第19章四边形提优测评卷 （含答案）

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第19章四边形提优测评卷
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数为( ).
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
2. 在 ABCD中,∠B+∠D=260°,那么∠A 的度数是( ).
A. 130° B. 100° C. 80° D. 50°
3.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△AOD的周长为( ).
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A 的坐标为(3，4),则顶点 B 的坐标是( ).
A. (5,4) B. (6,3)
C. (8,4) D.(2,4)
5. 如图,在 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC的平分线交AD于点E,则DE 的长为( ).
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点所得的四边形是( ).
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
7.如图,在菱形纸片ABCD 中,AB=4,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A 落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则EF 的长为( ).
A. B. C.
8.如图,正方形ABCD的边长为2,E 是AB的中点,P 是AC上的动点,则PE+PB的最小值为( ).
A. B.2 C. 4 D. 2
9.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC,BD 于点E,P,连接OE, 则下列结论：① ②BD= ;③S△ABD=AB·AC;④OE= AD.其中正确的是( ).
A. ①②④ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②③④
10.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°,动点E 在线段OB上,动点F 在线段OD上,点 E,F 同时从点O出发,分别向终点B,D运动,且始终保持OE=OF.点E关于AD,AB 的对称点为E ,E ;点F 关于BC，CD的对称点为F ，F 在整个过程中，四边形E E F F 形状的变化依次是( ).
A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.(2024·山东济南期末)过多边形的一个顶点能引出10条对角线，则这个多边形的边数是
12.(2024·浙江绍兴嵊州期末)如图，将三角形ABC 沿AB 方向平移到三角形DEF 的位置，若AE=10,BD=2,三角形ABC的面积为10,则四边形ACFD的面积为 .
13.如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E分别是边AB，AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.若使四边形ADCF 是正方形,则应在△ABC中再添加一个条件为 .
14.如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，BE 的垂直平分线交对角线AC于点N,交BE于点M,连接BN,EN.
(1)∠EBN= °;
(2)若正方形ABCD的边长为4,CE=1,则AN= .
三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15. 如图,E,F 为 的对角线AC 上的两点，请你添加一个条件，使得BE=DF.
(1)你添加的条件是 .
(2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：BE=DF.
16. (2024·吉林长春南关区期末)如图，在 中， D为边AB 上任意一点(不与点A，B重合)，过点D作 ,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.
(1)求证:四边形 ECFD 是矩形;
(2)若 求CD 的长.
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17.如图，用总长48m的篱笆依墙(墙足够长)围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等.
的值为 . 的值为 ；
当矩形ABCD 的面积为108m 时,求BC的长.
18. 定义:若P为四边形ABCD内一点,且满足∠APB+∠CPD=180°,则称点 P 为四边形ABCD 的一个“互补点”.
(1)如图(1),点P 为四边形ABCD 的一个“互补点”,若∠APD=60°,则∠BPC= ;
(2)如图(2),P 是菱形ABCD 对角线BD上的任意一点(不与点B,D 重合),求证:点P 为菱形ABCD的一个“互补点”.
五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19. 如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(1)试判断四边形 BECF 是什么四边形，并说明理由.
(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形 请回答并证明你的结论.
20. 如图,点 P 为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥CD 于点E,PF⊥BC于点F.
(1)求证:PA=PC;
(2)若正方形ABCD的边长为1，求四边形PFCE 的周长.
六、(本题满分12分)
21.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=10,过点A 作AD∥BC,且点D 在点A 的右侧.点P 从点A 出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点 P 的运动时间为t秒. 。
(1)若PE⊥BC,求 BQ 的长.
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
七、(本题满分12分)
22.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E 是OC上一点,点F 在BE 延长线上,且EF=BE,EF与CD 交于点G.
(1)求证:DF∥AC;
(2)连接DE,CF,如果BF=2AB,且G恰好是CD的中点,求证:四边形CFDE 是矩形.
