴A点坐标符合规律是：.
∴ 点的横坐标为
故答案为：.
【分析】利用直线解析式与x轴交点的特性求出坐标，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出第一个等边三角形的高和边，从而求出B1的坐标，进而利用B1和纵坐标相等以及直线解析式求出坐标，以相同的方法求出和的坐标，找出所有A点横坐标的规律即可求出答案.
19．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是 ．
【答案】(2019，－1)
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵圆的半径都为1，
∴半圆的周长＝π，以时间为点P的下标．观察发现规律：
P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，－1)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，
∴P4n(4n，0)，
P4n＋1(4n＋1，1)，P4n＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－1)．
∵2019÷4＝504……3，
∴第2019秒时，点P的坐标为(2019，－1)．
故答案为：(2019，－1)
【分析】求出前几个点的坐标，总结规律即可求出答案.
20．（2024九上·南宁开学考）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：设直线的解析式为：，
∵点坐标为，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵轴交抛物线于点，
∴，
∵交抛物线于点，
∴设直线的解析式为：，
∴将代入解析式中得：，
∴直线的解析式为：，
当时，
解得：，，
∴，
∵轴交抛物线于点，
∴，
同理可得：直线的解析式为：，
当时，
解得：，，
∴，
……
∴以此类推点
∴的坐标为：，
故答案为：
【分析】先根据待定系数法求出直线的函数解析式，进而即可得到点的坐标，再运用待定系数法求出直线的函数解析式，从而即可得到点、的坐标，以此类推求出点的坐标，进而即可得到规律，再根据规律即可得到点的坐标．
21．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
【答案】（2，1）
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。
22．（2024·绥化）如图， 已知 ， ， 依此规律， 则点 的坐标为 .
【答案】
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据图形，可以得出：
由此可见，每七个是一个循环
∴2024÷7=289余1，而1+289x10=2891，
∴点 的坐标为
故答案为.
【分析】观察所给图形及点的坐标，列出各个点的坐标，发现规律：每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键.
1 / 1点的坐标规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·九龙坡月考）将有序实数对进行操作后可得到一个新的有序实数对，将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如：经过一次操作后得到，经过二次操作后得到，…，下列说法：
①若经过三次操作后得到有序实数对，则；
②在平面直角坐标系中，将所对应的点标记为点P，将经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点M，点N，若直线垂直于x轴，则的面积为56；
③若，且，则经过三次操作后的结果为．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·麒麟开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点出发以个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
4．（2024·喀什模拟）如图，正方形的顶点，，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按照这样的规律，点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·裕华模拟）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·裕华模拟）某班开展了两次跳绳比赛，从班级里随机抽取了20名学生两次跳绳的成绩（单位：个/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．如图是这些学生第一次和第二次比赛成绩情况统计图，设每名学生两次跳绳的平均成绩是x个/分钟，落在的范围内的数据有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
7．（2024九下·杭州模拟）如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，直角顶点，将以点为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·凉州模拟）如图，小球起始位置时位于处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第次碰到球桌边时，小球的位置是( )
A． B． C． D．
9．如图，在单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形.若的顶点坐标分别为，，则按图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
11．（2023九下·齐河模拟）如图，以正六边形的中心O为原点建立平面直角坐标系，过点A作于点，再过作于点，再过作点，依次进行……若正六边形的边长为1，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024九下·夏邑模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，，过点A作交半圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·威远模拟）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．我们把这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，得到，，形成斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，得到螺旋折线（如图）．已知点，，则该折线上的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2024·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
17．（2024·齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，OC与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
18．（2024·广安）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线．直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
19．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是 ．
20．（2024九上·南宁开学考）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．
21．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
