2024-2025学年重庆市江北区字水中学高二（下）学情调研数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市江北区字水中学高二（下）4月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.某书架的第一层放有本不同的历史书，第二层放有本不同的地理书从这些书中任取本历史书和本地理书，不同的取法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
6.数列的前项和为，首项，若，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象在的切线的斜率为
B. 函数在上单调递增
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极大值
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 若是增函数，则
C. 当时，函数恰有两个零点 D. 当时，函数恰有两个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.在等差数列中，，，则 ______．
12.函数的单调递减区间为______．
13.若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
设函数．
求在处的切线方程；
求在区间上的最大值与最小值．
15.本小题分
已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若数列是公比为的等比数列，且，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为剪切与焊接不可避免，不考虑剪切与焊接处的损耗与增加如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为．
求无盖长方体铁皮盒的表面积用，表示．
写出关于的函数关系式，并写出的范围．
要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调递减区间；
若有两个极值点，
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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18.解：当时，，的定义域为．
．
令，得所以的单调递减区间为．
，．
因为有两个极值点，，所以方程有两个不等正根，，
所以，解得则实数的取值范围为．
证明：．
所以．
令，下面证明，
求导得，显然在上单调递增．
因为，，且在上连续，
所以，函数存在唯一零点，即．
并且时，，时，，
所以．
因为，根据对勾函数的性质得在上单调递增，
则，
所以，所以命题得证．
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