八、(本题满分14分)
23.[探究问题]
(1)如图(1),在正方形ABCD中,E 是边BC 延长线上一点,连接DE,F是DE上的一个动点，BF与边CD相交于点G.若BF⊥DE，试猜想CG与CE的数量关系，并说明理由；
[拓展迁移]
(2)如图(2),在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF;
(3)在(2)的条件下，若正方形的边长为6，E是边BC的中点，求EF 的长.
第19章提优测评卷
1. B [解析]设多边形的边数为n，则由题意，得(n- ,解得n=10.故选B.
■关键提醒 任意一个多边形的外角和都等于360°.
2. D [解析]由平行四边形的性质可知,∠A+∠B=180°,∠B=∠D,∴∠B=130°,∴∠A=50°.故选 D.
3. D [解析]由AC+BD=16,得 由平行四边形的性质，得 则 而 AD=6,则OA+OD+AD=14,∴△AOD的周长为14. 故选 D.
4. C [解析]根据勾股定理，得 根据菱形的性质,得AO=CB=OC=AB=5,则点B的横坐标为3+5=8,故点 B 的坐标为(8,4). 故选C.
5. D [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=5,∴∠AEB=∠CBE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=3,∴DE=AD-AE=2.故选D.
■方法诠释 本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定.注意证得△ABE 是等腰三角形是解题的关键.由在 ABCD中,∠ABC 的平分线交 AD 于点E，易证得△ABE 是等腰三角形，继而求得答案.
6. D [解析]因为四边形的对角线相互垂直且相等，所以由三角形中位线定理可知，各边的中点连线都等于对角线的一半，且与对角线相互平行，故所得的四边形四边相等，且邻边相互垂直，是正方形.故选D.
7. A [解析]如图,连接BE,BD,
∵四边形 ABCD 为菱形,∠A=60°,∴AB=4=BC=
∴△BCD 是等边三角形.
∵E是CD中点,∴DE=CE=2,BE⊥CD,∠EBC=
∵CD∥AB,∴∠ABE=∠CEB=90°,由折叠可得,AF=EF.
故选 A.
思路引导 本题考查了折叠的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度.
8. A [解析]如图,连接 PD,DE.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAP=∠BAP,AD=AB.又AP=AP,∴△ADP≌△ABP(SAS),∴PD=PB,∴BP+EP=DP+EP.
当点 D,P,E在同一直线上时,BP+EP 的值最小,等于线段 DE 的长.
∵正方形ABCD的边长为2,E 是AB的中点,
∴AD=2,AE=1.
在 Rt△ADE 中,由勾股定理得
∴PE+PB 的最小值为 .故选 A.
思路引导 本题考查了轴对称——最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点 P 的位置是解题的关键.
9. D [解析]①∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠ADC=60°,∴AD∥BC,∠ABC=60°,
∴∠AEB=∠DAE.∵AE 平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,则AB=BE=1.∵∠ABE=60°,∴△ABE 是等边三角形,
∴∠AEB=2×∠ACE=60°,∴∠ACE=30°,
∴∠CAD=∠ACE=30°,故①正确;
AB,∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°.在 Rt△OCE中.
∵AB∥CD,∠BAC=90°,∴∠ACD=90°.
在 Rt△OCD中,
故②正确；
③∵∠BAC=90°,∴S□ABCD=AB·AC,故③正确;
④由②知,OE 是△ABC 的中位线,
故④正确.故选 D.
解后反思 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形面积和平行四边形面积的计算；运用数形结合的思想方法和以上知识是解决问题的关键.
10. A [解析]∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠BDC =∠ABD =60°,∠ADB =∠CBD =90°-60°=30°.∵OE=OF,OB=OD,∴DF=EB.
∵点F 关于BC,CD 的对称点为F ,F ,点 E 关于AD,AB的对称点为E ,E ,
∴DF=DF ,BF=BF ,BE=BE ,DE=DE ,
∠E DA=∠EDA=30°,∴∠E DB=60°,同理可得∠F BD=60°,∴∠E DB=∠F BD,
∴DE ∥BF .又
∴四边形 E E F F 是平行四边形.
