第2课时 勾股定理的逆定理的应提优训练 （含答案）
文档属性
| 名称 | 第2课时 勾股定理的逆定理的应提优训练 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 184.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-15 12:49:02 | ||
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文档简介
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第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1.某校八年级准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个直角三角形的班旗.下列给出的三个数据中，能实现直角三角形班旗制作的是().
A. 3,4,9 B. 6,6,12
C. 6,4,9 D. 6,8,10
2. 下列每组数据是勾股数的一项是( ).
A. 1,1, B. 2,3,4
C. 13,14,25 D. 8,15,17
3.在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中.按照这个规律,当a=35时,b的值是( ).
a 3 5 7 9 11 …
b 4 12 24 40 60 …
C 5 13 25 41 61 …
A. 611 B. 612 C. 613 D. 614
4.如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E为BC 上的一点，且
求证:∠EFA=90°.
5.江津区积极摸排城市建成区内可利用的建设用地、边角地、闲置地，在摸排中发现，在某住宅建成区有一处闲置地，城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公园”.如图，四边形 ABCD 为该住宅建成区的一处闲置地，经过测量得知：∠C=90°,AB=20m,AD=15m,BC=7m,CD=24m.
(1)如图,连接BD,试求 BD 的长;
(2)该块闲置地相关政府部门计划投入24万元进行打造，经测算，每平方米打造的费用为1000元，请你计算说明将这块地打造成“口袋公园”，政府投入的费用是否够用.
6.用12 根等长的火柴棒拼三角形(全部用上，不可折断、重叠)，关于下列说法正确的是( ).
甲：能拼成直角三角形；
乙：能拼成三种等腰三角形.
A.只有甲对 B.只有乙对
C.甲乙都对 D.甲乙都不对
7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式： 其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ).
A. 3,4,5 B. 5,12,13
C. 6,8,10 D. 7,24,25
8.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;请你写出有以上规律的第5组勾股数： .
9.小伟准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a 表示第三条边长.
(2)第一条边长可以为7 m吗 为什么 请说明理由，并求出a 的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数 若能，说出你的围法；若不能，请说明理由.
10.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m，12m，13m时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为 m .
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m(如图),你能帮助他们求出面积吗
11.陈老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 ...·
a 22-1 3 -1 4 -1 5 -1 ...
b 4 6 8 10 ...
C 2 +1 3 +1 4 +1 5 +1 ...
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：
a= ,c= ,b= .
猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形 并证明你的猜想.
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D 为BC 的中点,若动点 E以1cm/s的速度从点 A 出发,沿着A→B→A的方向运动，设点 E 的运动时间为 t s(0≤t<6),连接DE,当△BDE 是直角三角形时,t 的值为 .
13.如图,AD 是△ABC 的中线,DE⊥AC 于点 E,DF 是△ABD 的中线,且 CE=1,DE=2,AE=4.
(1)求证:∠ADC=90°;
(2)求 DF 的长.
14.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：
①若 则该三角形是直角三角形；
②若 则该三角形是钝角三角形；
③若 则该三角形是锐角三角形.
例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6, 故由③可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形；
(2)若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ；
(3)若一个三角形的三边长为 其中a 是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程.
1. D [解析]∵3+4=7<9,∴选项 A不能组成三角形,故选项A不符合题意;∵6+6=12,∴选项B不能组成三角形，故选项B不符合题意； ∴选项C不能构成直角三角形，故选项C不符合题意； ∴选项D能构成直角三角形，故D符合题意.故选 D.
隬 关键提醒 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键.
2. D [解析]∵ 不是整数，∴选项 A 不符合题意； ，不是勾股数，∴选项B不符合题意； ，不是勾股数，∴选项C不符合题意； 是勾股数，∴选项D符合题意.故选D.
■思路引导 判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数判断，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.
3. B [解析]由表格中的数据，得
当a=35时,3 .故选B.
