17.3 一元二次方程根的判别式 提优训练 （含答案）

17.3 一元二次方程根的判别式
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基础巩固提优
1. 一元二次方程 的根的情况是( ).
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
2.若关于x 的一元二次方程x(x+1)+ ax=0有两个相等的实数根,则实数a 的值为( ).
A. - 1 B. 1
C.-2或2 D. -3或1
3.若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则k 的取值范围是( ).
且k≠0 且k≠0
且k≠0
4.若一元二次方程 无实数根，则实数c 的取值范围为 .
5.已知关于x的方程
(1)试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程有一个根为3，试求 2025 的值.
思维拓展提优
6.对于实数a，b定义运算“ ”为( 例如： ，则关于x 的方程(k-3) x=k-2的根的情况,下列说法正确的为( ).
A.有两个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
7.关于x 的一元二次方程 有实数根，则m的最大整数值是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( ).
9.对于一元二次方程 有下列说法：
①若a--b+c=0,则方程 (a≠0)必有一个根为1;
②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根；
③若c 是方程 的一个根，则一定有ac+b+1=0成立;
④若x 是一元二次方程 (a≠0)的根,则
其中正确的是( ).
A. 只有① B. 只有②④
C. 只有①②③ D. 只有①②④
10.如果关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a 的值是 .
11.关于x的一元二次方程( 0有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围；
(2)求当 k 取何正整数时，方程的两根均为整数.
12. 已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为x ,x ,.且k与x x 都为整数，求k所有可能的值.
延伸探究提优
13.已知关于 x 的方程 (k+2)x+2k-1=0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的一个根为x=3，求k 的值及方程的另一根.
14.我们规定:对于任意实数a,b,c,d,有[a,b]*[c,d]=ac-bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5--2×1=13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x--1]*[mx+1,m]=0有两个实数根，求m 的取值范围.
15.规定:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c= ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5.若关于x 的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为( ).
且m≠0 且m≠0
1. B [解析]∵ ∴方程有两个不相等的实数根.故选 B.
●归纳总结 一元二次方程 的根与 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.
2. A [解析] ∵该方程有两个相等的实数根，. 0=0,解得a=-1.故选 A.
3. C [解析]根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式 4k≥0,且k≠0,解得 且k≠0.故选C.
4. c>1 [解析]利用根的判别式的意义得到△= 解得c>1.
4>0,
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有一个根为3，
即 2025=2(k +6k)+2025=-16+2025=2009.
6. A [解析] 可化为
∴原方程有两个实数根.故选 A.
7. D [解析]∵关于x的一元二次方程( 2x+2=0有实根,
且m-5≠0,解得m≤5.5且m≠5,∴m的最大整数解为4.故选 D.
8. B [解析]∵关于x的一元二次方程 1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4-4(kb+1)>0,∴kb<0.
当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、二、四象限.故选B.
9. B [解析]若a-b+c=0,则方程 0(a≠0)必有一个根为-1,故①错误;
若方程 有两个不相等的实数根，则∴方程 必有两个不相等的实数根，故②正确；
若c是方程 的一个根，则
如果c≠0,那么 ac+b+1=0,故③错误;
若x 是一元二次方程 的根，则
∵a≠0,∴等式两边同乘4a,得
，故④正确，
∴正确的有②④.故选 B.
10.1 [解析]由题意,得a≠0且.△=1 -4a×(-2)>0,解得 且a≠0.
因为a为小于2的整数，则a=1.
11.(1)∵方程有两个不相等的实数根，
且k-3≠0.
解得 且k≠3.
(2)由(1)知,k的正整数值可取1,2,4.
当k=1时，原方程为
解得 (不符合题意，舍去)；
当k=2时，原方程为
解得 (不符合题
意，舍去)；当k=4时，原方程为
解得x =1,x =2(符合题意),∴k=4.
方法总结 本题根据一元二次方程的根的情况，构建一元一次不等式，再根据k的正整数值分别求出方程的解，从而确定方程的两根均为整数的k的正整数值.
∴无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
即(x-k)[x-(k+1)]=0,解得x=k或x=k+1.
∴一元二次方程 的两根为k,k+1.
或
∵k为整数，若 为整数，则k为1的因数，∴k=±1.
若 为整数，则k+1为1的因数，
∴k+1=±1,则k为0或-2.
∴整数k所有可能的值为±1，0或-2.
13.(1)由于x --(k+2)x+2k--1=0是一元二次方程，
无论k取何实数，总有 所以方程总有两个不相等的实数根.
(2)把x=3代入方程 得
整理,得2-k=0,解得k=2,
此时方程可化为
解此方程，得
所以方程的另一根为x=1.
14.(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意,得x(mx+1)-m(2x-1)=0,整理，得
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根，
且m≠0,解得 且m≠0.
■思路引导 (1)用新定义运算法则列式计算；(2)先根据新定义得到x(mx+1)-m(2x-1)=0,再把方程化为一般式，接着根据题意得到 4m·m≥0且m≠0,解不等式即可.
15. D [解析]根据题意,得x(mx)+x+1=0,整理,得
∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根， 且m≠0,解得 且m≠0.故选D.
■归纳总结 本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式以及解一元一次不等式，根据题意得到关于x的一元二次方程和关于m的不等式是解题的关键.