19.1 多边形内角和提优训练 （含答案）

19.1 多边形内角和
1. 过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是( ).
A. 六 B. 七 C. 八
2.下列图形中具有稳定性的是( ).
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
3. 一个多边形的内角和是720°，这个多边形是( ).
A.六边形 B.五边形 C. 四边形 D.三角形
4.如果一个多边形每一个外角都是45°，那么这个多边形的边数为 .
5.已知一个多边形的内角和是2520°，则这个多边形是 边形.
6.一个多边形的每一个内角均相等，且每个外角与其相邻的内角的度数之比为1：3，求这个多边形的内角和.
7.如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a⊥b，则该正多边形是( ).
A. 正五边形 B. 正六边形
C. 正八边形 D.正十边形
8.如图,七边形 ABCDEFG中,AB,ED 的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4 的外角和等于 215°,则∠BOD 的度数为( ).
A. 20° B. 35° C. 40° D. 45°
9. 图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.
10.如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形,则∠1+∠2+∠3= °.
11.如图,在六边形 ABCDEF 中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求六边形 ABCDEF 的周长.
12(1)在图(1)中，互不重叠的三角形共有3个，在图(2)中，互不重叠的三角形共有5个，在图(3)中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有 个；(用含n的代数式表示)
(2)若在如图(4)所示的n边形中,P 是边 A An上的点,分别连接 PA ,PA ,PA ,…,PAn- ,得到(n——1)个互不重叠的三角形.请根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式；
(3)反之，若在四边形内部有 n 个不同的点，按照(1)中的方法可得k 个互不重叠的三角形，试探究n 与k的关系.
13.如图(1),∠1,∠2是四边形 ABCD 的两个不相邻的外角.
(1)猜想并说明∠1+∠2与∠A,∠C的数量关系；
(2)如图(2),在四边形ABCD 中,∠ABC 与∠ADC的平分线交于点 O.若∠A =50°,∠C=150°,求∠BOD 的度数;
(3)如图(3),BO,DO 分别是四边形ABCD 的外角∠CBE,∠CDF 的平分线.请探究∠A,∠C与∠O 的数量关系.
14.(2024·河北中考)直线 l 与正六边形ABCDEF 的边AB，EF 分别相交于点M，N，如图所示，则α+β=( ).
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A. 115° B. 120° C. 135° D. 144°
19.1 多边形内角和
1. B [解析]设多边形的边数是n，由题意，得n--3=4,∴n=7.
∴这个多边形的边数是七.故选 B.
关键提醒本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线是解题关键.
2. D [解析]三角形具有稳定性.故选 D.
易错警示 本题考查了三角形的稳定性.在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性.
3. A [解析]设这个多边形的边数为n，由题意，得(n-2)×180°=720°,解得n=6,
所以这个多边形是六边形.故选 A.
4.8 [解析]多边形的边数是360°÷ 45°=8.
5.十六 [解析]设这个多边形是n边形，则(n-2)×180°=2520°,解得n=16.
知识拓展 n边形内角和等于(n-2)×180°(n为不小于3的整数)；所有多边形的外角和都为360°.
6.设此多边形的一个外角为x°，则与其相邻的内角为3x°,由x+3x=180,得x=45,
∴这个多边形的边数为
∴其内角和为(8-2)×180°=1 080°.
7. C [解析]如图,延长 DA,EB 交于点C.
∵直线a⊥b,∴∠C=90°.
∵此多边形是正多边形，
∴∠DAB=∠ABE,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵正多边形外角和为 360°，∴正多边形的边数为360°÷45°=8.故选 C.
归纳总结 本题主要考查了正多边形的定义，解题关键是添加辅助线构造三角形，根据多边形外角和定理求出正多边形的边数.
8. B [解析]∵∠1,∠2,∠3,∠4的外角和为215°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°.
∵五边形OAGFE 内角和=(5-2)×180°=540°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,
∴∠BOD=540°-505°=35°.故选 B.
一关键提醒 本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1，∠2，∠3，∠4的和是解题的关键.
9.360 [解析]由题图可知,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于以这五个角端点作为顶点的五边形的外角和，即等于360度.
●光速解法 由题中图(2)可得五个角的端点作为顶点恰好构成一个五边形，由“任意一个多边形的外角和都等于360°”即可得解.
10.165 [解析]如图.∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠ABC=90°.
∵△EFG 为等边三角形,
∴∠EGF=60°.
∵△PHK 为等腰直角三角形,∴∠PHK=45°,
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠1+90°,∠EGP=∠EGF+∠2=∠2+60°,∠CHP=∠3+∠PHK=∠3+45°.
∵∠EBC,∠EGP,∠CHP 为△BGH 的三个外角,
∴∠EBC+∠EGP+∠CHP=360°,∴∠1+90°+∠2+60°+∠3+45°=360°,
∴∠1+∠2+∠3=165°.
■ 易错警示 本题主要考查了正方形、等边三角形、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角和定理，解答本题的关键是准确识图，找准三角形的外角，理解三角形的外角和等于360°.
11.由题意，知每个内角都相等，则(n-2)·180°=(6-2)×180°=720°,所以每个内角都为
如图，将六边形各边均延长，构成三角形GIH.
易证△ABG,△CDH,△EFI,
△GHI 都是等边三角形，
∴IG = HI = GH = GB +BC+CH=AB+BC+CD=7,EI=HI--(HD+DE)=2,AF=IG-(FI+AG)=4,∴六边形 ABCDEF 的周长为AB+BC+CD+DE+EF+FA=1+3+3+2+2+4=15.
12.(1)(2n+1)
(2)设n边形的内角和为m，则由题意，得m=(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.
(3)设在四边形内部有 n个不同的点，且按(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形，而四边形的内角和为360°,所以360n+360=k×180,则2n+2=k,即
13.(1)猜想:∠1+∠2=∠A+∠C.
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∴∠1+∠2=∠A+∠C.
(2)∵∠A=50°,∠C=150°, 又 BO,DO分别平分∠ABC与∠ADC,
(3)∵BO,DO分别是四边形 ABCD 的外角∠CBE,∠CDF 的平分线,∴∠FDC=2∠FDO=2∠ODC,∠EBC=2∠EBO=2∠CBO.
由(1)可知∠FDO+∠EBO=∠A+∠O,
2∠FDO+2∠EBO=∠A+∠C,
∴2∠A+2∠O=∠A+∠C,
∴∠C-∠A=2∠O.
故∠A,∠C 与∠O的数量关系为∠C-∠A=2∠O.
■素养考向 本题根据多边形的内角与外角的关系及角平分线的性质，通过计算与推理，从而使问题得以解决.考查了推理能力和运算能力的核心素养.
14. B [解析]正六边形每个内角为 120°,六边形 MBCDEN 的内角和为( 720°,∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720°,∴∠ENM+∠NMB=720°-4×
∵β+∠ENM+α+∠NMB=180°×2=360°,
故选 B.
■ 一题多解 ∵正六边形每个内角为120°，四边形的内角和为360°,