函数图象中的规律探索—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·监利期中）如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024八上·福田期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称。若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为，则点的坐标为( ).
A． B． C． D．
6．如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线BC是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．2024
7．（2023九上·新邵期中）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作，使．将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．-40 B．40 C．80 D．-80
8．（2024九上·浙江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
二、填空题
9．（2024·广安）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线．直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
10．（2023九上·湘潭期中）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的横坐标为 ．
11． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x，y轴分别交于点A，B，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A1，C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取 ，过点B2分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A2，C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取 ，过点B3分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A3，C3，得到矩形OA3B3C3；…，则点B1的坐标是 ；第3个矩形OA3B3C3的面积是 ；第n个矩形OA，B C 的面积是 .(用含n的式子表示，n是正整数)
12．（2024八上·温江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ．
13．（2024八下·广安期末）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长= ．
14．（2024九上·定海开学考）如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ．
15．（2024九上·惠阳开学考）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按在图所示的方式放置．点、、，…和、、，…分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ；点的坐标是 ．
16．（2023九上·岳阳期中）如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，，…在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，…，则（n为正整数）的坐标是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】探索规律-函数上点的规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，
∴P1（1，1），
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，
∵P2在直线y＝ x上，
∴1＝ x，
∴x＝ 2，
∴P2（ 2，1），即P2的横坐标为 2＝ 21，
同理，P3的横坐标为 2＝ 21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝ 23，P7＝ 23，P8＝24…，
∴P4n＝22n，
∴P2020的横坐标为22×505＝21010，
∴P2021的横坐标为21010，
∴P2022的横坐标为 21011，
∴P2023的横坐标为 21011，
故答案为：D．
【分析】先求出P2（ 2，1），即P2的横坐标为 2＝ 21，P3的横坐标为 2＝ 21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝ 23，P7＝ 23，P8＝24…，可得P4n＝22n，再求出P2023的横坐标为 21011即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵一段抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为：，，
∴，
∵将绕点旋转得，
∴，
∴抛物线：，且抛物线一个周期长为，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，可得规律抛物线：，且抛物线一个周期长为，再结合，求出即可.
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴∠OBC=30°，
∴∠OCB=60°，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于．
故选：A
【分析】本题考查一次函数综合题，直角三角形的性质，等边三角形的性质，探究代数式的规律，勾股定理.过点作轴于点D，先根据点B和点C的坐标求出，利用勾股定理可求出BC=2，进而可得BC=2OC，据此可推出∠OBC=30°，进而可得，，利用直角三角形的性质可得：，据此可得第1个等边三角形的边长，第2个等边三角形的边长，第3个等边三角形的边长，……，进而可推出 第n个等边三角形的边长等于．
4．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；通过函数图象获取信息；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵这20个点的横坐标，从0.1开始依次增加0.1，
∴，
∴点A1与A19关于点（1，0）对称，即y1+y19=0，
同理：y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，
∵A10（1，0），即y10=0，
∴，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意得出y1+y19=0，y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，y10=0，，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴点A的纵坐标为3，
当y=3时，-3x=`12，
解之：x=-4，
∴点A（-4，3），
∴，
∴△AOB的周长为3+4+5=12，
∵旋转，
∴点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，
∵OB1=OA+AB1=5+4=9，
OB3=9+12×1=21，
OB5=9+2×12=21，
∴OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，
当2n-1=37时，
解之：n=19，
∴12n-3=12×19-3=225，
设点B37（）
∴
解之：m=-180（取负）
∴
∴B37（-180，135）
故答案为：C.
【分析】利用点B的坐标及AB⊥y轴，可得到点A的纵坐标，据此可求出点A的坐标，可得到AB，OB的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出△AOB的周长；利用旋转的性质可得到点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，可得到OB1的长；OB3=9+12×1，OB5=9+2×12，根据其规律可得到OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值，设点B37（），利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点B37的坐标.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵y=-4x2+8x+1=-4（x-1）2+5，
∴点B（1，5），
令y=-4（x-1）2+5中的x=0，得y=1，
∴A（0，1），
∵点B（1，5）在反比例函数的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的解析式为
∵点C在的图象上，且点C的横坐标为5，
∴点C的纵坐标为1，
∴点C（5，1），
∵2024÷5=404……4，
∴点P的纵坐标与x=4时对应的函数值相等，
将x=4代入得y=，
∴m=.
