期中提优测评卷 提优训练 （含答案）2024-2025学年沪科版八年级数学下册

期中提优测评卷
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列计算正确的是( ).
2.下列各式中，最简二次根式是( ).
D.
3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( ).
A. b-a B. a+b C. - a-b D. a-b
4.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ).
且k≠0
且k≠0
5. 下列几组数:①6,8,10;②7,24,25;③9,12,15;④n -1,2n,n +1(n是大于1的整数)，其中是勾股数的有( ).
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
6.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA(如图),则BC等于( ).
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
7.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将0.7化成分数，设 则有10x=7.7,9x=7,解得x= ，类比上述方法及思想，则v
A. 3 B. C.
8.如图,在四边形ABCD 中,∠B=60°,AB=BC,AD=CD,连接AC,过点D作DE∥AB分别交BC,AC于E,F,若AB=4,DE=3,则AD的长为( ).
A. 2 B. C. D. 3
9.已知a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则式子 的值是( ).
A. n +2
10.若 则 M与N 的大小关系为( ).
A. M>N B. MC. M≥N D. M≤N
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.若最简二次根式 能与 合并，则x的值为 .
12.写出一组勾股数(即能够成为直角三角形三条边长的三个正整数)：
13.若a,b是方程. 的两个实数根，则代数式 的值为 .
14. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为边AB的中点,E,F分别为边AC,BC上的点,且AE=AD,BF=BD.
(1)∠EDF= °;
(2)若DE= ,DF=2,线段AB的长为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15. 计算:
16.解下列一元二次方程：
(公式法)； 配方法).
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17.如图，在四边形ABCD 中， 且 试求四边形ABCD 面积.
18.关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围.
五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19.观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： ；
(3)利用上述规律计算 (仿照上式写出过程).
20.下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务.
××××年××月××日 天气:晴 无理数与线段长 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实. 回顾梳理：要在数轴上找到表示± 的点，关键是在数轴上构造线段(OA=OA'= 如图(1)，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点 A，A'，则点 A 对应的数为 ，点A'对应的数为- 类似地，我们可以在数轴上找到表示± ,± ,…的点. 拓展思考：如图(2)，改变图(1)中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB 与OB'，其中O仍在原点，点B，B'分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB 与OB'的长得到点 B，B'所表示的无理数.按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点.
任务：
(1)“拓展思考”中,线段OB 的长为 , O B '的长为 ；点B 表示的数为 ，点B'表示的数为 ；
(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题.
A.请在图示的数轴上，画图确定表示± 的点M,N;
B.请在图示的数轴上，画图确定表示 的点 M.
六、(本题满分12分)
21.(重庆九龙坡区自主招生)某水果店以相同的进价购进两批车厘子，第一批200千克，每千克16元出售；第二批100千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，水果店共获利3200元.
(1)求车厘子的进价是每千克多少元
(2)该水果店以相同的进价购进第三批车厘子300千克，计划两天售完.第一天将车厘子涨价到每千克20元出售，结果仅售出100千克；第二天，水果店决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价2元，第二天的销量在第一天的基础上增加10千克；到了晚上关店时，还剩部分车厘子没售完，店主便将剩余车厘子免费分给员工，第三批车厘子的利润恰好为2020元，求没售完的车厘子共有多少千克.
七、(本题满分12分)
22. 中考新考法新定义问题(2024·安徽安庆期末)对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”.例如 因为 所以169是“如意数”.
(1)已知一个“如意数 ，其中a，b，c为正整数)，请直接写出a,b,c 所满足的关系式 ;
(2)利用(1)中“如意数 中的a，b，c构造两个一元二次方程 0①与 若 是方程①的一个根， 是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在(2)中条件下,且 请直接写出满足条件的所有k 的值.
八、(本题满分14分)
23.如图(1),在 中， 是BC的中点,P,Q分别是AB,AC 上一点,连接OP,OQ,PQ,已知
(1)过点 B作 交QO的延长线于点D.
①求证:O为DQ中点;
②求证：
(2)如图(2)，若P，Q分别在AB，CA 的延长线上，其余条件不变，②中的结论是否成立 若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论.
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1. A [解析] 故选 A.
2. B [解析] 不是最简二次根式，∴选项A不符合题意； 是最简二次根式，∴选项B符合题意； 中被开方数1.5是分数，不是最简二次根式，∴选项C不符合题意； 不是最简二次根式，∴选项D不符合题意.故选 B.
思路引导 本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数的因数是整数，因式是整式，二是被开方数中不含开得尽方的因数或因式.根据最简二次根式的条件逐项判断即可解答.
3. D [解析]由a，b两点在数轴上的位置可知，b<04. D [解析]由题意,得解得 且k≠0.故选 D.
思路引导 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，对同学们的计算能力有一定的要求.由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围.
5. D [解析] 故①组是勾股数； 25 ，故②组是勾股数； ，故③组是勾股数； 故④组是勾股数.故选D.
6. C [解析]设BC=x,则BD=BA=x+1.
在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得. 即(
解得x=12,即BC=12.故选C.
■思路引导 本题考查了勾股定理的应用，借助图形，理解题意，运用勾股定理列出方程是解题的关键.
7. A [解析]设 两边平方得 整理得 解得 (舍去),
即 故选 A.
8. C [解析]如图,连接BD交AC 于点 O.∵AB=BC,AD=CD,∴BD 是AC的垂直平分线,∴AO=OC,∠AOD=∠FOD=90°.
∵∠ABC=60°,AB=BC,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AC=4,∠BCA=∠BAC=60°.∵DE∥AB,∴∠FEC=60°,∠EFC = 60°, ∴△FCE为等边三角形.设EF=FC=x,则. ∵∠OFD = ∠EFC = 60°, ∴ ∠ODF = 30°, ∴ 在Rt△ODF中,DF=2OF,∴3-x=2(2--x),∴x=1, 故选 C.