思路引导 本题考查的是勾股数.满足 c 的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到c=b+1,由( 即可求出b的值.
4.设EC=x,则CD=AD=AB=BC=4x.
∵F为CD的中点,∴DF=CF=2x.
在 Rt△EFC 中, 5x .在Rt△AFD 中, .在 Rt△AEB 中,
∴△AEF 为直角三角形,且AE 为斜边,
∴∠AFE=90°.
解后反思 本题考查利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，解答时注意，由勾股定理逆定理可知，不需要计算出△AEF 的三边边长的具体值，只需要结合题意和正方形四边边长相等计算出△AEF 的三边边长的平方即可.
5.(1)∵∠C=90°,BC=7m,CD=24m,
故BD 的长为25m.
(2)∵AB=20m,AD=15m,BD=25m,
∴四边形 ABCD 的面积
∵234×1000=234000(元),234000元<240000元,
∴政府投入的费用够用.
6. A [解析]3,4,5,为直角三角形;4,4,4,为等边三角形;5,5,2,为等腰三角形.故选 A.
■解后反思 本题考查勾股定理的逆定理、三角形的三边关系和等腰三角形的性质，关键是根据符合条件的三边，拼出可能的三角形解答.
7. C [解析]∵当m=3,n=1时,
∴选项 A不符合题意；
∵当m=5,n=1时,
∴选项 B不符合题意；
∵当m=7,n=1时,
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m,n使a,b,c为6,8,10,∴选项C符合题意.故选C.
隬 关键提醒本题考查了整式乘法运算和勾股数的应用，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算.根据题目要求逐一代入符合条件的m，n，进行验证.
8.11,60,61
9.(1)∵第二条边长为(2a+2)m,
∴第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)m.
(2)第一条边长不能为7m.理由如下：当a=7时，三边长分别为7,16,7.
∵7+7<16，∴不能构成三角形，即第一条边长不能为7 m.
由三角形的三边关系，得 解得
即a 的取值范围是
(3)在(2)的条件下,a为整数时,a 只能取5或6.
当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13，由 知，恰好能构成直角三角形；
当a=6时，三角形的三边长分别为6,14,10,由( 知，此时不能构成直角三角形.
综上所述，能围成满足条件的小圈，它的三边长分别为5m ,12 m,13 m.
10.(1)30 [解析]
∴三边长分别为5m，12m，13m的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5m，12m，
∴此三角形的面积为
(2)如图,过点 A 作AH⊥BC
于点H,设BH=x m,
则CH=(14-x)m,
在 Rt△BHA 中,
在 Rt△AHC中,
解得.
∴△ABC 的面积 84(m ).
故八(2)班的劳动试验基地的面积是84m .
■ 思路引导 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用.解题的关键：(1)掌握勾股定理的逆定理的应用；(2)正确作出辅助线，并根据勾股定理列出方程.
(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形.证明如下：
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形.
12.2 或 3.5 或 4.5 [解析]∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,∴∠A=30°,∴AB=2BC=4cm.
∵BC=2cm,D为BC的中点,动点E 以1cm/s的速度从点A 出发,∴BD=DC=1cm.
若∠DEB=90°,
当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BDE=30°,
当B→A时,t=4+0.5=4.5.
若∠EDB=90°,
当A→B时,∵∠ABC=60°,
∴∠BED=30°,∴BE=2BD=2cm,
∴t=4-2=2.
当B→A时,t=4+2=6(舍去).
综上所述,t的值为2或3.5或4.5.
13.(1)∵DE⊥AC 于点E,
∴∠AED=∠CED=90°.
在 Rt△ADE 中,∠AED=90°,
同理
∵AC=AE+CE=4+1=5,∴AC =25.
∴△ADC 是直角三角形.∴∠ADC=90°.
(2)∵AD 是△ABC的中线,∠ADC=90°,
∴AD 垂直平分BC.∴AB=AC=5.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,
∵点 F 是边AB 的中点,
14.(1)锐角 (2)13或
∴该三角形是钝角三角形.