22．（2024·绥化）如图， 已知 ， ， 依此规律， 则点 的坐标为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；探索规律-点的坐标规律；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
如图，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，
∵，
∴，，
等边经过第次翻转后，，等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，
∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，
故答案为：D
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据两点间距离可得，，，由锐角三角函数定义可得，结合特殊角的三角函数值可得，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，根据锐角三角函数定义可得，，结合翻转变换，总结规律，即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：①根据题意，经过一次操作后得到，经过二次操作后得到，经过三次操作后得到，
∵ 经过三次操作后得到有序实数对，
∴，
解得，
，故①正确；
②经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为M，N，
∴点，点，
当直线垂直于x轴时，可得，解得，
，，
的面积为，故②正确；
③经过三次操作后的结果为，
若，且，
则可得，
，
，
，
，
，
经过三次操作后的结果为，故③正确；
故答案为：D．
【分析】根据规定逐项计算，根据结果进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：，，，，
，，
，
（秒），
瓢虫爬行一周需要秒，
，
，
，
第秒瓢虫在处．
故答案为：D．
【分析】先求出规律瓢虫爬行一周需要秒，再结合，求出第秒瓢虫在处即可．
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
同理可得，，，
∴的纵坐标分别为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：D
【分析】连接，先根据点A和点B的坐标得到OA=OB=1，进而根据勾股定理求出AB，再根据正方形的性质得到，进而即可解直角三角形得到BD，从而得到点D的纵坐标为，再结合题意解直角三角形得到，同理可得，，，故点的纵坐标分别是：，从而结合题意即可求解。
5．【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1次：，
第2次：，
第3次：，
第4次：，
第5次：，
…，
以此类推，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
∵，
∴第2024次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为
∴第2024次的坐标是，
故答案为：D
【分析】先题意点的坐标得到第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，进而即可得到横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，再结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】统计表；分析数据的波动程度；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察统计图，是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．即某一个点的横坐标代表第一次成绩，纵坐标代表第二次成绩，
点A横坐标是110，纵坐标在150到155之间，其平均数落在的范围内，
点B横坐标在120到130之间，纵坐标在140到150之间，其平均数落在的范围内，
点C横坐标是130，纵坐标是140，其平均数落在的范围内，
点D横坐标是140，纵坐标是140，其平均数落在的范围内，
点E横坐标是140，纵坐标是130，其平均数落在的范围内，
左下角的5个点的横坐标不超过120，纵坐标也不超过120，其平均数都落在的范围外，
右上角的8个点的横坐标超过140，纵坐标不小于140，其平均数都落在的范围外，
所以两次活动平均成绩在的范围内的数据有5个，
故答案为：B
【分析】先观察散点图得到是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．即某一个点的横坐标代表第一次成绩，纵坐标代表第二次成绩，进而逐一观察散点即可求解。
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：旋转一周为360°，每秒旋转45°，
（一个周期）.
，
如图所示，为以点为旋转中心，顺时针旋转5次后的图形.
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，
由旋转的性质得，
，
可得所求点的坐标为，
故答案为：B.
【分析】根据题意知，每隔8秒点B回到原来的位置，而77÷8=9……5，故△ABC顺时针旋转77秒后的位置与顺时针旋转5次后的图形位置一样，从而作出示意图；由A、C的坐标得到AC、OA的长，根据等腰直角三角形性质及勾股定理可算出AB的长，再根据旋转的性质得AB'=AB，进而找出点B'离开原点的距离即可求出点B'的坐标.
8．【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，
第二次碰撞后的点的坐标为，
第三次碰撞后的点的坐标为，
第四次碰撞后的点的坐标为，
第五次碰撞后的点的坐标为，
第六次碰撞后的点的坐标为，
∴小球点坐标每六次为一循环，
∵
∴小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，
故答案为：A
【分析】根据题意求出每次点碰撞后的坐标，进而即可得到球点坐标每六次为一循环，再结合题意即可求解。
9．【答案】B
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图形可以看出每4个点为一组，
∵，
∴在第x轴上，位于y轴左边，纵坐标为0，
∵的横坐标分别为2，1，0，且，都是斜边在轴上，
∴，，横坐标上每两个点之间的横坐标相差为2，
∴的横坐标为-（505×2）= -1010，
∴的坐标为（-1010，0）．
故答案为：B.
【分析】观察图形可以看出每4个点为一组，由于，在第x轴上，位于y轴左边，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
10．【答案】C
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），
第二次运动到点P2（2，0），
第三次运动到点P3（3，-2），
第四次运动到点P4（4，0），
第五次运动到点P5（5，2），
第六次运动到点P6（6，0），
运动后的点的坐标特点可以发现规律：横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0），P7（1，1），P8（8，0）…，
∵2023＝7×289，
∴动点P2023的坐标是（2023，1），
∴动点P2023的纵坐标是1，
故答案为：C．
【分析】先求出规律：横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0），P7（1，1），P8（8，0）…，再结合2023＝7×289，求出动点P2023的坐标是（2023，1），从而得解.
11．【答案】B
【知识点】点的坐标；圆内接正多边形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：在正六边形中，
，，
∴是等边三角形，
∴，
∵于点，
∴，，
同理，
∴，
，
……
由此发现：，
∴，
∵，
∴点位于第二象限，
∴点的横坐标为，
故答案为：B.