思路引导 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握这些知识点进行推理和运算是解题的关键.
9. B [解析]因为a，b是方程的两个实数根，
所以a+b=-n, ab=-1.所以 故选 B.
关键提醒 如果x ，x 是关于x的一元二次方程 的两个根，那么
10. C [解析]
故选C.
题方法诠释本题考查了因式分解和非负数的性质以及利用作差法判定两式的大小，将M 与 N 代入M—N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断.解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值.
11.-1 [解析]由题意,得3x+6=3,解得x=-1.
12.3，4，5(答案不唯一) [解析]根据勾股数的概念得,勾股数可以为3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41;11,60,61;12,35,37;13,84,85;20,21,29;20,99,101 等,任选1组即可.
思路引导 满足 的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，随机写出一组则可.
13.1 [解析]∵a,b是方程 的两个实数根,∴a +4a-5=0,a+b=-4,∴a +4a=5,
解后反思 本题考查了根与系数的关系、代数式求值、整体代入法和一元二次方程的解，综合运用这些知识是解题的关键.
14.(1)45 (2)2 [解析](1)∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.∵AD=AE,BD=BF,
∴∠ADE=∠AED,∠BDF=∠BFD.
∴∠EDF=45°.
(2)如图,延长ED至点G,使DG=DE,连接BG,FG,作FH⊥DE 于点H.
∵AD=BD,∠ADE=∠BDG,DE=DG,
∴△ADE≌△BDG.
∴∠DBG=∠A,BG=AE,
∴∠FBG=90°,BF=BG=BD.
∵∠EDF=45°,DF=2,∴FH=DH= 即点E与点H 重合，
15.(1)原式
(2)原式 =--1.
方法总结 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.(1)根据平方差公式将算式展开，然后进行加减即可；(2)先利用二次根式概念将算式中各项进行简化，然后按运算法则和顺序进行计算即可.
∵a=2,b=-3,c=-2,
解得
解得
■思路引导 (1)先准确找到方程的a，b，c，求出根的判别式△的值，若△≥0，则代入公式即可得解；若△<0，则方程无实数解.(2)先把方程移项，再配方，转化为直接开平方即可.
17.如图,连接AC,
则在 Rt△ABC中,
又CD=6,AD=2,
∴△ACD 为直角三角形,AC⊥AD,
■解后反思 本题考查勾股定理及逆定理的应用，理解基本定理并准确计算是解题关键.
18.(1)∵a=1,b=-(m+1),c=m,
,即△≥0,
∴方程总有两个实数根.
,即(x-m)(x-1)=
∵方程有一个根为负数，∴m<0.
(2)A题:如图(1),点 M 表示的数为 点 N 表示的数为
B题：如图(2)，点M 表示的数为
21.(1)设车厘子的进价是每千克x元，
依题意,得16×200+18×100--(200+100)x=3200,解得x=6.
故车厘子的进价是每千克6元.
(2)设第二天的售价为每千克y 元，则第二天的销量为 千克，
依题意，得 300=2020,整理,得
解得 (不合题意，舍去).
千克).
故没售完的车厘子共有70千克.
■思路引导 本题考查了方程的应用.(1)设车厘子的进价是每千克x元，利用总利润=销售单价×销售数量—进货单价×进货数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为 千克，根据第三批车厘子的利润恰好为2020元，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，取其符合题意的值，将其代入 10)中即可求出结论.
(2)∵x=m是一元二次方程 的一个根，x=n是一元二次方程( 的一个根，
将 两边同除以n ，得
∴将m, 看成是方程。 的两个根.
∵a，b，c是“如意数”k中的各个数位上的数，
∴方程 有两个相等的实数根， 即 mn=1.
(3)∵m+n=-2, mn=1,
∴m=-1,n=-1,
∴a-b+c=0,∴b=a+c.
解得a=c,
∴满足条件的所有 k 的值为121,242,363,484.
■思路引导 本题考查了新定义、一元二次方程根的定义、根的判别式等知识，解题关键是综合运用这些知识进行推理与计算.
23.(1)①∵O是BC的中点,
∴OB=OC.∵BD∥AC,∴∠D=∠CQO.
在△BOD 和△COQ 中,
∴△BOD≌△COQ(AAS),∴OD=OQ,
∴O为DQ中点.
②如图(1),过点 C作CM∥AB,交 PO 的延长线于点M,连接QM,
∴∠CMO=∠BPO.
∵∠A=90°,O是BC的中点,
∴∠MCQ=90°,OB=OC.
在△COM 和△BOP 中,
∴△COM≌△BOP(AAS),
∴CM=BP,OM=OP.
∵OP⊥OQ,∴OQ 垂直平分PM.∴PQ=MQ.
在Rt△QCM 中,由勾股定理,得(
在 Rt△APQ中,由勾股定理,得
(2)②中的结论成立，理由如下：
如图(2),过点 C作CN∥AP,交 PO 的延长线于点N,连接QN,
∴∠NCO=∠PBO,∠BAC=∠NCA =90°.
∵O是BC的中点,
∴OB=OC.
在△CON 和△BOP 中,
∴△CON≌△BOP(ASA),∴CN=BP,ON=OP.
∵OP⊥OQ,∴OQ 垂直平分PN.∴PQ=NQ.
在Rt△QCN 中,由勾股定理,得(
在Rt△APQ 中,由勾股定理,得