图形的递变、循环规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024·鹿城模拟）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·镇海区期末）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·衡阳开学考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2023，0） B．（2024，0） C．（2024，1） D．（2023，2）
5．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·中山模拟）如图，一段抛物线y＝﹣x2+8x（0≤x≤8）记为C1，它与x轴交于点O，A1两点；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3，…，如此下去，得到一条“波浪线”．若点M（2023，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣7 D．7
8．顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”.如图，在中，，其中.作的平分线，交AC于点，得到黄金三角形；作交AB于点，作交AC于点，得到黄金三角形；作交AB于点，作交AC于点，得到黄金三角形依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形.若BC的长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·黄埔期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．不能确定
10．（2023九上·江岸期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A点的坐标为，将绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2024次后，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·江岸月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，.将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023九上·房县期中）已知的周长为，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023九上·武昌期中）如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024九上·南京期中）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2018的坐标是（ ）
A．（﹣2018，0） B．（21009，0）
C．（21008，﹣21008） D．（0，21009）
15．（2024九上·南山开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，正方形中，与直线1所夹锐角为，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，依此规律，则线段
17．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为 ．
18．（2024九上·洞口开学考）如图，点，点，…，点在函数的图象上，，，，…，都是等腰直角三角形，斜边，、，…，都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是 ．
19．（2024·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
20．（2024·遂宁）在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时， .
21．（2024·巴东模拟）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为 ．
22．（2024·浙江模拟）如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点
23．（2024·内江模拟）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A2024B2024 2024D2024的面积是 ．
三、解答题
24．（2024九上·惠城开学考）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；
，；
（1）请用含有为正整数的等式表示上述变化规律： ， ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的递变规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：由 表示 1011，可得黑格表示1，白格表示0.
故表示0110的图应该是：
故答案为：D.
【分析】根据题意和示意图，可知黑格表示1，白格表示0，据此即可确定表示0110的图.
2．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：第1次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
第2次交换位置后，小鼠所在位置是：4；
第3次交换位置后，小鼠所在位置是：2；
第4次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
第5次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
，
以此可见，每次交换后小鼠所在位置的序号按：3，4，2，1循环出现，
又因为，
所以第2024次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
故答案为：A．
【分析】求出每次交换后小鼠所在的位置，得到规律解题即可．
3．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限，，
点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为：C
【分析】根据题意可得点A每6次绕原点循环一周，归纳总结可得点在第四象限，，再解直角三角形即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
第1次从原点运动到点（1，1）
第2次接着运动到点（2，0）
第3次接着运动到点（3，2）
第4次接着运动到点（4，0）
第5次接着运动到点（5，1）
第6次接着运动到点（6，0）
......
∴横坐标一次加1，纵坐标4个一个循环
2023÷4=505......3
∴经过第2023次运动后，动点P的坐标为 （2023，2）
故答案为：D
【分析】求出前几次运动后点的坐标，总结规律：横坐标一次加1，纵坐标4个一个循环，即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，
，，，，
，，，，
，
，，
故的半径为，
的弧长．
