17.2.5 一元二次方程的解法--选用适当的方法解一元二次方程 提优训练 （含答案）

17.2.5 一元二次方程的解法--选用适当的方法解一元二次方程
基础巩固提优
1.一元二次方程x(x—5)=5-x的根是( ).
A. - 1 B. 0
C. - 1或5 D. 1或5
2.已知一元二次方程 的较小根为x ，则下面对x 的估计正确的是( ).
3.已知关于x 的方程. 的一个根为1，则m的值为 .
4.已知关于x 的方程 20=0的一个根是--4，则它的另一个根是
5.已知x+y=7且 xy=12,则当x6.解方程：
思维拓展提优
7.下列解方程变形正确的是( ).
A. 若 则x=3
B. 若 则3x-1=5x+6
C. 若 则
D. 若x(x+2)=6,则x=2或x+2=3
8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 0的两个根，则该三角形的周长是( ).
A. 9 B. 12
C. 9或12 D.不能确定
9.三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以 为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为 即x(x--2)=3.
第二步：构造一个长为x，宽为(x-2)的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图(1)所示.
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图(2)所示.
第四步：将大正方形边长用含x 的代数式表示为 .
小正方形边长为常数 ，长方形面积之和为常数 .
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ，
两边开方可求得 (舍去).
(1)单选题：这一过程体现的数学思想是 ;
A.统计思想 B.化归思想
C.分类讨论思想 D.数形结合思想
(2)第四步中横线上应依次填入 ， , , ;
(3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程
10.根据要求，解答下列问题.
(1)解下列方程：(直接写出方程的解即可)
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 ；
②关于 x 的方程 的解为
(3)请用配方法解方程 以验证猜想结论的正确性.
延伸探究提优
11.定义：若代数式 是常数)与 是常数)，满足a + 则称这两个代数式互为“牛郎织女式”.
(1)写出 的“牛郎织女式”；
(2)若 与 互为“牛郎织女式”,求(mn)2025的值；
(3)无论x取何值时，代数式 的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a 的取值范围.
12.[思路回顾]我们知道a(x+y)= ax+ay①,所以当计算(m+n)(x+y)时,可以令m+n=a,使问题转化回到①后再完成计算，即(m+n)(x+y)=a(x+y)= ax+ ay=(m+n)x+(m+n)y= mx+ nx+ my+ ny.
[拓展尝试]在以上解决问题的过程中，我们用到了换元的方法.同样的，我们知道当 时，m的值为3或-3，请你试着解下面的方程：
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第5课时 选用适当的方法解一元二次方程
1. C [解析]∵x(x-5)=5-x,x(x-5)+(x-5)=0,(x-5)(x+1)=0,∴x-5=0或x+1=0,解得 故选 C.
归纳总结本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解.
2. B [解析]根据公式法可得方程解为 则较小的根为 因为 ,故-2< 故选 B.
3.1或 [解析]将x=1代入方程,得1+m- 整理,得(2m+1)(m--1)=0,解得m=1或
4.5 [解析]∵-4是关于x的方程. 0的一个根,则将x=-4代入,得16-4m--20=0,解得m=-1，∴原方程可化为 因式分解,得(x+4)(x-5)=0,则 故方程的另一个根为5.
5. [解析]∵xy=12>0且x+y=7,∴x>0,
易错警示 本题需要先将待求代数式进行平方，然后利用完全平方式将分式转化为含“x+y”和“xy”的分式，计算出具体数值，最后开方即可解答.需要注意的是不要忽略题意给出的x6.(1)x -2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0,所以
所以
7. C [解析]A.若. ,则x(x-3)=0,则x=0或x=3,故A选项错误;B.若( 则3x-1=±(5x+6),故B选项错误;C.若. 1=0,则( ,故C选项正确;D.若x(x+2)=6,则 则 故D选项错误.故选 C.
关键提醒 在解方程时，注意当等号左右含有相同未知数的因式时，不能直接除以该因式，而是要考虑到这个相同因式等于零也是方程的一个解.
8. B [解析]方程 因式分解，得(x-2)(x-5)=0,解得x=2或x=5,当底为5,腰为2时，由于2+2<5，不符合三角形三边关系；当底为2，腰为5时，可构成三角形，此时周长为2+5+5=12.故选 B.
9.(1)D
(2)2x-2 2 12 (2x-2) =16
(3)第一步：将原方程变形为 即x(x-1)=3.
第二步：构造成一个长为x，宽为(x--1)的长方形，长比宽大1，且面积为3.
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示：
第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为[x+(x--1)],
小正方形边长为常数[x+(x-1)]-2(x-1)=1,
长方形面积之和为常数4×3=12，由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程( 4×3=13,
两边开方可求得
■解后反思 本题考查因式分解法及直接开平方法解一元二次方程，理解题干中解方程的步骤及方法是解题的关键.
(2)①x =1,x =8 ②x -(1+n)x+n=0
移项，得
配方，得
即
故猜想正确.
11.(1)设 的“牛郎织女式”为 由题意知,a=1,b=-2,c=3,
的“牛郎织女式”为
(2)由题意，得 解得
的“牛郎织女式”为 由题意知， 对于任何的x都成立，
即 对于任何的x都成立.
的最大值为1,∴a>1.
12.(1)当 时,m的值为3或-3.
∴令x+1=m,则x+1=3或x+1=-3,解得x=2或x=-4.
∴令x+1=m,则x+1=2或x+1=-2,解得x=1或x=-3.
17.3 一