17.1 一元二次方程 提优训练 （含答案）
文档属性
| 名称 | 17.1 一元二次方程 提优训练 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 65.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-15 12:58:05 | ||
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文档简介
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17.1 一元二次方程
基础巩固提优
1.下列方程中是一元二次方程的是( ).
2.方程 化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ).
A. 2,8,2 B. — 2,—8,—2
C. 2,-8,-2 D. 2,-8,2
3.已知x=1是关于x的一元二次方程. 2a=0的一个解,则a 的值为( ).
A. 0 B. - 1 C. 1 D. 2
4. 已知方程 的一个根是-1，则m的值是 .
5.方程( 是关于x的一元二次方程，则m= .
6.(1)当k取何值时，关于x的方程 (k-1)x+1=0是一元二次方程
(2)当k取何值时，关于x的方程( (k-1)x+1=0是一元一次方程
思维拓展提优
7.若关于x 的一元二次方程 的一个根是x=0，则a的值为( ).
A. 2 B. - 2
C. 2或-2 D.
8.下列方程是一元二次方程的是( ).
(a,b,c 均为常数)
C. x(3x+2)=5
9.手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成(这三部分都是长方形形状)，分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米.引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为 x 厘米，画心的面积为15200厘米 ，根据题意，可列方程是( ).
A. (1000-4x)(40-2x)=15200
B. (1000-2×100-2x)(40-4x)=15200
C. (1000-2×100-2x)(40-2x)=15200
D. (1000-2×100-4x)(40-2x)=15200
10.若 x=3 是关于 x 的方程 的解,则2023-6a+2b的值为 .
11.已知 m 为方程. 0的一个根，则代数式 的值为 .
12.若关于x的方程 5=0是一元二次方程，试求m 的值，并计算这个方程的各项系数之和.
13.先化简，再求值： 其中x 是方程 的根.
14.若x=a 是一元二次方程 的一个根，求 的值.
15.如图,现有一张长 19 cm、宽15 cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为 81 cm 的无盖长方体纸盒 请根据题意列出方程.
延伸探究提优
16.已知关于x 的一元二次方程 0,如果a,b,c满足3a+2b+c=0,我们就称这个一元二次方程为波浪方程.
(1)判断方程 是否为波浪方程，并说明理由.
(2)已知关于x 的波浪方程 的一个根是-1，求这个波浪方程.
17.已知m 是方程 的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 .
18.若m 是方程 的根，则
17.1 一元二次方程
1. D [解析] 是分式方程，故选项 A不符合题意； 为二元二次方程，故选项B不符合题意； 是一元三次方程，故选项C不符合题意； 是一元二次方程，故选项D符合题意.故选 D.
知识拓展 本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足的4个条件：①等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项的系数不等于0.
2. C [解析]方程整理，得
则二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-8，—2.故选C.
易错警示 本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时带着前面的符号.
3. B [解析]∵x=1是方程的解,
∴1+1+2a=0,∴a=-1.故选B.
4.-5 [解析]把x=-1代入原方程,得2+m+3=0,解得m=-5.
■归纳总结 本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
5.-2 [解析]∵方程 0是关于x的一元二次方程， 且m-2≠0,解得m=-2.
6.(1)当 k≠±1时,方程是一元二次方程.
(2)当k=-1时，方程是一元一次方程.
7. A [解析]∵关于x的一元二次方程 的一个根是 且a+2≠0,解得a=2.故选 A.
8. C [解析 中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；] 是一元二次方程，故不符合题意；C.将x(3x+2)=5整理，得 是一元二次方程，故符合题意;D. 将( 整理,得4x+4=0不是一元二次方程，故不符合题意.故选C.
9. D [解析]若隔水的宽度为x cm，则画心的长为(1000-2×100-4x) cm,宽为(40-2x) cm,根据画心的面积为 15 200 cm ,即可列方程(1 000-2×100-4x)(40-2x)=15 200.故选 D.
■归纳总结 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键.
10.2019 [解析]把x=3代入方程,得9a-3b=6,即3a--b=2,则原式=2023-2(3a-b)=2023-4=2019.
11.9 [解析]∵m 为方程 的一个根，
3m+6=9.
思路引导 本题考查了一元二次方程的解，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法进行恒等变形是解决本题的关键.
12.依题意，得 且m+3≠0,解得m=3.原方程可化为
∴二次项系数为6，一次项系数为-2，常数项为5，
∴各项系数之和为6+(-2)+5=9.
13.原式
∵x是方程. 的根，
即 ∴原式
思路引导先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式 然后根据一元二次方程解的定义得到 最后利用整体代入的方法计算即可.
14.∵x=a是一元二次方程 的一个根， 即 两边平方，得 则
15.设需要剪去的小正方形边长为 xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19-2x) cm,宽为(15-2x) cm.
根据题意,得(19-2x)(15-2x)=81.
整理，得
方法诠释 解决实际问题最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程.在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围.
16.(1)是波浪方程.理由如下：
∵a=2,b=-1,c=-4,
∴3a+2b+c=6+(-2)+(-4)=0.
故此方程为波浪方程.
(2)将x=-1代入原方程得,a+2+c=0.①
∵此方程为波浪方程,∴3a+(-4)+c=0,②
由①②,得
∴这个波浪方程为
解后反思 本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键.
