2025年四川省德阳市中考数学试卷3（含解析）

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2025年四川省德阳市中考数学试卷3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.）
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．12 D．无法确定
3．巴中市今年3月1日至7日每天的最高气温（单位：℃）依次为：17，19，15，15，14，12，13，关于这组数据下列说法不正确的是（ ）
A．中位数是15 B．众数是15 C．平均数是15 D．方差是5
4．如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（ ）
A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东
5．可以写成（ ）．
A． B． C． D．
6．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．在下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．数轴上的点和有理数是一一对应的
B．在中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5
C．钝角大于它的补角
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
9．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．18
10．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则四边形的周长是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
11．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为，，，…，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．将因式分解为 ．
14．共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员大约7410万名．将7410万用科学记数法表示为 ．
15．重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是
16．两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是　　　　　　．
17．如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ．
18．如图，把一个周长为的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B，C，D，E都是长方形，这五个四边形的周长分别用表示，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：；
20．2024年4月24日，是第九个“中国航天日”，某校为普及航天知识，共筑航天梦想，在七年级举行了航天知识竞赛活动．为了解七年级500名学生此次航天知识竞赛成绩（百分制），随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图．
航天知识竞赛成绩分组统计表
组别 成绩 频数
9
16
15
航天知识竞赛成绩扇形统计图
请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量为___________，统计表中的值为___________；
(2)若90分及以上评为“优秀”，请你估计七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有多少人？
(3)此次航天知识竞赛中有小颖和小伟等5位同学获得满分，学校决定从这5名同学中随机选取2名同学作为航天知识宣传员，用列表法或画树状图法求小颖和小伟两人中只有1人被选中的概率。
21．如图，一次函数的图像与轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，当的面积为时，求一次函数的表达式；
(3)根据图像直接写出的自变量取值范围．
22．已知，在中，．为边上一点，为射线上一点，连接．
(1)如图1，若平分，求证；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，若，，E在A，D之间，且，求的长．
23．根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2．
怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个
调查活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动．
素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息：①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同．
交流质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究．
问题解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可）
问题拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？
24．如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是的切线；
（2）求证：
（3）若，，求弦的长.
25．如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的函数解析式：
(2)点D是直线上方抛物线上一动点（点B，C除外），连接，交于点E，设的面积为，的面积为，请探究是否存在最大值，若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，抛物线的对称轴交x轴于点H，已知点，直线与抛物线交于不同两点M，N，直线与抛物线交于点P，直线KN与抛物线交于点Q，判断直线与的位置关系，并说明理由．
参考答案
1．【考点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：A、 ，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、 ，是有理数，不符合题意；
故选B．
2．【考点】运用完全平方公式进行运算、不等式的性质
【分析】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质等考点，运用完全平方公式对原式进行适当变形是解题的关键．
利用完全平方公式将变形为，然后利用不等式的性质即可求出答案．
解：，
，
，
的最小值是，
故选：．
3．【考点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差
【分析】本题主要考查众数，平均数，中位数，方差的概念，属于基础题．
由众数，平均数，中位数，方差的概念求解可得结论．
解：整理得：12，13，14，15，15，17，19，
中位数：15；
众数：15；
平均数：，
方差：；
故选：D．
4．【考点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查方向角，角平分线，理解方向角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据角的和差关系以及方向角的定义求解即可．
解：如图，由方向角的定义可知，，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即点A在点O的北偏东，
故选:C
5．【分析】可以使用同底数幂的乘法，幂的乘方公式进行书写．
A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方公式的逆向运算，熟知这两个公式的逆用，是解题的关键．
6．【考点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法、树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为
故选：B．
7．【考点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，先根据一元一次不等式组的解法得到解集，再由数轴表示不等式组解集的方法表示出来即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组解集的方法是解决问题的关键．
解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集，如图所示：
故选：A．
8．【考点】实数与数轴、两直线平行内错角相等、用勾股定理解三角形、判断命题真假
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数与数轴、勾股定理、余角和补角、平行线的性质判断即可．
解：A、数轴上的点和实数是一一对应的，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、在中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、钝角大于它的补角，是真命题，符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
9．【考点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了圆与正多边形，连接，，由正多边形的性质得是等边三角形，求出三角形的面积，即可求解；理解正多边形的性质是解题的关键．
解：连接，，
正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
解得：，
，
正六边形的面积为
；
故选：C．
10．【考点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解
【分析】先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由已知证出为等边三角形，最后利用等量代换即可得解．
解：由作图知平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形的周长
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了作图 基本作图，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
11．【考点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键．首先根据题意得出的关系式，然后用“裂项法”将裂成，即可求出结果．
解：，
，
，
，
……
∴，
∴，
∴
．
故选A．
12．【考点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、圆内知识综合(圆的综合问题)、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可．
如图，连接、、，过点作交延长线于，于
的直径，，
，，
，，
是弦，，，
（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
，即，
，
，
，
（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
，
故结论①正确
，
，
又（同弧所对圆周角是圆心角的一半），
，
，
，于，
，
，
，
，
，
故结论③正确
，，
，
，
平分（垂直于弦的直径平分弦），
是的中垂线，
，
，
，
，
，即，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角，，
不垂直，不是的切线，
故结论②不正确
，，
，，
，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故结论④不正确
综上，①和③这2个结论正确，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形考点，熟练掌握、综合运用考点推理证明和计算是解题的关键．
13．【考点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先提公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．
解：
故答案为：．
14．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此求解即可．
解：将7410万用科学记数法表示为．
故答案为：．
15．【考点】折线统计图、求中位数
【分析】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
解：根据6天的最高气温折线统计图，
将这6天的最高气温按从小到大排列为：
25，28，28，30，31，32，
故中位数为
故答案为：29．
16．【分析】根据图形观察两个圆之间的交点个数，一个交点两圆相切，两个交点两圆相交，没有交点两圆相离．由此可判断出两圆之间的位置关系．
依题意得：两圆的位置关系有外离，内切，外切，内含，因此不存在的位置关系是相交．
故答案为：相交.