故答案为：C.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式得到点B的坐标，然后令抛物线中的x=0算出对应的函数值，可得点A的坐标；利用待定系数法求出反比例函数图象的解析式，将x=5代入反比例函数解析式算出对应的函数值得到点C的坐标，从而发现5个单位为一个循环，进而即可得出点P的纵坐标与x=4时对应的函数值相等，于是将x=4代入算出对应的函数值即可得到m的值.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥y轴于点D，
根据题意得：∠AOB=∠BDC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∴△AOB∽△BDC，
∴，
∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=3，
∴点A（3，0） ，B（0，4），
∴OA=3 ，OB=4，
∵．
∴，
解得：CD=8，BD=6，
∴OD=10，
∴点C的坐标为（8，10），
∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次一个循环，
∵，
∴当第2022次旋转结束时，此时点C的对应点落在第三象限，且与（8，10）关于原点对称，
∴此时，
∵点落在反比例函数的图象上，
∴k=80．
故答案为：C
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，先求出将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可得旋转4次一个循环，再结合，可得当第2022次旋转结束时，此时点C的对应点落在第三象限，且与（8，10）关于原点对称，求出，最后将点C'的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵ 直线与轴相交于点，
∴点（1，0）.
∴OA1=2.
∵三角形为等边三角形，
∴以OA1为底的等边三角形的高为：.
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
∴.
∵三角形为等边三角形，
∴以为底的等边三角形的高为：.
∴到x轴的距离为：
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
同理：的横坐标为：.
∴观察可知的横坐标为：，的横坐标为：，的横坐标为：，
的横坐标为：.
∴A点坐标符合规律是：.
∴ 点的横坐标为
故答案为：.
【分析】利用直线解析式与x轴交点的特性求出坐标，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出第一个等边三角形的高和边，从而求出B1的坐标，进而利用B1和纵坐标相等以及直线解析式求出坐标，以相同的方法求出和的坐标，找出所有A点横坐标的规律即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为1，点在反比例函数（）的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
同理可得得…
∴，
当时，．
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出，…可得规律，再将n=10代入计算即可.
11．【答案】(1，2)；12；n2+n
【知识点】勾股定理；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 一次函数y=x+1与x，y轴分别交于点A，B，
A（-1，0），B（0，1）
AB=
设
BB1=AB
，解得
同理可得
故答案为：(1，2)，12，n2+n
【分析】先求出A、B两点的坐标，再设再求出a、b、c的值，即可求出矩形的面积，找出规律即可。
12．【答案】
【知识点】探索规律-函数上点的规律；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由题意得把代入直线，
得，
把代入直线得：
∴，
由等腰直角三角形的性质得：，
的横坐标为
则的横坐标为1，代入直线得，，即，
由等腰直角三角形的性质得，
，
即的横坐标为，
同理可得：的横坐标为，
∴的横坐标为（为正整数），
∴的横坐标为：，
把代入，得：，
∴；
故答案为：
【分析】根据一次函数的图象上的点的坐标特征结合等腰三角形的性质求出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而得到的横坐标为（为正整数），再求出的横坐标为：，将其横坐标代入一次函数即可求出A8的坐标。
13．【答案】2011
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；探索规律-函数图象规律；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：分别过B1，B2，B3作B1A⊥y轴，B2B⊥y轴，B3C⊥y轴，
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，
在正△A0B1A1中，B1(a，)，
∴ (a)2，解得：a=1或a=0(舍去)，即A0A1=1，
在正△A1B2A2和正△A2B3A3中，同理可得：A1A2=2，A2A3=3，
……，
∴△AnBn+1An+1的边长=n+1，
∴当n=2010时，△A2010B2011A2011的边长=2010+1=2011．
故答案为：2011．
【分析】分别过B1，B2，B3作B1A⊥y轴，B2B⊥y轴，B3C⊥y轴，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，根据所求正三角形的边长，分别表示B1、B2、B3的纵坐标，将坐标代入抛物线的解析式计算可求解，观察可得规律：△AnBn+1An+1的边长=n+1，把n=2010代入规律计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，，…，，
∵，，，…，在反比例函数的图象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，，…，的坐标，再根据三角形的面积公式，表示出、、…、，探索规律即可计算.
15．【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，
∵正方形、、，…，按在图所示的方式放置，
∴点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，
∵，，
∴A1（1，1）即，即，
设B2F=m，则，
∴点A3（5+m，m），
∵ 点、、，……分别在直线，
∴
解之：
∴；
将点代入函数解析式得
解之：，
∴
∴点即；
∴点An
故答案为：；.
【分析】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，利用已知可得到点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，可求出点A1，A2的坐标，观察两个点的坐标特点，可得到A1，A2，设B2F=m，可表示出OF的长，可得到点A3的坐标；根据点、、，……分别在直线，将两点坐标代入函数解析式可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式，再将点A3的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到点A3的坐标，根据其规律可得到点An的坐标.