故答案为：A
【分析】根据题意求出AD，BA1，CB1，DC1，总结规律，结合弧长公式即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；探索规律-图形的递变规律；已知余弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线，，
∴
∴
∴
∴直线l与x轴夹角为，
∵为x轴上一点，且，，轴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
同理，…，
∴，
故答案为：C
【分析】根锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值可得，则，再根据边之间的关系可得，由含30°角的直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，则，同理，…，总结规律即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-图形的递变加循环规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解： 抛物线y＝﹣x2+8x（0≤x≤8）记为C1，当y=0时﹣x2+8x=0
解之：x1=0，x2=8，
∴点A1（8，0）；
∴OA1=8，
∵ 将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2，
∴OA1=A1A2=8，
∴OA2=2×8=16，
∴A2（16，0）；
此时0≤x≤16，
从图象上看，将0≤x≤16看着一个周期，
∴2023÷16=1267，
x=7时，
y=m=-49+8×7=7，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件将y=0代入抛物线C1的函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A1的坐标，同时求出OA1的长，利用旋转的性质可证得OA1=A1A2=8，可求出OA2的长，即可得到点A2的坐标，此时0≤x≤16，从图象上看，将0≤x≤16看着一个周期，用2023÷16，根据其余数可求出m的值.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△BCC1是黄金三角形，
∴，即CC1＝，
∵C1B1∥BC，B1C2∥BC1，BC1平分∠ABC，
∴B1C1＝B1B＝C1C＝，
∵△B1C2C1是黄金三角形，
∴C1C2＝C1C＝（）2，
……，
∴C5C6＝C4C5＝（）6＝．
故答案为：B．
【分析】根据题意计算出CC1＝，C1C2＝C1C＝（）2，再根据规律可得答案．
9．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意知正方形的边长为1，
由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3
由图可发现，正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周
∴点P的坐标是以4个单位为周期往上加，
∵2023÷4=505...3
∴当旋转505周时对应的坐标为：505×4-1=2019
则P2023的横坐标x2023=2019+3=2022
故答案为：B
【分析】根据题意知正方形的边长为1，由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3，则正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周，总结规律：点P的坐标是以4个单位为周期往上加，即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意可得：将点A绕原点O旋转90°得点A'
过点A作x轴的垂线，垂足为N，过点A'作y轴垂线，垂足为M
∵∠AOA'=90°
∴∠AOM+∠MOA'=90°
∵∠AOM+∠AON=90°
∴∠AON=∠MOA'
在△AON和△MOA'中
∴△AON≌△MOA'(AAS)
∴MO=NO，A'M=AN
∵点A（-7，10）
∴AN=10，NO=7
∴MO=7，A'M=10
∴点A'的坐标为（10，7）
同理可得，继续旋转，点A的坐标依次为（7，-10），（-10，-7），（-7，10）......
∴点A坐标四次一个循环
∵2024÷4=506
∴旋转2024次后，点A的坐标为（-7，10）
故答案为：C
【分析】当△ABC绕原点O旋转时，△ABC上的每个点都绕点O旋转形同的角度，将点A绕原点O旋转90°得点A'，过点A作x轴的垂线，垂足为N，过点A'作y轴垂线，垂足为M，根据角之间的关系可得∠AON=∠MOA'，再根据全等三角形判定定理可得△AON≌△MOA'(AAS)，则MO=NO，A'M=AN，即点A'的坐标为（10，7），同理可得，继续旋转，点A的坐标依次为（7，-10），（-10，-7），（-7，10）......，点A坐标四次一个循环，即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：矩形中，，
，
将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，如图所示：
可知，每旋转4次则回到原位置，
，
第2024次旋转结束时，点B回到原位置，坐标为，
故答案为：A．
【分析】先求出规律：每旋转4次则回到原位置，再结合，求出第2024次旋转结束时，点B回到原位置，坐标为即可.
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵连接三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为，
∴它们相似，且相似比为，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为，
以此类推：第个三角形与原三角形的相似比为，
∴第个三角形与原三角形的相似比为，
∴第个三角形与原三角形的周长比为，
∵周长为，
∴第个三角形的周长为，
即第个三角形的周长为．
故答案为：C
【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，得出各三角形相似，且相似比为，然后根据相似比，得出：第个三角形与原三角形的相似比为，进而得出第个三角形与原三角形的相似比为，再根据相似三角形的相似比等于周长比，得出第个三角形与原三角形的周长比为，再根据周长为，即可得出第个三角形的周长．
13．【答案】A
【知识点】点的坐标；正方形的性质；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵，
∴CB=2﹣(﹣2)=4
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=CB=4
∴A（2，6）
∵每次旋转60°
∴第1次旋转后点A的坐标为（﹣6，﹣2），第2次旋转后点A的坐标为（2，﹣6），第3次旋转后点A的坐标为（6，2），第4次旋转后点A的坐标为（﹣2，6），
∴旋转4次为一个循环
∴2023=4×505+3
∴第2023次旋转结束后，点A的坐标为（6，2）
故答案为：A
【分析】根据两点间距离公式可得CB=4，再根据正方形性质可得AB=CB=4，则A（2，6），再根据旋转性质求出前4次旋转后点A的坐标，可得旋转4次为一个循环，即可求出答案.
