3.1.1椭圆及其标准方程 教学设计（表格式）

3.1.1椭圆及其标准方程课时教学设计
题目 3.1.1椭圆及其标准方程
一、内容和内容解析 内容 章引言、椭圆及其标准方程
内容解析 内容的本质： 在阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中，三种圆锥曲线是基于平面截圆锥给出的.用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线，它们统称为圆锥曲线.圆锥曲线在天文学、物理和光学中有广泛的应用.椭圆的定义本质上也是平面内具有一定性质的点的集合；椭圆的标准方程是从代数角度认识椭圆，建立标准方程的过程是将几何问题代数化的过程。 蕴含的数学思想和方法： 从具体的探究活动中，用数学的眼光观察动点轨迹，归纳出椭圆的几何特征,进而抽象概括出椭圆的定义，蕴含着“数学抽象思想”；类比圆的标准方程的建立，运用坐标法，结合椭圆的对称性，通过“建-设-限-代-化-验”六步，得到椭圆的方程，体现用代数方法研究几何问题的一般思路，蕴含着“数形结合思想”、“化归与转化思想”。 知识的上下位关系： 几何与代数主题学习平面解析几何，通过建立坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程；用代数方法研究它们的几何性质，体现数形结合思想.在第二章“直线和圆的方程”中，学生学习了确定直线与圆的几何特征：定点、定方向，以及定点、定长，并且在平面直角坐标系中用坐标法给出了直线与圆的方程.本节课中，我们将直线与圆的这种研究方法拓展到椭圆，确定椭圆的基本几何量，并在平面直角坐标系中推导椭圆的标准方程.本课时内容是学生继续学习椭圆几何性质的基础.椭圆是圆锥曲线中的代表性图形，它与双曲线、抛物线在概念与性质上具有基本同构特点.椭圆相关内容的学习为后续研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此，本节课具有承前启后的作用。 育人价值： 学生通过观察圆锥曲线在实际生活中应用的图片以及阿波罗尼奥斯获得圆锥曲线的动画，可以感受数学文化的魅力, 体会数学与生活的紧密联系；通过开展充分的画椭圆的探究活动，抽象概括椭圆定义的过程，有助于培养学生观察、分析、抽象、概括的数学思维能力和数学抽象的核心素养；引导学生推导椭圆标准方程感受椭圆的定义（几何）与椭圆的标准方程（代数）之间的联系，同时感悟数学的简洁美，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养以及应用数形结合的思想解决问题的能力。
二、学情分析 1.学生已有基础 从知识上讲，学生初中就对圆的几何特征有了充分的了解.从方法上，通过圆的标准方程的学习，学生对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解。 2.学生可能遇到的难点 学生可能遇到的难点有两个,一是如何提炼椭圆的几何特征，进而用精确的数学语言抽象出椭圆的定义.二是如何推导椭圆的标准方程，化简含有两个根式的方程，学生可能束手无策，不能和已有的运算经验建立联系。 3.突破难点的策略 （1）通过开展充分的画椭圆活动，引导学生做中学，联系画圆的活动经验，建构相应的几何图形，能够借助图形发现图形与数量的关系，提炼出椭圆的几何特征，抽象出椭圆的定义。 （2）一方面，引导学生结合椭圆的几何特征—对称性建立坐标系.另一方面，回顾已有运算经验—“平方法去除一个根号”，强化思维的“预测功能”.如果两边直接平方，后续的运算会怎样；如果先移项后两边平方，后续的运算又会怎样.具体分析后实施操作,采取小组合作的方式，设计方程化简的方案，在小组活动中教师对运算策略加以指导.最后，椭圆方程中b的引入，结合图形分析a、c与的线段，引导学生思考a、c与的几何意义，理解引入b 的合理性。
三、目标和目标解析 目标 （1）通过开展绘制椭圆小组探究活动，能够说出椭圆的几何特征并抽象概括出椭圆的定义,发展数学抽象素养。 （2）类比圆的标准方程研究路径，能够恰当建立直角坐标系，设计合适运算方案，推导出椭圆的标准方程，进一步感悟数形结合思想和体会坐标法的魅力与威力，发展逻辑推理、数学运算素养。
目标解析 （1）通过小组合作在纸板上绘制椭圆的探究活动认识椭圆的几何特征,能抽象概括出椭圆的定义.通过观察动画能够说出“动点到两定点距离之和必须大于两定点之间的距离”的限制条件，全面准确把握椭圆概念的内涵与外延。 （2）能够结合圆的标准方程的学习经验说出椭圆标准方程学习的研究方法和研究路径并逐步开展研究.能够从已有运算经验—“平方法去除一个根号”出发，观察方程结构特征，小组合作探究设计出化简椭圆方程的方案，关注化简过程的等价性，比较不同方案的优劣。
教学重点 椭圆的概念、椭圆的标准方程。
教学难点 椭圆标准方程的推导，计算量很大。
四、教学方法分析
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环节一 内容1：创设情境，引入新知 引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系.生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不太熟悉的曲线需要研究。 教学情境1. 解决问题1：我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？ 学习任务1．教师通过信息技术演示，引导学生认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到不同的截口曲线，并指出它们分别是椭圆、双曲线、抛物线 学习任务2．