17.—4 [解析]把x=m代入方程,得 0,∴m +4m=1,∴(m+5)(m-1)=m -m+
18.6 [解析]∵m是方程. 的根，
即
2=6.
17.1 一元二次方程
基础巩固提优
1.下列方程中是一元二次方程的是( ).
2.方程 化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ).
A. 2,8,2 B. — 2,—8,—2
C. 2,-8,-2 D. 2,-8,2
3.已知x=1是关于x的一元二次方程. 2a=0的一个解,则a 的值为( ).
A. 0 B. - 1 C. 1 D. 2
4. 已知方程 的一个根是-1，则m的值是 .
5.方程( 是关于x的一元二次方程，则m= .
6.(1)当k取何值时，关于x的方程 (k-1)x+1=0是一元二次方程
(2)当k取何值时，关于x的方程( (k-1)x+1=0是一元一次方程
思维拓展提优
7.若关于x 的一元二次方程 的一个根是x=0，则a的值为( ).
A. 2 B. - 2
C. 2或-2 D.
8.下列方程是一元二次方程的是( ).
(a,b,c 均为常数)
C. x(3x+2)=5
9.手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成(这三部分都是长方形形状)，分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米.引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为 x 厘米，画心的面积为15200厘米 ，根据题意，可列方程是( ).
A. (1000-4x)(40-2x)=15200
B. (1000-2×100-2x)(40-4x)=15200
C. (1000-2×100-2x)(40-2x)=15200
D. (1000-2×100-4x)(40-2x)=15200
10.若 x=3 是关于 x 的方程 的解,则2023-6a+2b的值为 .
11.已知 m 为方程. 0的一个根，则代数式 的值为 .
12.若关于x的方程 5=0是一元二次方程，试求m 的值，并计算这个方程的各项系数之和.
13.先化简，再求值： 其中x 是方程 的根.
14.若x=a 是一元二次方程 的一个根，求 的值.
15.如图,现有一张长 19 cm、宽15 cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为 81 cm 的无盖长方体纸盒 请根据题意列出方程.
延伸探究提优
16.已知关于x 的一元二次方程 0,如果a,b,c满足3a+2b+c=0,我们就称这个一元二次方程为波浪方程.
(1)判断方程 是否为波浪方程，并说明理由.
(2)已知关于x 的波浪方程 的一个根是-1，求这个波浪方程.
17.已知m 是方程 的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 .
18.若m 是方程 的根，则
17.1 一元二次方程
1. D [解析] 是分式方程，故选项 A不符合题意； 为二元二次方程，故选项B不符合题意； 是一元三次方程，故选项C不符合题意； 是一元二次方程，故选项D符合题意.故选 D.
知识拓展 本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足的4个条件：①等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项的系数不等于0.
2. C [解析]方程整理，得
则二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-8，—2.故选C.
易错警示 本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时带着前面的符号.
3. B [解析]∵x=1是方程的解,
∴1+1+2a=0,∴a=-1.故选B.
4.-5 [解析]把x=-1代入原方程,得2+m+3=0,解得m=-5.
■归纳总结 本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
5.-2 [解析]∵方程 0是关于x的一元二次方程， 且m-2≠0,解得m=-2.
6.(1)当 k≠±1时,方程是一元二次方程.
(2)当k=-1时，方程是一元一次方程.
7. A [解析]∵关于x的一元二次方程 的一个根是 且a+2≠0,解得a=2.故选 A.
8. C [解析 中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；] 是一元二次方程，故不符合题意；C.将x(3x+2)=5整理，得 是一元二次方程，故符合题意;D. 将( 整理,得4x+4=0不是一元二次方程，故不符合题意.故选C.
9. D [解析]若隔水的宽度为x cm，则画心的长为(1000-2×100-4x) cm,宽为(40-2x) cm,根据画心的面积为 15 200 cm ,即可列方程(1 000-2×100-4x)(40-2x)=15 200.故选 D.
■归纳总结 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键.
10.2019 [解析]把x=3代入方程,得9a-3b=6,即3a--b=2,则原式=2023-2(3a-b)=2023-4=2019.
11.9 [解析]∵m 为方程 的一个根，
3m+6=9.
思路引导 本题考查了一元二次方程的解，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法进行恒等变形是解决本题的关键.
12.依题意，得 且m+3≠0,解得m=3.原方程可化为
∴二次项系数为6，一次项系数为-2，常数项为5，
∴各项系数之和为6+(-2)+5=9.
13.原式
∵x是方程. 的根，
即 ∴原式
思路引导先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式 然后根据一元二次方程解的定义得到 最后利用整体代入的方法计算即可.
14.∵x=a是一元二次方程 的一个根， 即 两边平方，得 则
15.设需要剪去的小正方形边长为 xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19-2x) cm,宽为(15-2x) cm.
根据题意,得(19-2x)(15-2x)=81.
整理，得
方法诠释 解决实际问题最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程.在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围.
16.(1)是波浪方程.理由如下：
∵a=2,b=-1,c=-4,
∴3a+2b+c=6+(-2)+(-4)=0.
故此方程为波浪方程.
(2)将x=-1代入原方程得,a+2+c=0.①
∵此方程为波浪方程,∴3a+(-4)+c=0,②
由①②,得
∴这个波浪方程为
解后反思 本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键.
17.—4 [解析]把x=m代入方程,得 0,∴m +4m=1,∴(m+5)(m-1)=m -m+
18.6 [解析]∵m是方程. 的根，
即
2=6.