2025年中考数学二轮复习-专题1平面直角坐标系中三角形的面积【课件】（共27张PPT）

(共27张PPT)
专题一　平面直角坐标系中三角形的面积
类型一 三角形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行
　　
当三角形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，通常以与坐标轴
平行的边为底边，利用“S△＝ ×底×高”进行计算.若AB∥x轴，则
AB＝ ；若AB∥y轴，则AB＝ .
1. 如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P
（－1，a），则四边形PAOC的面积为 .
（1题图）
　
2. 如图，直线y＝x＋b与双曲线y＝ （x＞0）交于点A（2，3），与
y轴交于点B，BC∥x轴交双曲线y＝ （x＞0）于点C，则△ABC的
面积是 .
6　
3. 如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，对称轴与x轴交于点D，P为对称轴上一点.若S△ABC＝2S△PBD，
则点P的坐标为 .
（1，2）或（1，－2）　
4. [2024·苏州]如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（－2，
0），C（6，0），反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象与AB交于
点D（m，4），与BC交于点E.
（1）求m，k的值.
解：（1）∵A（－2，0），C（6，0），∴AC＝8，∴BC＝AC＝8，
∴点B的坐标为（6，8）.
由A（－2，0），B（6，8）易得直线AB的解析式为y＝x＋2.
将D（m，4）代入y＝x＋2，得4＝m＋2，解得m＝2，
∴D（2，4），∴k＝2×4＝8.
（2）P为反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，
E之间运动，不与D，E重合）.过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过
点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标.
解：（2）如图，延长NP交y轴于点G，交AB于点H.
∵BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°.
∵PN∥x轴，PM∥AB，∴∠GPM＝∠BHN＝∠BAC＝45°，∴PG＝MG.
易得E（6， ）.设P（t， ），且2＜t＜6，则MG＝PG＝t，
PN＝6－t，
∴S△PMN＝ PN·MG＝ ×（6－t）×t＝－ （t－3）2＋ ，
∴当t＝3时，△PMN面积有最大值，最大值为 ，此时
点P的坐标为（3， ）.
类型二 三角形的三边与坐标轴都不平行
　　
当三角形的三边与坐标轴都不平行时，常利用“补形”或“分
形”进行三角形面积的转化.
（1）补形：S△ABC＝SRt△ABD－S△ACD－S△BCD；S△ABC＝S矩形EFBD
－S△ABF－S△BCD－S△ACE.
（2）分形：竖分△ABC，S△ABC＝ AD· ；横分
△ABC，S△ABC＝ CD· .
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（4，1），则
△AOB的面积是 .
　
2. 如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，－2）两点，直线
BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC，则△ABC的面积
为 .
16　
3. 如图，二次函数图象与x轴交于A（－1，0），B（5，0），与y轴
交于点C，顶点为D，tan∠ACO＝ ，则四边形ACDB的面积
是 .
30　
4. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，过点B的直线m∥AC，E是直线AC上方抛物线上一动点，H为直
线m上一动点，连接AE，EC，CH，CB，AH，当四边形AHCE面积
最大时，求点E的坐标.
解：由y＝－x2－2x＋3易得A（－3，0），B（1，0），C（0，3）.
∵直线m∥AC，∴S△AHC＝S△ABC＝ AB·OC＝ ×4×3＝6.
∵S四边形AHCE＝S△AEC＋S△AHC＝S△AEC＋6，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AHCE的面积最大.
由A（－3，0），C（0，3）易得直线AC的解析式为y＝x＋3.
如图，过点E作EF∥y轴，交AC于点F. 设E（t，－t2－2t＋3），则
F（t，t＋3），
∴EF＝－t2－2t＋3－（t＋3）＝－t2－3t，∴S△AEC＝ EF· ＝ ×
（－t2－3t）×3，
整理可得S△AEC＝－ ＋ ，∴当t＝－ 时，△AEC的面积
最大，
当t＝－ 时，－t2－2t＋3＝－ －2×（－ ）＋3＝ ，
∴当四边形AHCE面积最大时，点E的坐标为（－ ， ）.
5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴交于点A（－1，0），B（3，
0），与y轴交于点C（0，－3），Q为线段BC上的动点.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
（2）如图①，求OQ＋AQ的最小值.
解：（2）易得直线BC的解析式为y＝x－3.
如图①，作点O关于直线BC的对称点D，连接AD交BC于点Q，则
OQ＋AQ＝DQ＋AQ，由“两点之间，线段最短”可得OQ＋AQ的最
小值为线段AD的长.
∵△OCB为等腰直角三角形，∴D（3，－3）.∵DB⊥x轴，
∴AD＝ ＝5，即OQ＋AQ的最小值为5.
（3）如图②，过点Q作PQ∥AC，交抛物线的第四象限部分于点P，
连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2.设S＝S1＋S2，
求使得S最大的点P的坐标，并求出S的最大值.
解：（3）如图②，连接PC，过点P作PN∥y轴，交BC于点N.
∵PQ∥AC，∴S1＝S△PAQ＝S△PCQ，∴S＝S△PBC.
设P（m，m2－2m－3），则N（m，m－3），∴PN＝m－3－（m2
－2m－3）＝－m2＋3m，
∴S＝S△PBC＝ PN·OB＝ ×（－m2＋3m）×3，即S＝－ m2＋ m
＝－ ＋ .
∵0＜m＜3，∴当m＝ 时，S最大＝ ，∴当点P的坐标为（ ，－
）时，S有最大值为 .
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