第17 章一元二次方程提优测评卷 （含答案）

第17 章一元二次方程提优测评卷
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.(2024·江苏苏州吴中区期中)x=1是关于x的一元二次方程 的解,则2a+4b的值是( ).
A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2
2.(2024·浙江杭州萧山区期中)关于x的一元二次方程( 化为一般形式后不含一次项，则m的值为( ).
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
3.(2024·秦皇岛北戴河区一模)已知a，c互为倒数，则关于x的方程( 根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.有一根为1
4.(2024·眉山中考)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，若该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为( ).
A. 670×(1+2x)=780
D. 670×(1+x)=780
5.(2024·山东淄博淄川区期末)已知关于x的方程 的两个实数根分别为2和-1，则二次三项式 可以因式分解为( ).
A. (x-2)(x+1) B. (x-2)(x-1)
C. (x+2)(x+1) D. (x+2)(x-1)
6.(2023·菏泽中考)一元二次方程 的两根为x ,x ,则 的值为( ).
A. B. - 3 C. 3
7.已知x=0是关于x的一元二次方程( 的一个根，则直线 经过的象限是( ).
A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
8.已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程. 0的两根，则m 的值是().
A. 34 B. 30 C. 30或34 D. 30或36
9.已知a是任意实数，若 则M，N的大小关系是( ).
A. M>N B. MC. M≥N D. M，N的大小由a 的取值范围所决定
10.(2023·安徽合肥瑶海区期末)若关于x 的一元二次方程 的两个根为 m,x =n,且a+b=1.下列说法正确的个数为( ).
①mn>0;②m>0,n>0;③a ≥a;(④关于x的一元二次方程( 的两个根为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11. (2024·宿迁宿豫区二模)方程 的解是 .
12.中考新考法 新定义问题 (2024·江苏扬州江都三中月考)新定义运算：( 例如 则方程x※2=5的根是 .
13.跨学科自由落体(2023·安徽合肥包河区期中)根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度h(单位：m)约为 根据上述规律，则物体经过 秒落回地面.
14.(2023·安徽合肥瑶海区期中)关于x 的方程。 的解是 a,k均为常数,a≠0).问题:
(1)关于x的方程 的根为 ；
(2)关于x的方程( 的根为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15.(2024·浙江金华义乌期末)解方程：
16.(2023·北京石景山区二模)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17. A，B两地相距18千米，甲工程队要在A，B两地间铺设一条输天然气管道，乙工程队要在A，B两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务.甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道
18.中考新考法 满足结论的条件开放 (2023·杭州中考)设一元二次方程 在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.(如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分)
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19.(2024·南充模拟)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)已知 两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长( 若 的周长为偶数，求m的值.
20. 新情境电商平台直播带货(2024·南阳二模)近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情.已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y(本)与销售单价x(元/本)之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x/(元/本) 15 25 …
y/本 700 500 …
(1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
(2)若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价.
(3)销售该书每天的利润能否达到9000元 请说明理由.
六、(本题满分12分)
21. (2024·浙江杭州月考)(1)已知a,b 是一元二次方程. 的两个根，求 的值.
(2)若k是整数，且关于x的一元二次方程 只有整数根，求k 的值.
(3)已知 是关于x，y的方程组 两个不相等的实数解.
问：是否存在实数k，使得 若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由.
七、(本题满分12分)
22.(2023·安徽六安霍邱期末)随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽某电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆.
(1)求前三季度销售量的平均增长率.
(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线的最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度.
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该拥有几条生产线
②是否能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线 若不能，请说明理由.
八、(本题满分14分)
23.中考新考法 新定义问题(2023·安徽安庆怀宁期中)材料阅读：若一个整数能表示成 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.
例如：因为 所以13是“完美数”；再如：因为 是整数)，所以 是“完美数”.
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
(2)试判断 是整数)是否为“完美数”，并说明理由；
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(3)已知 是整数，k为常数)，要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由.
第17章提优测评卷
1. C [解析]将x=1代入一元二次方程 2b=0得到1+a+2b=0,即a+2b=-1,则2a+4b=2(a+2b)=-2.故选C.
2. D [解析]·.
由题意，得 ,解得m=-3.
故选 D.
■归纳总结 本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键.
3. C [解析]根据根的判别式得到Δ=1-4ac.∵a,c互为倒数,∴ac=1,∴1-4ac<0,∴原方程无实数根.故选 C.
归纳总结 本题考查了一元二次方程 c=0(a≠0)的根的判别式 当△>0时,方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
4. B [解析]利用2021年的产量×(1+年平均增长率 年的产量，即可得出关于x的一元二次方程 故选B.
5. A [解析]∵关于x的方程 的两个根为
∴原方程为((x-2)(x+1)=0.
∴二次三项式 可分解为(x-2)(x+1).故选 A.
6. C [解析]∵一元二次方程 的两根为
故选 C.
7. C [解析]∵关于x的一元二次方程( 有一个根是0，
,解得m=±1.
根据题意,得m--1≠0,∴m≠1,∴m=-1,
∴直线y=mx经过的象限是第二、四象限.故选C.