如图(1)所示,当E,F,O三点重合时,DO=OB,
即
∴四边形E E F F 是菱形;如图(2)所示,当E,F 分别为OD,OB 的中点时,设DB=4,则
在Rt△ABD中,AB=2, ,连接AE,AO.
∵∠ABO=60°,BO=2=AB,∴△ABO是等边三角形.
∵E为OB中点,
∴AE⊥OB,BE=1,
根据轴对称的性质，得
是直角三角形，且 ,平行四边形 E E F F 是矩形;
如图(3),当 F,E 分别与D,B 重合时,△BE D,△BDF 都 是 等 边 三 角 形,则平 行 四 边 形E E F F 是菱形,
∴在整个过程中，四边形 E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形.故选 A.
思路引导 本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理与勾股定理的逆定理、轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质，运用数形结合的方法，熟练掌握以上知识是解题的关键.
11.13 [解析]过n边形一个顶点能够引(n-3)条对角线，∴设这个多边形的边数为n，由题意，得n-3=10,∴n=13.
12.30 [解析]如图,连接CD,由平移的性质,得AD∥CF,AD=CF,DE=AB,∴四边形 ACFD 是平行四边形.
∵AE=10,BD=2,
∴AB+DE=AE--BD=8,
∴S平行四边形ACFD=2S△ACD=30.
思路引导 本题考查了平行四边形的判定与性质、平移的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及通过推理、计算得到 是解题的关键.
13.∠ACB=90°(答案不唯一) [解析]∵E 是AC 中点,∴AE=EC. 又DE=EF,
∴四边形ADCF 是平行四边形.
∵AD=DB,AE=EC,∴BC=2DE,∴DF=BC.
∵AC=BC,∴AC=DF,∴四边形ADCF 是矩形,
∴要使四边形ADCF 是正方形，当∠ACB=90°时,
∵D为AB中点,∴CD=AD,
∴矩形ADCF 是正方形.
14.(1)45 [解析](1)如图,过点N 作NF⊥BC于点F,作 NG⊥CD 于点G.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AC平分∠BCD,∠BCD=90°,
∴NF=NG.
∵MN 垂直平分BE,
∴BN=EN,
∴Rt△BFN≌Rt△EGN(HL),
∴∠BNF=∠ENG,∴∠BNE=∠FNG.
∵∠NFC=∠FCG=∠CGN=90°,
∴四边形CGNF 是矩形,∴∠FNG=90°,
∴∠BNE=90°,∴∠EBN=∠BEN=45°.
(2)设BF=x,则EG=x,CF=4-x.
∵四边形CGNF 是矩形,NF=NG,
∴四边形CGNF 是正方形,∴CF=CG=NG.
∵CE=1,∴4-x=x+1,∴x=1.5,
∴CG=NG=x+1=2.5,
∵∠ADC=90°,AD=CD=4,
15.(1)AE=CF(答案不唯一)
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE 和△CDF 中
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF.
16.(1)∵FD∥CA,BC∥DE,
∴四边形 ECFD 为平行四边形.
又∠C=90°,
∴平行四边形 ECFD 为矩形.
(2)连接CD. ∵四边形ECFD 为矩形,
∴EF=CD.∵∠ECF=90°,
17.(1)2 2 [解析]∵矩形①和矩形②的面积相等,∴AH=DH.
∵矩形①和矩形③的面积相等，且BC=2AH，
(2)设EB= xm,则AE=2xm,
根据题意,得(2x+x)(24-4x)=108,
整理，得 解得
∴24-4x=24-4×3=12.
故 BC 的长为12m.
18.(1)120° [解析]∵点 P 为四边形 ABCD 的一个“互补点”,∠APD=60°,
即∠BPC=120°.
(2)如图,连接AP,CP.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.
在△ADP 与△CDP 中,
∴△ADP≌△CDP(SAS).∴∠APD=∠CPD.
又∠APB+∠APD=180°,
∴∠APB+∠CPD=180°,
即点 P 为菱形ABCD 的一个“互补点”.