【分析】先求出，，可得规律，再结合，求出点位于第二象限，最后求出点的横坐标为即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；旋转的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴每旋转8次一个循环，
，
∴第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，
如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置．
分别过点作轴于点轴于点，则，
连接，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据旋转性质及周角可得每旋转8次一个循环，则第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置，分别过点作轴于点轴于点，则，根据全等三角形性质可得，连接，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】B
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1圈有1个点，即，
第2圈有8个点，到，
第3圈有16个点，到，
∴第n圈，，
∴位于第23圈上，则，
∴，A不符合题意；
∴位于第23圈上，则，
∴，B符合题意；
第n圈，，CD不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到规律第n圈，，进而对选项逐一分析即可求解.
14．【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵ ，，，，……
∴
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据点的坐标总结出规律进而即可求解.
15．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，可知P9在P6的正上方，P9到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为（-6，25），
故答案为：B．
【分析】观察各点的坐标，位置，从中发现规律，再利用规律求解.
16．【答案】（1，3）
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，观察点A变化后的坐标，
观察可知，回到点A处，即完成一圈的变化，后循环变化，
此时，故此时A2024的坐标与A8一致，
∴
故答案为：（1，3）.
【分析】将滚动变化的图形表示推理完整，后找出循环周期和目标循环的余数，进而找出与目标相同的点坐标即可得出结论.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；线段垂直平分线的判定；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1B，
∵在等腰三角形OBC中，∠OBC=120°，
∴∠COB=∠O'C'B=30°，OB=C'B，
∴A1O=A1C'，
∴A1B垂直平分OC'，
∴∠A1BO=90°，
∵B(1，0)，
∴OB=1，
∵，
∴，
∴，
同理可得（n为正整数），
∵每滚动3次出现1个花心，
∴，
∴ △OBC 滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为A675，
∴.
故答案为：.
【分析】连接A1B，先根据等腰三角形的性质求出A1B垂直平分OC'，得∠A1BO=90°，再由点B的坐标得OB=1，接下来利用特殊角的三角函数值求出A1B的值，得点A1的坐标，同理求出点A2，A3，......An的坐标，根据题意得到每滚动3次出现1个花心，从而有滚动2024次停止后，最后一个花心对应的点为A675，将n=675代入即可求解.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵ 直线与轴相交于点，
∴点（1，0）.
∴OA1=2.
∵三角形为等边三角形，
∴以OA1为底的等边三角形的高为：.
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
∴.
∵三角形为等边三角形，
∴以为底的等边三角形的高为：.
∴到x轴的距离为：
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
同理：的横坐标为：.
∴观察可知的横坐标为：，的横坐标为：，的横坐标为：，
的横坐标为：.
∴A点坐标符合规律是：.
∴ 点的横坐标为
故答案为：.
【分析】利用直线解析式与x轴交点的特性求出坐标，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出第一个等边三角形的高和边，从而求出B1的坐标，进而利用B1和纵坐标相等以及直线解析式求出坐标，以相同的方法求出和的坐标，找出所有A点横坐标的规律即可求出答案.
19．【答案】(2019，－1)
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵圆的半径都为1，
∴半圆的周长＝π，以时间为点P的下标．观察发现规律：
P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，－1)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，
∴P4n(4n，0)，
P4n＋1(4n＋1，1)，P4n＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－1)．
∵2019÷4＝504……3，
∴第2019秒时，点P的坐标为(2019，－1)．
故答案为：(2019，－1)
【分析】求出前几个点的坐标，总结规律即可求出答案.
20．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：设直线的解析式为：，
∵点坐标为，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵轴交抛物线于点，
∴，
∵交抛物线于点，
∴设直线的解析式为：，
∴将代入解析式中得：，
∴直线的解析式为：，
当时，
解得：，，
∴，
∵轴交抛物线于点，
∴，
同理可得：直线的解析式为：，
当时，
解得：，，
∴，
……
∴以此类推点
∴的坐标为：，
故答案为：
【分析】先根据待定系数法求出直线的函数解析式，进而即可得到点的坐标，再运用待定系数法求出直线的函数解析式，从而即可得到点、的坐标，以此类推求出点的坐标，进而即可得到规律，再根据规律即可得到点的坐标．
21．【答案】（2，1）
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。
22．【答案】
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据图形，可以得出：
由此可见，每七个是一个循环
∴2024÷7=289余1，而1+289x10=2891，
∴点 的坐标为
故答案为.
【分析】观察所给图形及点的坐标，列出各个点的坐标，发现规律：每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键.
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