思路引导 把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值.从而确定直线y=mx 所经过的象限.
8. A [解析]当a=4时,0∴4+b=12,∴b=8(不合题意,舍去);
当b=4时,0∴4+a=12,∴a=8(不合题意,舍去);
当a=b时,
∵a，b是关于x的一元二次方程 0的两根,∴12=2a=2b,∴a=b=6,
∴m+2=36,∴m=34.故选A.
9. C [解析]∵ 故选C.
知识拓展 作差法比较甲、乙两个代数式的大小，用甲式减乙式，首先展开两个代数式，然后合并同类项，再配方成完全平方式加减某个常数的形式，最后根据差的正负性来判断：差大于零，则甲大于乙；差等于零，则甲等于乙；差小于零，则甲小于乙.
10. C [解析]根据根与系数的关系，得
∵a+b=1,∴b=1-a.
∴①正确；
∴m>0,n>0,∴②正确;
即
∴③错误;
∴方程 化为 即(
∵方程( 可变形为[(x+2)- 或x+2=n.
解得 ∴④正确.故选 C.
12.-1和3 [解析]因为a※ 所以由x※2=5,得 则 所以((x+1)(x-3)=0,解得
解后反思 根据题中的新定义，得出关于x的一元二次方程，正确解一元二次方程是解题的关键.
13. [解析]∵ 落回地面时h=0， 解得x=0或
因为时间为零时未扔出，所以舍去.故
14.(1)-4或-1 [解析]令x+2=m,则原式可化为
的解为
,则x+2=-2或1,
∴x=-4或-1.
(2)0或-3 [解析].
∵方程 的解是
或
∴x+2=-1或2,∴x=0或--3.
则x=0或2x--1=0，所以
归纳总结 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解答此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等.
∴该方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的一个根为t，则另一个根为2t.
根据根与系数的关系，得
整理，得 解得
∵m>1,∴m的值为3.
17.设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道(x+1)千米.
根据题意，得
解得
经检验 都是原方程的根.
但 不符合实际情况，舍去.
所以x=2,x+1=3.
故甲工程队每周铺设管道2千米，乙工程队每周铺设管道3千米.
18.∵使这个方程有两个不相等的实数根，
即
∴②③均可,
选②解方程，则这个方程为
1
∴无论m为何实数， 即△≥0,
∴方程总有实数根.
(2)由题意,得a+b=m-3, ab=2m-10,
设a>b,则
由题意,得a-b<3,则|m-7|<3,且m--3>3,解得6∵△ABC的周长为a+b+c=m-3+3=m,周长为偶数,∴m=8.
20.(1)设y= kx+b,将(15,700),(25,500)代入,得 解得 ∴y=-20x+1000(10≤x≤30).
(2)依题意,得(x-10)(-20x+1000)=6000,解得x =20,x =40.∵10≤x≤30,∴x=20.故该书的销售单价为20元.
(3)销售该书每天的利润不能达到9 000 元.理由如下：
根据题意,得(x-10)(-20x+1000)=9000,整理，得
，∴该方程没有实数根，∴销售该书每天的利润不能达到9000元.
21.(1)∵a,b为一元二次方程. 的两个根,∴a+b=-15, ab=5,
(2)将关于x 的一元二次方程 k--1=0整理,得
∴k(x -2x+1)+(x-1)=0,∴k(x-1) +(x-1)=0,即(x-1)(kx-k+1)=0,
∴x--1=0或 kx--k+1=0.
由x-1=0,解得x=1为整数,符合题意,
由 kx-k+1=0,解得
∵k是整数,∴当k=1或-1时, 为整数，
∴当k=1时,x=0;当k=-1时,x=2,
∴关于x的一元二次方程 1=0只有整数根时，k 的值为1或-1.
(3)存在，k的值为-2.理由如下：
和 是关于 x，y的方程组 两个不相等的实数解，
∴将 和 代入②，得
由②,得y=x-1,③,
将③代入①，得
整理，得
依题意可知,x ,x 为一元二次方程④的两个不相等的实数根，
根的判别式 4(k+1)>0,解得
∴当 时，则
将 代入上式，得k+1-
整理，得 解得
不合题意，舍去，∴k的值为-2.
归纳总结 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键.
22.(1)设该电动汽车销售量的平均增长率为x，依题意，得
解得 (不合题意，舍去).故该电动汽车销售量的平均增长率为20%.
(2)①设应该再增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为(6000-200m)辆/季度,
依题意,得(1+m)(6000-200m)=26000,
整理，得 解得
∵要节省投入成本，∴m=4.
故应该再增加4条生产线，即应拥有5条生产线.
②不能.理由如下：
设应该再增加n条生产线，则每条生产线的最大产能为(6000-200n)辆/季度,
依题意,得(1+n)(6000-200n)=60000,整理，得
∵ ),
∴该方程没有实数根，即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆.
23.(1)2(答案不唯一) [解析]∵ ∴2是“完美数”.
(2)是“完美数”.理由如下：
是“完美数”.
∵M为“完美数”,∴k-18=0,∴k=18.