17.2.4 一元二次方程的解法--因式分解法 提优训练 （含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
17.2.4 一元二次方程的解法--因式分解法
基础巩固提优
1.方程x(x-1)=0的根是( ).
2. 一元二次方程x(x--2)=2-x的根是( ).
A. - 1 B. 0 C. 1和2 D. -1和2
3.关于x的方程 ax(x-b)--(b-x)=0(a≠0)的根为( ).
A. a 或b 或b
C. 或b D. a 或-b
4.一元二次方程 的根是 .
5.若把二次方程 化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是 .
6.(1)解方程:x(x--2)=x-2;
(2)解方程:
思维拓展提优
7.若关于x 的方程 8=0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC 的周长为( ).
A. 8 B. 10 C. 12 D. 8 或 10
8.已知关于x的方程 的一个解是-2,则k 的值为( ).
A. 2或4 B. 0或4
C. -2或0 D. - 2或2
9.若 则 的值为( ).
A. 2 B. - 4或4
C. -4 D. 4
10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如 和(x-2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.若关于x的方程 bx+c=0(a≠0)的参数同时满足a+b+c=0和a-b+c=0,且该方程与(x+2)(x--n)=0互为“同伴方程”，则n的值为( ).
A. 1或-1 B. - 1
C. 1 D. 2
11.(1)若 则x 的取值范围是 ;
12. 解方程:x(x-1)=2.
小江给出如下解法：
∵x(x-1)=2=1×2=(-1)×(-2),
或 或
或
解上面第一、四个方程组，无解；解第二、三个方程组,得x=2或x=-1.
∴x=2或x=-1.
请问这个解法对吗 试说明你的理由.
13.定义：如果关于 x 的一元二次方程 bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,那么我们称这个方程为“完美方程”.
(1)下面方程是“完美方程”的是 .(填序号)
(2)已知 是关于x的“完美方程”，若n 是此“完美方程”的一个根，求n的值.
延伸探究提优
14.已知x ,x 是关于x 的方程(x--2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根.
(1)求x ,x 的值.
(2)若x ，x 是某直角三角形的两直角边的长，当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大 并求出其最大值.
15.如图，把小圆形场地的半径增加5m 后得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.
1. B [解析]方程x(x-1)=0,所以x=0或x-1=0,解得. 故选B.
思路引导 利用当 ab=0时，a与b中至少有一个为0将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解.
2. D [解析]x(x-2)=2-x,x(x-2)-(2-x)=0,x(x-2)+(x--2)=0,(x-2)(x+1)=0,x-2=0或 故选 D.
3. B [解析]整理方程,得(ax+1)(x-b)=0,解得 或b.故选 B.
[解析]把方程左边因式分解，得x(x-2)=0,解得
5. x-2y+2=0,x-2y-2=0 [解析]·
∴(x-2y+2)(x-2y-2)=0.故两个一次方程分别为x-2y+2=0,x-2y-2=0.
6.(1)x(x-2)=x-2,x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(x-1)=0,则x-2=0或x-1=0,所以
(3x-4+4x-3)(3x--4-4x+3)=0,
(7x-7)(-x-1)=0,
则7x-7=0或-x--1=0,
所以
7. B [解析]由. ,得(x--2)(x-4)=0,所以
因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边长，则当2为腰时，2+2=4，此情况舍去；
当4为腰时,4+2>4,符合要求,
所以△ABC的周长为4+4+2=10.故选 B.
解后反思 本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知因式分解法及三角形三边的关系是解题的关键.
8. B [解析]把x=-2代入方程 得 整理，得 解得 即k的值为0或4.故选B.
9. D [解析]设 则原方程可化为 12=0,分解因式,得(t+6)(t-2)=0,
解得 是非负数，
故选 D.
题思路引导本题考查了换元法解一元二次方程.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.先设 则方程即可变形为 ，解方程即可求得t(即 的值.注意： 是非负数，负值要舍去.
10. A [解析]∵关于x的方程( 的参数同时满足a+b+c=0和a-b+c=0,∴关于x的方程 两个实数根为x=1或x=-1.
∵(x+2)(x--n)=0,∴x+2=0或x--n=0,
∴(x+2)(x-n)=0|的根为x=-2或x=n.
)与(x+2)(x--n)=0互为“同伴方程”,∴n=1或n=-1.故选 A.
解后反思 本题考查了解一元二次方程——因式分解法以及一元二次方程的解，理解互为“同伴方程”的定义是解题的关键.
11.(1)x≤1
(2)由x≤1，得方程可化为 则(x--2)(x+1)=0,∴x--2=0或x+1=0.
(舍去),
故方程的解为x=-1.
12.答案一：对于这个特定的已知方程，解法是对的.
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，该解法已经将两个根都求出来了，所以是对的.
答案二：解法不严密，方法不具有一般性.
理由是：为何不可以 等，得到其他的方程组 该解法只是巧合求对了方程的根.
13.(1)②③ [解析](①x +3x-4=0,3≠1+(-4),不是“完美方程”；
②2x -x--3=0,-1=2+(-3),是“完美方程”;
是“完美方程”.
是关于x的“完美方程”，∴m=3+n.
∵n是此“完美方程”的一个根，
即 解得n=0或-1.
14.(1)原方程变形为 2)p+2m,
即
解得
(2)由(1)可得，该直角三角形的面积为
∴当 且m>-2时,以:x ,x )为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为
15.设小圆形场地的半径为 xm，
则 即
或
解得 (舍去),
故小圆形场地的半径为