14．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16），A10（32，0），…，
∴A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）．
∵2018＝252×8+2，
∴点A2018的坐标为（21009，0）．
故答案为：B．
【分析】先分别A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、…的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解．
15．【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；探索规律-图形的递变规律；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：正方形的边长为1，，，四边形、、、都是正方形，
，，每个内角都为，
∴，
，
则，
同理可得：，
故正方形的边长是：，
则正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质四边相等，四个角都是直角得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，每个内角都为，由二直线平行，同位角相等，得∠B2C2E2=∠B3C3E3=60°，根据平角定义及直角三角形量锐角互余可求出∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，由∠D1C1E1的正弦函数可求出D1E1，由∠C2B2E2的余弦函数可求出B2C2，同理求出B3C3，通过观察发现规律正方形AnBnCnDn的边长是：，然后将n=2017代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：与直线l所夹锐角为，正方形中，，
线段，
故答案为：
【分析】根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，，则，，总结规律即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：由图象可知点在轴上，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
．
故答案为．
【分析】根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．
18．【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，
∵是等腰直角三角形，
设点的坐标为
将点代入得
∴
则
设点的坐标为，将点代入得
∴
同理可得：
……
总结规律可得：坐标为
∴
故填：．
【分析】过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，设点的坐标为，代入反比例函数解析式可得，则，设点的坐标为代入反比例函数解析式可得，同理可得：，总结规律可得坐标为，即可求出答案.
19．【答案】（1，3）
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，观察点A变化后的坐标，
观察可知，回到点A处，即完成一圈的变化，后循环变化，
此时，故此时A2024的坐标与A8一致，
∴
故答案为：（1，3）.
【分析】将滚动变化的图形表示推理完整，后找出循环周期和目标循环的余数，进而找出与目标相同的点坐标即可得出结论.
20．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
∴当时，，
∴ 当时，.
故答案为：.
【分析】通过观察当时，，从而将n=10代入计算可得答案.
21．【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】∵第1个正方形的边长AB=1，
∴利用勾股定理可得第2个正方形的边长AC=；
利用勾股定理可得第3个正方形的边长CF=；
利用勾股定理可得第4个正方形的边长GF=；
利用勾股定理可得第5个正方形的边长GN=；
∴利用勾股定理可得第n个正方形的边长=；
∴第2024个正方形的边长为，
故答案为：.
【分析】先求出前几个正方形的边长可得规律第n个正方形的边长=，再将n=2024代入计算即可.
22．【答案】F
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第50次总共走的边数为：（条），
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴每走8条边回到A点，
∴1275÷8=159......3，
∴第50次走到顶点F，
故答案为：F.
【分析】先求出第50次走的总边数为1275条，然后根据正八边形的性质可知每每走8条边回到A点，从而根据规律求出走1275条边是绕八边形159圈后再走3条边，即可求出第50次走到顶点F.
23．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1=BC，，
同理，
∴
∴，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴
∴
......
依此可得
∴ 四边形A2024B2024 2024D2024的面积为.
故答案为：.
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则，再根据三角形中位线定理可得则依次可得出规律代入即可求出答案。
24．【答案】（1）；
（2）解：当时，有：，解之得：
即：说明它是第个三角形．
（3）解：
＝+…+
＝11.25
∴的值为11.25
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理得：
，
，
，
…，
，
∴＝n．
Sn＝ 1 ＝
故答案为：n，
【分析】（1）根据勾股定理结合题意得到，，，进而即可得到，从而得到＝n，再根据三角形的面积即可得到代数式；
（2）根据题意将代入，解方程即可求解；
（3）根据题意得到＝+…+，进而相加化简即可求解。
1 / 1图形的递变、循环规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024·鹿城模拟）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的递变规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：由 表示 1011，可得黑格表示1，白格表示0.