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1.某校八年级准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个直角三角形的班旗.下列给出的三个数据中，能实现直角三角形班旗制作的是().
A. 3,4,9 B. 6,6,12
C. 6,4,9 D. 6,8,10
2. 下列每组数据是勾股数的一项是( ).
A. 1,1, B. 2,3,4
C. 13,14,25 D. 8,15,17
3.在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中.按照这个规律,当a=35时,b的值是( ).
a 3 5 7 9 11 …
b 4 12 24 40 60 …
C 5 13 25 41 61 …
A. 611 B. 612 C. 613 D. 614
4.如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E为BC 上的一点，且
求证:∠EFA=90°.
5.江津区积极摸排城市建成区内可利用的建设用地、边角地、闲置地，在摸排中发现，在某住宅建成区有一处闲置地，城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公园”.如图，四边形 ABCD 为该住宅建成区的一处闲置地，经过测量得知：∠C=90°,AB=20m,AD=15m,BC=7m,CD=24m.
(1)如图,连接BD,试求 BD 的长;
(2)该块闲置地相关政府部门计划投入24万元进行打造，经测算，每平方米打造的费用为1000元，请你计算说明将这块地打造成“口袋公园”，政府投入的费用是否够用.
6.用12 根等长的火柴棒拼三角形(全部用上，不可折断、重叠)，关于下列说法正确的是( ).
甲：能拼成直角三角形；
乙：能拼成三种等腰三角形.
A.只有甲对 B.只有乙对
C.甲乙都对 D.甲乙都不对
7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式： 其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ).
A. 3,4,5 B. 5,12,13
C. 6,8,10 D. 7,24,25
8.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;请你写出有以上规律的第5组勾股数： .
9.小伟准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a 表示第三条边长.
(2)第一条边长可以为7 m吗 为什么 请说明理由，并求出a 的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数 若能，说出你的围法；若不能，请说明理由.
10.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m，12m，13m时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为 m .
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m(如图),你能帮助他们求出面积吗
11.陈老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 ...·
a 22-1 3 -1 4 -1 5 -1 ...
b 4 6 8 10 ...
C 2 +1 3 +1 4 +1 5 +1 ...
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：
a= ,c= ,b= .
猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形 并证明你的猜想.
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D 为BC 的中点,若动点 E以1cm/s的速度从点 A 出发,沿着A→B→A的方向运动，设点 E 的运动时间为 t s(0≤t<6),连接DE,当△BDE 是直角三角形时,t 的值为 .
13.如图,AD 是△ABC 的中线,DE⊥AC 于点 E,DF 是△ABD 的中线,且 CE=1,DE=2,AE=4.
(1)求证:∠ADC=90°;
(2)求 DF 的长.
14.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：
①若 则该三角形是直角三角形；
②若 则该三角形是钝角三角形；
③若 则该三角形是锐角三角形.
例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6, 故由③可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形；
(2)若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ；
(3)若一个三角形的三边长为 其中a 是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程.
1. D [解析]∵3+4=7<9,∴选项 A不能组成三角形,故选项A不符合题意;∵6+6=12,∴选项B不能组成三角形，故选项B不符合题意； ∴选项C不能构成直角三角形，故选项C不符合题意； ∴选项D能构成直角三角形，故D符合题意.故选 D.
隬 关键提醒 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键.
2. D [解析]∵ 不是整数，∴选项 A 不符合题意； ，不是勾股数，∴选项B不符合题意； ，不是勾股数，∴选项C不符合题意； 是勾股数，∴选项D符合题意.故选D.
■思路引导 判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数判断，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.
3. B [解析]由表格中的数据，得
当a=35时,3 .故选B.
思路引导 本题考查的是勾股数.满足 c 的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到c=b+1,由( 即可求出b的值.