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，
∵，其中，
解得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
同理可得：，，…，都是等腰直角三角形，
同理设，
∴，
解得， （负根舍去）
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过作轴于，求解，结合题意，，，，…，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
1 / 1函数图象中的规律探索—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-函数上点的规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，
∴P1（1，1），
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，
∵P2在直线y＝ x上，
∴1＝ x，
∴x＝ 2，
∴P2（ 2，1），即P2的横坐标为 2＝ 21，
同理，P3的横坐标为 2＝ 21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝ 23，P7＝ 23，P8＝24…，
∴P4n＝22n，
∴P2020的横坐标为22×505＝21010，
∴P2021的横坐标为21010，
∴P2022的横坐标为 21011，
∴P2023的横坐标为 21011，
故答案为：D．
【分析】先求出P2（ 2，1），即P2的横坐标为 2＝ 21，P3的横坐标为 2＝ 21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝ 23，P7＝ 23，P8＝24…，可得P4n＝22n，再求出P2023的横坐标为 21011即可.
2．（2023九上·监利期中）如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵一段抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为：，，
∴，
∵将绕点旋转得，
∴，
∴抛物线：，且抛物线一个周期长为，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，可得规律抛物线：，且抛物线一个周期长为，再结合，求出即可.
3．（2024八上·福田期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴∠OBC=30°，
∴∠OCB=60°，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于．
故选：A
【分析】本题考查一次函数综合题，直角三角形的性质，等边三角形的性质，探究代数式的规律，勾股定理.过点作轴于点D，先根据点B和点C的坐标求出，利用勾股定理可求出BC=2，进而可得BC=2OC，据此可推出∠OBC=30°，进而可得，，利用直角三角形的性质可得：，据此可得第1个等边三角形的边长，第2个等边三角形的边长，第3个等边三角形的边长，……，进而可推出 第n个等边三角形的边长等于．
4．（2024·武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称。若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；通过函数图象获取信息；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵这20个点的横坐标，从0.1开始依次增加0.1，
∴，
∴点A1与A19关于点（1，0）对称，即y1+y19=0，
同理：y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，
∵A10（1，0），即y10=0，
∴，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意得出y1+y19=0，y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，y10=0，，即可求解．
5．（2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为，则点的坐标为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴点A的纵坐标为3，
当y=3时，-3x=`12，
解之：x=-4，
∴点A（-4，3），
∴，
∴△AOB的周长为3+4+5=12，
∵旋转，
∴点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，
∵OB1=OA+AB1=5+4=9，
OB3=9+12×1=21，
OB5=9+2×12=21，
∴OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，
当2n-1=37时，
解之：n=19，
∴12n-3=12×19-3=225，
设点B37（）
∴
解之：m=-180（取负）
∴
∴B37（-180，135）
故答案为：C.
【分析】利用点B的坐标及AB⊥y轴，可得到点A的纵坐标，据此可求出点A的坐标，可得到AB，OB的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出△AOB的周长；利用旋转的性质可得到点B2n-1（n为正整数）在直线上 ，可得到OB1的长；OB3=9+12×1，OB5=9+2×12，根据其规律可得到OB2n-1=9+12×（n-1）=12n-3，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值，设点B37（），利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点B37的坐标.
6．如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线BC是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．2024
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵y=-4x2+8x+1=-4（x-1）2+5，
∴点B（1，5），
令y=-4（x-1）2+5中的x=0，得y=1，
∴A（0，1），
∵点B（1，5）在反比例函数的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的解析式为
∵点C在的图象上，且点C的横坐标为5，
∴点C的纵坐标为1，
∴点C（5，1），
∵2024÷5=404……4，
∴点P的纵坐标与x=4时对应的函数值相等，
将x=4代入得y=，
∴m=.
故答案为：C.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式得到点B的坐标，然后令抛物线中的x=0算出对应的函数值，可得点A的坐标；利用待定系数法求出反比例函数图象的解析式，将x=5代入反比例函数解析式算出对应的函数值得到点C的坐标，从而发现5个单位为一个循环，进而即可得出点P的纵坐标与x=4时对应的函数值相等，于是将x=4代入算出对应的函数值即可得到m的值.
7．（2023九上·新邵期中）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作，使．将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．-40 B．40 C．80 D．-80
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥y轴于点D，
根据题意得：∠AOB=∠BDC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∴△AOB∽△BDC，
∴，
∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=3，
∴点A（3，0） ，B（0，4），
∴OA=3 ，OB=4，
∵．
∴，
解得：CD=8，BD=6，
∴OD=10，
∴点C的坐标为（8，10），
∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次一个循环，
∵，
∴当第2022次旋转结束时，此时点C的对应点落在第三象限，且与（8，10）关于原点对称，
∴此时，
∵点落在反比例函数的图象上，
∴k=80．
故答案为：C
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，先求出将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可得旋转4次一个循环，再结合，可得当第2022次旋转结束时，此时点C的对应点落在第三象限，且与（8，10）关于原点对称，求出，最后将点C'的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可.
