2024-2025学年重庆市江北区字水中学高一（下）学情调研数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市江北区字水中学高一（下）4月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知平面向量，和实数，则“”是“与共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.把函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，所得的图像的函数解析式为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面上不共线的四点，，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 向量在向量上的投影向量可表示为
B. 若，则与的夹角的范围是
C. 若是等边三角形，则、的夹角为
D. 若，，则
10.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 是周期函数 B. 最大值为
C. 关于对称 D. 最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，，当时，实数 ______．
13.若函数在区间内至少有个零点，则的最小值是______．
14.已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，是两个不共线的向量，已知，，．
求证：，，三点共线；
若，且，求实数的值．
16.本小题分
已知，，．
求；
求向量在方向上的投影向量．
17.本小题分
已知函数的最小正周期为，且．
求函数的解析式，并写出取最大值时相应的取值集合；
求函数的单调递减区间．
18.本小题分
已知函数．
已知，求的值；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，．
若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标不需要说明理由；
当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求；
设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
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15.解：证明：，，，
由题意可得．
因为，所以．
又与有公共点，所以，，三点共线．
由，知，若，
且，可设，
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
16.解：因为，
所以，，
所以；
因为，
所以在方向上的投影向量为．
17.解：的最小正周期为，
，
，，
，
即，
当时，取最大值，
即取最大值时，的取值集合为
依题意，
若单调递减，则，
，
又，
令，，得其单调递减区间为，．
18.解：
，
，
．
当时，，可得，
不等式恒成立，即恒成立，
令，所以在上恒成立，
所以，解得，即的取值范围是．
19.解：，
所以向量的仿射坐标为其中一个“完美向量”的仿射坐标为．
因为当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，
所以，
由题意得，则，，
可得，，故，
，，
所以
所以；
因为，，
，
因为，所以，
所以对恒成立，
又因为，所以，
得，此时
，因为，，
且，所以，所以，
所以的最大值为．
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