故表示0110的图应该是：
故答案为：D.
【分析】根据题意和示意图，可知黑格表示1，白格表示0，据此即可确定表示0110的图.
2．（2024九上·镇海区期末）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：第1次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
第2次交换位置后，小鼠所在位置是：4；
第3次交换位置后，小鼠所在位置是：2；
第4次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
第5次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
，
以此可见，每次交换后小鼠所在位置的序号按：3，4，2，1循环出现，
又因为，
所以第2024次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
故答案为：A．
【分析】求出每次交换后小鼠所在的位置，得到规律解题即可．
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限，，
点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为：C
【分析】根据题意可得点A每6次绕原点循环一周，归纳总结可得点在第四象限，，再解直角三角形即可求出答案.
4．（2024九上·衡阳开学考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2023，0） B．（2024，0） C．（2024，1） D．（2023，2）
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
第1次从原点运动到点（1，1）
第2次接着运动到点（2，0）
第3次接着运动到点（3，2）
第4次接着运动到点（4，0）
第5次接着运动到点（5，1）
第6次接着运动到点（6，0）
......
∴横坐标一次加1，纵坐标4个一个循环
2023÷4=505......3
∴经过第2023次运动后，动点P的坐标为 （2023，2）
故答案为：D
【分析】求出前几次运动后点的坐标，总结规律：横坐标一次加1，纵坐标4个一个循环，即可求出答案.
5．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，
，，，，
，，，，
，
，，
故的半径为，
的弧长．
故答案为：A
【分析】根据题意求出AD，BA1，CB1，DC1，总结规律，结合弧长公式即可求出答案.
6．如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；探索规律-图形的递变规律；已知余弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线，，
∴
∴
∴
∴直线l与x轴夹角为，
∵为x轴上一点，且，，轴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
同理，…，
∴，
故答案为：C
【分析】根锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值可得，则，再根据边之间的关系可得，由含30°角的直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，则，同理，…，总结规律即可求出答案.
7．（2024·中山模拟）如图，一段抛物线y＝﹣x2+8x（0≤x≤8）记为C1，它与x轴交于点O，A1两点；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3，…，如此下去，得到一条“波浪线”．若点M（2023，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣7 D．7
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-图形的递变加循环规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解： 抛物线y＝﹣x2+8x（0≤x≤8）记为C1，当y=0时﹣x2+8x=0
解之：x1=0，x2=8，
∴点A1（8，0）；
∴OA1=8，
∵ 将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2，
∴OA1=A1A2=8，
∴OA2=2×8=16，
∴A2（16，0）；
此时0≤x≤16，
从图象上看，将0≤x≤16看着一个周期，
∴2023÷16=1267，
x=7时，
y=m=-49+8×7=7，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件将y=0代入抛物线C1的函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A1的坐标，同时求出OA1的长，利用旋转的性质可证得OA1=A1A2=8，可求出OA2的长，即可得到点A2的坐标，此时0≤x≤16，从图象上看，将0≤x≤16看着一个周期，用2023÷16，根据其余数可求出m的值.
8．顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”.如图，在中，，其中.作的平分线，交AC于点，得到黄金三角形；作交AB于点，作交AC于点，得到黄金三角形；作交AB于点，作交AC于点，得到黄金三角形依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形.若BC的长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△BCC1是黄金三角形，
∴，即CC1＝，
∵C1B1∥BC，B1C2∥BC1，BC1平分∠ABC，
∴B1C1＝B1B＝C1C＝，
∵△B1C2C1是黄金三角形，
∴C1C2＝C1C＝（）2，
……，
∴C5C6＝C4C5＝（）6＝．
故答案为：B．
【分析】根据题意计算出CC1＝，C1C2＝C1C＝（）2，再根据规律可得答案．
9．（2024九上·黄埔期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．不能确定
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意知正方形的边长为1，
由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3
由图可发现，正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周
∴点P的坐标是以4个单位为周期往上加，
∵2023÷4=505...3
∴当旋转505周时对应的坐标为：505×4-1=2019
则P2023的横坐标x2023=2019+3=2022
故答案为：B
【分析】根据题意知正方形的边长为1，由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3，则正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周，总结规律：点P的坐标是以4个单位为周期往上加，即可求出答案.