4.设EC=x,则CD=AD=AB=BC=4x.
∵F为CD的中点,∴DF=CF=2x.
在 Rt△EFC 中, 5x .在Rt△AFD 中, .在 Rt△AEB 中,
∴△AEF 为直角三角形,且AE 为斜边,
∴∠AFE=90°.
解后反思 本题考查利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，解答时注意，由勾股定理逆定理可知，不需要计算出△AEF 的三边边长的具体值，只需要结合题意和正方形四边边长相等计算出△AEF 的三边边长的平方即可.
5.(1)∵∠C=90°,BC=7m,CD=24m,
故BD 的长为25m.
(2)∵AB=20m,AD=15m,BD=25m,
∴四边形 ABCD 的面积
∵234×1000=234000(元),234000元<240000元,
∴政府投入的费用够用.
6. A [解析]3,4,5,为直角三角形;4,4,4,为等边三角形;5,5,2,为等腰三角形.故选 A.
■解后反思 本题考查勾股定理的逆定理、三角形的三边关系和等腰三角形的性质，关键是根据符合条件的三边，拼出可能的三角形解答.
7. C [解析]∵当m=3,n=1时,
∴选项 A不符合题意；
∵当m=5,n=1时,
∴选项 B不符合题意；
∵当m=7,n=1时,
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m,n使a,b,c为6,8,10,∴选项C符合题意.故选C.
隬 关键提醒本题考查了整式乘法运算和勾股数的应用，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算.根据题目要求逐一代入符合条件的m，n，进行验证.
8.11,60,61
9.(1)∵第二条边长为(2a+2)m,
∴第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)m.
(2)第一条边长不能为7m.理由如下：当a=7时，三边长分别为7,16,7.
∵7+7<16，∴不能构成三角形，即第一条边长不能为7 m.
由三角形的三边关系，得 解得
即a 的取值范围是
(3)在(2)的条件下,a为整数时,a 只能取5或6.
当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13，由 知，恰好能构成直角三角形；
当a=6时，三角形的三边长分别为6,14,10,由( 知，此时不能构成直角三角形.
综上所述，能围成满足条件的小圈，它的三边长分别为5m ,12 m,13 m.
10.(1)30 [解析]
∴三边长分别为5m，12m，13m的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5m，12m，
∴此三角形的面积为
(2)如图,过点 A 作AH⊥BC
于点H,设BH=x m,
则CH=(14-x)m,
在 Rt△BHA 中,
在 Rt△AHC中,
解得.
∴△ABC 的面积 84(m ).
故八(2)班的劳动试验基地的面积是84m .
■ 思路引导 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用.解题的关键：(1)掌握勾股定理的逆定理的应用；(2)正确作出辅助线，并根据勾股定理列出方程.
(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形.证明如下：
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形.
12.2 或 3.5 或 4.5 [解析]∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,∴∠A=30°,∴AB=2BC=4cm.
∵BC=2cm,D为BC的中点,动点E 以1cm/s的速度从点A 出发,∴BD=DC=1cm.
若∠DEB=90°,
当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BDE=30°,
当B→A时,t=4+0.5=4.5.
若∠EDB=90°,
当A→B时,∵∠ABC=60°,
∴∠BED=30°,∴BE=2BD=2cm,
∴t=4-2=2.
当B→A时,t=4+2=6(舍去).
综上所述,t的值为2或3.5或4.5.
13.(1)∵DE⊥AC 于点E,
∴∠AED=∠CED=90°.
在 Rt△ADE 中,∠AED=90°,
同理
∵AC=AE+CE=4+1=5,∴AC =25.
∴△ADC 是直角三角形.∴∠ADC=90°.
(2)∵AD 是△ABC的中线,∠ADC=90°,
∴AD 垂直平分BC.∴AB=AC=5.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,
∵点 F 是边AB 的中点,
14.(1)锐角 (2)13或
∴该三角形是钝角三角形.