19.(1)四边形 BECF 是菱形.理由如下:
如图,∵EF 垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC.∴∠3=∠1.
∵∠ACB=90°,∴∠3+∠4=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠4,∴EC=AE,∴BE=AE.
∵CF=AE,∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形 BECF 是菱形.
(2)当∠A=45°时,菱形 BECF 是正方形.理由如下：
∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠CBE=45°,
∴∠EBF=2∠CBE=90°,
∴菱形 BECF 是正方形.
20.(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°.
在△ABP 与△CBP 中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.
(2)∵PE⊥CD,PF⊥BC,
∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.
又∠BCD=90°,∴四边形 PFCE 是矩形,
∴EC=PF,PE=CF.
∵∠CBD=45°,∠PFB=90°,∴BF=PF.
又BC=1,∴矩形PFCE的周长为2(PF+FC)=2(BF+FC)=2BC=2.
21.(1)如图,当PE⊥BC时,过点A作AM⊥BC于点M,设AC交PE于点N.
∵∠BAC=90°,∠B=45°,∴∠C=∠B=45°,
∴AB=AC,∴BM=CM,∴AM= BC=5.
∵AD∥BC,∴∠PAN=∠C=45°.
∵PE⊥BC,∴PE=AM=5,PE⊥AD,
∴△APN 和△CEN 是等腰直角三角形,
∴PN=AP=t,CE=NE=5-t.
∵CE=CQ-QE=2t-2,∴5-t=2t-2,
解得
(2)存在,t=4或12.理由如下:
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE.
当点 Q 在线段CB 上时,BE=BC-CQ+QE,即t=10-2t+2,解得t=4;
当点 Q 在线段CB的延长线上时,BE=CQ-QE-BC,即t=2t-2-10,
解得t=12,
∴存在t=4或12时,使以A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形.
■解后反思 本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，根据题意得出关于 t的方程是解决问题的突破口.
22.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BO=DO.
∵BE=EF,∴OE 是△BDF 的中位线,
∴OE∥DF,即DF∥AC.
(2)如图,连接DE,CF.
由(1),得DF∥AC,
∴∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE.
∵G是CD的中点,∴DG=CG.
在△DFG和△CEG中,
∴△DFG≌△CEG(AAS),∴FG=EG,
∴四边形CFDE 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD.
∵2AB=BF,∴2CD=BF.∵EF=BE,∴CD=EF,∴平行四边形CFDE 是矩形.
23.(1)CG=CE.理由如下:
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°.
∵BF⊥DE,∴∠E+∠CBG=∠E+∠EDC=90°,∴∠CBG=∠EDC.
在△BCG与△DCE 中
∴△BCG≌△DCE(ASA),∴CG=CE.
(2)如图，延长FD至点G，使得DG=BE.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠ADF=∠ADG=90°.
又DG=BE,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=
∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF,∴EF=GF=DG+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF.
(3)设DF=x,则FC=6-x,
∵E 是边BC 的中点,∴BE=EC=3.
∵BE+DF=EF,∴EF=3+x,
在Rt△EFC 中,由勾股定理,得( 解得.x=2,∴EF=5.故EF的长为5.
■ 思路引导 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.(1)证明△BCG≌△DCE 即可解决问题；(2)实质上是求证两条线段之差(和)等于第三条线段，解决这类问题的常规思路就是两种：①补短法，其基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一条短线段，再通过证明三角形全等得到延长后的线段等于长线段(或使延长之后的线段等于长线段，再证明延长部分等于另一条短线段)；②截长法，其基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一条短线段，然后证明剩下的线段等于另一条短线段.虽然“截长”和“补短”是解决此类问题的常用方法，但解题的关键在于如何巧妙地“截长”或“补短”.要体现这个“巧妙”，必须全面分析问题的条件和结论;(3)设 DF=x,则 FC=6-x,由E 是 BC 边的中点得到 BE=EC=3,由 BE+DF=EF得到EF=3+x,再通过勾股定理求得x=2，即可得到 EF的长.