10．（2023九上·江岸期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A点的坐标为，将绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2024次后，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意可得：将点A绕原点O旋转90°得点A'
过点A作x轴的垂线，垂足为N，过点A'作y轴垂线，垂足为M
∵∠AOA'=90°
∴∠AOM+∠MOA'=90°
∵∠AOM+∠AON=90°
∴∠AON=∠MOA'
在△AON和△MOA'中
∴△AON≌△MOA'(AAS)
∴MO=NO，A'M=AN
∵点A（-7，10）
∴AN=10，NO=7
∴MO=7，A'M=10
∴点A'的坐标为（10，7）
同理可得，继续旋转，点A的坐标依次为（7，-10），（-10，-7），（-7，10）......
∴点A坐标四次一个循环
∵2024÷4=506
∴旋转2024次后，点A的坐标为（-7，10）
故答案为：C
【分析】当△ABC绕原点O旋转时，△ABC上的每个点都绕点O旋转形同的角度，将点A绕原点O旋转90°得点A'，过点A作x轴的垂线，垂足为N，过点A'作y轴垂线，垂足为M，根据角之间的关系可得∠AON=∠MOA'，再根据全等三角形判定定理可得△AON≌△MOA'(AAS)，则MO=NO，A'M=AN，即点A'的坐标为（10，7），同理可得，继续旋转，点A的坐标依次为（7，-10），（-10，-7），（-7，10）......，点A坐标四次一个循环，即可求出答案.
11．（2024九上·江岸月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，.将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：矩形中，，
，
将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，如图所示：
可知，每旋转4次则回到原位置，
，
第2024次旋转结束时，点B回到原位置，坐标为，
故答案为：A．
【分析】先求出规律：每旋转4次则回到原位置，再结合，求出第2024次旋转结束时，点B回到原位置，坐标为即可.
12．（2023九上·房县期中）已知的周长为，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵连接三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为，
∴它们相似，且相似比为，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为，
以此类推：第个三角形与原三角形的相似比为，
∴第个三角形与原三角形的相似比为，
∴第个三角形与原三角形的周长比为，
∵周长为，
∴第个三角形的周长为，
即第个三角形的周长为．
故答案为：C
【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，得出各三角形相似，且相似比为，然后根据相似比，得出：第个三角形与原三角形的相似比为，进而得出第个三角形与原三角形的相似比为，再根据相似三角形的相似比等于周长比，得出第个三角形与原三角形的周长比为，再根据周长为，即可得出第个三角形的周长．
13．（2023九上·武昌期中）如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；正方形的性质；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵，
∴CB=2﹣(﹣2)=4
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=CB=4
∴A（2，6）
∵每次旋转60°
∴第1次旋转后点A的坐标为（﹣6，﹣2），第2次旋转后点A的坐标为（2，﹣6），第3次旋转后点A的坐标为（6，2），第4次旋转后点A的坐标为（﹣2，6），
∴旋转4次为一个循环
∴2023=4×505+3
∴第2023次旋转结束后，点A的坐标为（6，2）
故答案为：A
【分析】根据两点间距离公式可得CB=4，再根据正方形性质可得AB=CB=4，则A（2，6），再根据旋转性质求出前4次旋转后点A的坐标，可得旋转4次为一个循环，即可求出答案.