环节二 内容2：实验探究，形成定义 教学情境2. 取一条定长的绳子，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖（动点）画出的轨迹是什么？再将细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点 （如图2），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖（动点）画出的轨迹又是什么曲线？ 解决问题2：在笔尖移动的过程中，变化的量是什么？不变的量又是什么？你能归纳出动点 具有的不变性吗？并用符号表示？ 学习任务1．是变量，动点 到两个定点 的距离之和为常数，即是常数。
小结：
环节三 内容3：代数运算，建立方程 【问题3】请你回顾圆的标准方程的推导方法与步骤，尝试建立椭圆的方程. 教学情境3. （1）建立适当的平面直角坐标系.（2）设曲线上任意一点的坐标 以及给出相应各点的坐标.（3）寻找点 的限制条件 .（4）将坐标代入条件 ，列出方程. （5）化方程为最简形式.（6）检验完备性. 解决问题3：学生自主建系，教师巡视.如果学生建系使得方程比较复杂，则提出下列追问. 追问：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 教师活动： （1）引导学生关注方程的结构特征，方程的结构特征往往蕴含着化简的方向. （2）引导学生关注上述化简都是等价的，简要说说理由. （3）引导学生回顾去除一个根式的方法—平方法，面对两个根式，在逐步化简中，通过移项再次平方，把陌生问题转化为熟悉的问题，引导学生体会二次平方去根式的方法，多次打开括号，积累运算策略. （4）④到⑤这一步目的是使方程结构更加优美 教师活动： （1）引导学生分析方程的结构特征，先后利用两次“移项再平方”的方法化简方程. （2）引导学生关注上述化简都是等价的，简要说说理由. （3）教师巡视过程中给予学生适当运算策略的指导. （4）引导学生比较不同方案的优劣. 动点运动的轨迹—曲线（椭圆）是客观存在的，在求曲线的方程时，可以建立不同的坐标系，为了使方程简洁，不失一般性，我们要注意选择建系的方法，比如利用椭圆的对称性建系. 【椭圆标准方程的推导—限制条件】 由椭圆定义可知，椭圆可看作点集： 追问：怎样化简动点 满足的三角不等式？ 方案一：（直接平方法） 若将方程①两边同时平方： ② 将方程②进行化简： 追问：接下来怎么进行？ 预设：两边平方展开. 即为： ③ 将方程③两边同时平方： 追问：接下来怎么进行？有没有简化运算的策略？ 方案二：（移项平方法） 为了化简①式，我们将其左边的一个根式移到右边，得到： ② 对方程②左右平方，得： 追问：接下来怎么进行？ 预设：平方展开，移项，化简. ③ 对方程③两边平方，得： 追问：如何整理？ 预设：移项，合并同类项，因式分解. 整理得： ④ 将方程④两边同除以 得： ⑤--------（关注 ） 追问:将方程③变形为 ，你能用精确的数学语言刻画它的几何意义吗？ 预设：动点 到定点 的距离与点 到定直线 的距离 之比为常数 .
课堂小结 结合本节课内容，回答下述问题： （1）结合椭圆所学，完成下表. （2）推导椭圆标准方程的方法和步骤？ 预设：坐标法，“建系—设点—限制条件—代入坐标—化简—检验” （3）求椭圆标准方程的方法？
六、目标检测与作业设计 目标检测作业设计 1.已知椭圆方程为，为椭圆上任意一点，为椭圆的焦点，则（ ） A. B. C. D. 2.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 3.椭圆的一个焦点坐标为（ ） B. C. D. 4.已知椭圆的焦点为，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点和，则此椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 6.是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点为定点,则的最小值是(　　) A. B. C. D. 作业设计 1.如果椭圆 上一点 与焦点 的距离等于6，那么点 与另一个 的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 14 2.设椭圆 的焦点分别为 和 ，过焦点 作直线 与椭圆交于 两点.则 的周长为（ ） A． B. C. D. 3.椭圆 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4.求下列椭圆标准方程： （1）焦点坐标为 ，且椭圆经过 ；（2）椭圆经过两点
七、板书设计 一、椭圆的概念 二、椭圆标准方程的推导 坐标法，建-设-限-代-化-验 （1）建系 （2）设点 （3）限制条件 （4）代入坐标 （5）化简 （6）检验 椭圆的标准方程： （5）化简 方案1 方案2 三、应用 例
八、反思 加强学生计算能力 引导学生结合椭圆的几何特征—对称性建立坐标系.另一方面，回顾已有运算经验—“平方法去除一个根号”，强化思维的“预测功能”。