巧用一元二次方程根的性质解题专题提优特训3提优训练 （含答案）

巧用一元二次方程根的性质解题专题提优特训3
中小学教育资源及组卷应用平台
题型1 确定方程中的参数
1.设x ,x 是方程 0的两个根，且 则 m 的值为 .
2.已知 是关于x的一元二次方程 4x-5=0 的一个根,若 求m 的值.
题型2 求代数式的值
3.若m,n 是方程 2024=0的两个实数根，则 的值为( ).
A. 2023B. - 2022 C. 2024 D. 2022
4.已知:α,β是方程 2x--4=0有两个实数根.求出下列代数式的值.
(1)α+β(α+1);
题型3 求公共根的问题
5.已知方程 与方程 有且只有一个公共根.
求证：这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程 的根.
题型4 证明等式
6.已知x ,x 是方程 的两根，记 x ,求证:(
配方法的应用
题型1 用于解一元二次方程
1.用配方法解方程 4x-1=0,方程应变形为( ).
2.用配方法解方程：
题型2 用于因式分解
3.阅读下面内容，再解决问题.
在把多项式 进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：
2n)，像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题.
(1)把多项式因式分解：
(2)已知a,b,c 为△ABC 的三条边长,且满足 试判断△ABC的形状.
题型3 用于求代数式的值
4.设a,b为整数,且 求 的值.
5.设 求 的值.
6.已知 求代数式 的值.
题型4 用于求一元二次方程中的待定系数
7.若方程 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( ).
A. - 9或 11 B. - 7或8
C. - 8或9 D. - 6或7
8.已知方程 的两根的差的平方是16,求m的值.
题型5 用于判断三角形的形状
9.阅读材料：若 求m,n的值.
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若 ,则a= ,b= ;
(2)已知△ABC的三边长a,b,c 都是正整数,且满足 求△ABC的周长；
(3)已知a,b,c 分别是△ABC 三边的长且 请判断△ABC的形状，并说明理由.
题型6 用于求代数式的最值
10.证明：无论 x 为何值，代数式 的值恒大于0.
11.如图，现有一条长为27 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)，围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设垂直于墙的边AB长为 xm,花圃的面积为S m .
(1)用含x的代数式表示S.
(2)若围成面积为54 m 的花圃,求AB 的长.
(3)能围成面积为 63 m 的花圃吗 如果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由.
题型7 用于比较两个代数式值的大小
12.阅读下列材料：
这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：
4x+5≥1.
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空:x --6x+12=(x- ) + ;
(2)已知a,b,c 是△ABC 的三边长,满足 ,且 c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范围；
(3)比较代数式 与2xy+4y-8的大小.
题型8 用于解特殊的方程
13.解方程:
14.求方程 的正整数解.
15.探索方程 的解法，并解方程.
题型9 用于判断方程根的情况
16.已知△ABC 的三边长为a,b,c,且满足方程 试判断此方程根的情况.
题型10 用于数值的正负性的判断
17.已知 证明：无论x，y取什么实数，M的值一定是正数.
1.2 [解析]由根与系数的关系，得 n
2.将x=n代入方程，得 即 4n=5,所以 ,即m=1.
3. D [解析]∵m,n是方程. 的两个实数根,∴m +2m--2024=0,m+n=-2,
n=2024-2=2022.故选 D.
单关键提醒 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将所求的代数式变形，灵活运用根的定义以及根与系数的关系是解题的关键.
4.∵α,β是方程 有两个实数根，
β)=4+2×(-2)=4-4=0.
■解后反思 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是把求值的代数式转化成含α+β与α·β的式子.
5.设方程 的两根为α，β，
方程 的两根为α，γ，其中α为两方程的公共根，
则
①--②,得(
∵两个方程只有一个公共根， 解得α=a .由一元二次方程根与系数的关系，得
所以
∴β,γ是方程 的两根.
6.∵x ,x 是方程 的两根，
专题提优特训4 配方法的应用
1. D [解析]·. .故选 D.
■ 方法诠释 本题考查了解一元二次方程的配方法，能正确配方是解此题的关键.先移项，再根据完全平方公式进行配方，变形后得出选项即可.
3. -
配方，得 12c+12=0,即( 解得a=1,b=2,c=2,所以△ABC是等腰三角形.
思路引导 (1)先由 ab 前系数确定需要的b 前的系数，加4b 同时减44b ,构成 然后利用平方差公式进行因式分解即可解答；(2)通过添加单项式和拆分常数项，将原等式构成三个平方和等于零的等式，进而得到a，b，c的值，即可解答.
方法诠释运用配方思想解二元二次方程，要重点关注各项的系数，可以将其拆分、拼凑，使其成为平方数，以便运用完全平方公式 b) 进行配方.本题中的“20”也很特殊，可以分为“4”和“16”，刚好供 x与 y 配方使用.所以，同学们一定要学会仔细观察数据，对特殊的数据进行特别的处理.
14.原方程可变为 配方，得(
解得-5≤y≤5.
由y为正整数，知y可取1，2，3，4，5，代入方程，则共有5 组正整数解分别为
15.设 那么
∴原方程可变为
解这个方程，得
当y=2时,
当y=3时,
∴原方程有四个根：
=(c+a-b)(c-a+b)(c+a+b)(c-a-b).
∵c+a-b>0,c-a+b>0,c+a+b>0,c-a-b<0,∴△<0.故原方程没有实数根.
17.因为 8. 且x-2y,x-2,y+3不能同时为零，所以M>0，即不论x，y为何实数，M的值一定是正数.