14．（2024九上·南京期中）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2018的坐标是（ ）
A．（﹣2018，0） B．（21009，0）
C．（21008，﹣21008） D．（0，21009）
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16），A10（32，0），…，
∴A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）．
∵2018＝252×8+2，
∴点A2018的坐标为（21009，0）．
故答案为：B．
【分析】先分别A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、…的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解．
15．（2024九上·南山开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；探索规律-图形的递变规律；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：正方形的边长为1，，，四边形、、、都是正方形，
，，每个内角都为，
∴，
，
则，
同理可得：，
故正方形的边长是：，
则正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质四边相等，四个角都是直角得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，每个内角都为，由二直线平行，同位角相等，得∠B2C2E2=∠B3C3E3=60°，根据平角定义及直角三角形量锐角互余可求出∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，由∠D1C1E1的正弦函数可求出D1E1，由∠C2B2E2的余弦函数可求出B2C2，同理求出B3C3，通过观察发现规律正方形AnBnCnDn的边长是：，然后将n=2017代入计算可得答案.
二、填空题
16．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））如图，正方形中，与直线1所夹锐角为，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，延长交直线1于点，作正方形，依此规律，则线段
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：与直线l所夹锐角为，正方形中，，
线段，
故答案为：
【分析】根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，，则，，总结规律即可求出答案.
17．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：由图象可知点在轴上，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
．
故答案为．
【分析】根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．
18．（2024九上·洞口开学考）如图，点，点，…，点在函数的图象上，，，，…，都是等腰直角三角形，斜边，、，…，都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，
∵是等腰直角三角形，
设点的坐标为
将点代入得
∴
则
设点的坐标为，将点代入得
∴
同理可得：
……
总结规律可得：坐标为
∴
故填：．
【分析】过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，设点的坐标为，代入反比例函数解析式可得，则，设点的坐标为代入反比例函数解析式可得，同理可得：，总结规律可得坐标为，即可求出答案.
19．（2024·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
【答案】（1，3）
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，观察点A变化后的坐标，
观察可知，回到点A处，即完成一圈的变化，后循环变化，
此时，故此时A2024的坐标与A8一致，
∴
故答案为：（1，3）.
【分析】将滚动变化的图形表示推理完整，后找出循环周期和目标循环的余数，进而找出与目标相同的点坐标即可得出结论.
20．（2024·遂宁）在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时， .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
∴当时，，
∴ 当时，.
故答案为：.
【分析】通过观察当时，，从而将n=10代入计算可得答案.
21．（2024·巴东模拟）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】∵第1个正方形的边长AB=1，
∴利用勾股定理可得第2个正方形的边长AC=；
利用勾股定理可得第3个正方形的边长CF=；
利用勾股定理可得第4个正方形的边长GF=；
利用勾股定理可得第5个正方形的边长GN=；
∴利用勾股定理可得第n个正方形的边长=；
∴第2024个正方形的边长为，
故答案为：.
【分析】先求出前几个正方形的边长可得规律第n个正方形的边长=，再将n=2024代入计算即可.
22．（2024·浙江模拟）如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点
【答案】F
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第50次总共走的边数为：（条），
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴每走8条边回到A点，
∴1275÷8=159......3，
∴第50次走到顶点F，
故答案为：F.
【分析】先求出第50次走的总边数为1275条，然后根据正八边形的性质可知每每走8条边回到A点，从而根据规律求出走1275条边是绕八边形159圈后再走3条边，即可求出第50次走到顶点F.
23．（2024·内江模拟）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A2024B2024 2024D2024的面积是 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1=BC，，
同理，
∴
∴，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴
∴
......
依此可得
∴ 四边形A2024B2024 2024D2024的面积为.
故答案为：.
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则，再根据三角形中位线定理可得则依次可得出规律代入即可求出答案。
三、解答题
24．（2024九上·惠城开学考）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；
，；
（1）请用含有为正整数的等式表示上述变化规律： ， ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【答案】（1）；
（2）解：当时，有：，解之得：
即：说明它是第个三角形．
（3）解：
＝+…+
＝11.25
∴的值为11.25
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理得：
，
，
，
…，
，
∴＝n．
Sn＝ 1 ＝
故答案为：n，
【分析】（1）根据勾股定理结合题意得到，，，进而即可得到，从而得到＝n，再根据三角形的面积即可得到代数式；
（2）根据题意将代入，解方程即可求解；
（3）根据题意得到＝+…+，进而相加化简即可求解。
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