17．【考点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．
解：∵点是边的中点，，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在点运动过程中，始终有，
∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时，
∴在 中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
18．【考点】整式加减的应用
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
设最大长方形的长为x，宽为y，根据题意可得：，然后设正方形A的边长为a，长方形B的长为b，宽为c，则长方形C的长为，宽为，长方形E的长，宽为，从而可得长方形D的长为，宽为，最后进行计算即可解答．
解：设最大长方形的长为x，宽为y，
∵最大长方形的周长等于，
∴，
设正方形A的边长为a，长方形B的长为b，宽为c，
∴长方形C的长为，宽为，长方形E的长，宽为，
∴长方形D的长为，宽为，
∴
，
故答案为：48．
19．【考点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、负整数指数次幂、绝对值和二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，然后进行合并即可．
解：原式
．
20．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的某项数目、频数分布表、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）用统计表中组的频数除以扇形统计图中的百分比可得本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量；用本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量分别减去统计表中，，组的频数，可得的值．
（2）根据用样本估计总体，用500乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及小颖和小伟两人中只有1人被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量为．
．
故答案为：50；10．
（2）解：（人．
估计七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有150人．
（3）解：将另外3位同学分别记为，，，
列表如下：
小颖 小伟
，小颖） ，小伟）
，小颖） ，小伟）
，小颖） ，小伟）
小颖 （小颖， （小颖， （小颖， （小颖，小伟）
小伟 （小伟， （小伟， （小伟， （小伟，小颖）
共有20种等可能的结果，其中小颖和小伟两人中只有1人被选中的结果有：，小颖），，小伟），，小颖），，小伟），，小颖），，小伟），（小颖，，（小颖，，（小颖，，（小伟，，（小伟，，（小伟，，共12种，
小颖和小伟两人中只有1人被选中的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布表、扇形统计图、用样本估计总体、样本容量，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、样本容量的定义是解答本题的关键．
21．【考点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、根据函数图像确定不等式的解集等考点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点B作轴于H，则，由的面积为3求得，即可求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（3）确定一次函数在反比例函数图象下方部分所对的自变量取值范围即可
（1）解：∵反比例函数的图象过点．
∴，即，
∴反比例函数的表达式是．
（2）解：如图：过点B作轴于H，则，
∵，
∴，解得：．
∴，
把A、B点的坐标代入得：
，解得：，
∴一次函数的表达式是．
（3）解：∵一次函数的图象在反比例函数的图象下方所对应的x的取值范围为，
∴的自变量取值范围．
22．【考点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先根据角平分线的定义得，再运用证明，即可作答．
（2）如图所示，在上找一点F，使得，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，得到，即；
（3）作交延长线于，连接，证明，证明为含的直角三角形即可得出答案．
（1）解：∵平分，，
∴,
在和中，
，
∴，
（2）解：如图所示，在上找一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作交延长线于，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，,
∵，
∴，
∵，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，含直角三角形的性质等考点，根据题意作出辅助线证明三角形全等是解题的关键．
23．【考点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：找准关系，正确列出一元一次不等式组．
任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个，根据“①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同”，列出分式方程求解即可；
任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个，根据“购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个”，列出不等式组，再求解即可．
解：任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个，
依题意可得：，
解得
经检验是方程的解，
，
答：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个；
任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个，
由题意得，
解得，
，
利润为：，
，
利润随着的增大而增大，
当时，利润的最大值为1010元，
答：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元
24．【考点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；
（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；
（3）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长．
（1）连，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
，
∴，且过半径的外端点，
∴是的切线；
（2）在和中，，
，为公共边，
∴，
∴，又，
∴；
（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA=2，
∴AB=AD-BD=2-1=1，
设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12，
解得：a=，
∴AC＝．
【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
25．【考点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）由三角函数可求得，将、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由待定系数法得直线的解析式为，设，，求出，由，由二次函数的性质，即可求解；
（3）设，，，，联立后整理为一元二次方程，由根与系数的关系得 ，由待定系数法得直线的解析式为，同理求出，从而求出，同理求出，求出，待定系数法求出直线的解析式为中，代入、进行化简，即可求解．
（1）解：当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：存在；
过作轴交于，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
点D是直线上方抛物线上一动点（点B，C除外），
，
，
当时，
的最大值为：；
（3）解：；
理由如下：
设，，，，
，
，
，
联立，
整理得：，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
整理得：
，
，
，
同理可求：，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：
，
，
同理可求直线的解析式为，
，
．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法，三角函数，二次函数的性质，相似三角形的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，平行线的判定等；能熟练利用待定系数法，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系进行求解是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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