8．（2024九上·浙江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
二、填空题
9．（2024·广安）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线．直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵ 直线与轴相交于点，
∴点（1，0）.
∴OA1=2.
∵三角形为等边三角形，
∴以OA1为底的等边三角形的高为：.
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
∴.
∵三角形为等边三角形，
∴以为底的等边三角形的高为：.
∴到x轴的距离为：
∴.
∵和的纵坐标相等，且在 直线上，
∴，
∴.
∴.
同理：的横坐标为：.
∴观察可知的横坐标为：，的横坐标为：，的横坐标为：，
的横坐标为：.
∴A点坐标符合规律是：.
∴ 点的横坐标为
故答案为：.
【分析】利用直线解析式与x轴交点的特性求出坐标，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出第一个等边三角形的高和边，从而求出B1的坐标，进而利用B1和纵坐标相等以及直线解析式求出坐标，以相同的方法求出和的坐标，找出所有A点横坐标的规律即可求出答案.
10．（2023九上·湘潭期中）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为1，点在反比例函数（）的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
同理可得得…
∴，
当时，．
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出，…可得规律，再将n=10代入计算即可.
11． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x，y轴分别交于点A，B，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A1，C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取 ，过点B2分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A2，C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取 ，过点B3分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A3，C3，得到矩形OA3B3C3；…，则点B1的坐标是 ；第3个矩形OA3B3C3的面积是 ；第n个矩形OA，B C 的面积是 .(用含n的式子表示，n是正整数)
【答案】(1，2)；12；n2+n
【知识点】勾股定理；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 一次函数y=x+1与x，y轴分别交于点A，B，
A（-1，0），B（0，1）
AB=
设
BB1=AB
，解得
同理可得
故答案为：(1，2)，12，n2+n
【分析】先求出A、B两点的坐标，再设再求出a、b、c的值，即可求出矩形的面积，找出规律即可。
12．（2024八上·温江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】探索规律-函数上点的规律；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由题意得把代入直线，
得，
把代入直线得：
∴，
由等腰直角三角形的性质得：，
的横坐标为
则的横坐标为1，代入直线得，，即，
由等腰直角三角形的性质得，
，
即的横坐标为，
同理可得：的横坐标为，
∴的横坐标为（为正整数），
∴的横坐标为：，
把代入，得：，
∴；
故答案为：
【分析】根据一次函数的图象上的点的坐标特征结合等腰三角形的性质求出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而得到的横坐标为（为正整数），再求出的横坐标为：，将其横坐标代入一次函数即可求出A8的坐标。
13．（2024八下·广安期末）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长= ．
【答案】2011
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；探索规律-函数图象规律；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：分别过B1，B2，B3作B1A⊥y轴，B2B⊥y轴，B3C⊥y轴，
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，
在正△A0B1A1中，B1(a，)，
∴ (a)2，解得：a=1或a=0(舍去)，即A0A1=1，
在正△A1B2A2和正△A2B3A3中，同理可得：A1A2=2，A2A3=3，
……，
∴△AnBn+1An+1的边长=n+1，
∴当n=2010时，△A2010B2011A2011的边长=2010+1=2011．
故答案为：2011．
【分析】分别过B1，B2，B3作B1A⊥y轴，B2B⊥y轴，B3C⊥y轴，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，根据所求正三角形的边长，分别表示B1、B2、B3的纵坐标，将坐标代入抛物线的解析式计算可求解，观察可得规律：△AnBn+1An+1的边长=n+1，把n=2010代入规律计算即可求解．
14．（2024九上·定海开学考）如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，，…，，
∵，，，…，在反比例函数的图象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，，…，的坐标，再根据三角形的面积公式，表示出、、…、，探索规律即可计算.
15．（2024九上·惠阳开学考）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按在图所示的方式放置．点、、，…和、、，…分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ；点的坐标是 ．
【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，
∵正方形、、，…，按在图所示的方式放置，
∴点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，
∵，，
∴A1（1，1）即，即，
设B2F=m，则，
∴点A3（5+m，m），
∵ 点、、，……分别在直线，
∴
解之：
∴；
将点代入函数解析式得
解之：，
∴
∴点即；
∴点An
故答案为：；.
【分析】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，利用已知可得到点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，可求出点A1，A2的坐标，观察两个点的坐标特点，可得到A1，A2，设B2F=m，可表示出OF的长，可得到点A3的坐标；根据点、、，……分别在直线，将两点坐标代入函数解析式可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式，再将点A3的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到点A3的坐标，根据其规律可得到点An的坐标.
16．（2023九上·岳阳期中）如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，，…在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，…，则（n为正整数）的坐标是 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，
∵，其中，
解得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
同理可得：，，…，都是等腰直角三角形，
同理设，
∴，
解得， （负根舍去）
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过作轴于，求解，结合题意，，，，…，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
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