19.3.3菱形的性质提优训练 （含答案）

19.3.3菱形的性质
1. 菱形不具有的性质是( ).
A.对角相等 B.对边平行
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.(2024·东营河口区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中,菱形 OABC,O为坐标原点，点C在x 轴上，A的坐标为(--3,4),则顶点 B 的坐标是( ).
A. (-5,4) B. (-6,3)
C. (-8,4) D. (2,4)
3. 若菱形的两条对角线长分别为6 和8，则该菱形的面积为 .
4.如果菱形的面积是24，较短的对角线长为6，那么这个菱形的边长是 .
5.如图,在菱形ABCD 中,点E,F分别在边 BC 和CD 上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.
6. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC，BD 相交于点O，过点 D 作对角线BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E,若AC=8,BD=6,求 BE 的长.
7.如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点 C 作CE⊥AB,交AB 于点E,连接OE,若OE=3,OB=4,则CE 的长为( ).
B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为(-2,0),∠AOC=60°.将菱形OABC 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿 y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A'B'C',其中点 B'的坐标为( ).
B. (-2,1)
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9.如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD 的对称中心O分别作边 AB,BC的垂线,交各边于点 E,F,G,H,则四边形EF-GH 的周长为( ).
10.如图,在菱形ABCD 中,AB=10,∠B=60°,则AC 的长为 .
11.如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC=60°,AC=10,点 E 为AD 的中点,则OE 的长为 .
12.如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2 和5，P 是对角线AC上任一点(点 P 不与点A，C重合),且 PE∥BC 交AB 于点 E,PF∥CD交AD 于点 F，则阴影部分的面积是 .
13.新情境数学与生活融合 如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm,α=120°时,A,B 两点的距离为 cm.
14.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由 A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2 012 米停下，则这个微型机器人停在 点.
15.如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD 的周长;
(2)若AC=2,求 BD的长.
16. 如图,已知菱形 ABCD 的边长为2,∠ABC=60°,点 M,N 分别是边 BC,CD上的两个动点,∠MAN=60°,连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗 如是，请证明；如不是，请说明理由.
(2)在 M,N 运动的过程中,四边形 CMAN的面积是否发生变化 若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由.
17.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E 是对角线AC 上任意一点，F是线段BC 延长线上一点,且CF=AE,连接BE,EF.
(1)如图(1),当 E 是线段AC 的中点时,求证:BE=EF.
(2)如图(2),当E 不是线段AC 的中点,其他条件不变时，请你判断(1)中的结论： .(填“成立”或“不成立”)
(3)如图(3)，当E 是线段AC 延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
18.(2024·济南中考)如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥CD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为 F.求证:AF=CE.
19.(2023·舟山中考)如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF 的度数.
1. D
2. C [解析]∵
∵四边形OABC 是菱形,∴AB=OA=CB=OC=5,则点 B 的横坐标为-3-5=-8,∴B(-8,4).故选 C.
■思路引导 本题考查了菱形的性质和勾股定理，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点 B 的坐标.
3.24 [解析]如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6.
∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,
4.5 [解析]设菱形的另一条对角线长为x，
由题意，得 解得x=8,
∴菱形的边长为
5.∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE 和△ADF 中
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴BE=DF.
■ 思路引导 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABE≌△ADF.
6.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴AE∥CD,∠AOB=90°.
∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,
∴DE∥AC,∴四边形ACDE 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,∴AD=CD=AB=5.
∵四边形ACDE 是平行四边形，
∴AE=CD=5,∴BE=AE+AB=10.
7. C [解析]∵四边形ABCD 是菱形,OB=4,∴OA=OC,BD=2OB=8,AC⊥BD.
∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°,∴AC=2OE=2×3=6,∴OA=3.
在 Rt△AOB 中,由勾股定理,得
24,∴5CE=24,∴CE= 故选 C.
■ 思路引导 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.
8. A [解析]如图,过点 B 作BE⊥x轴于点E,
∴∠BEA=90°.
∵点A 的坐标为(-2,0),∴OA=2.
∵四边形OABC 是菱形,∴AB=OA=2,AB∥OC,
∴∠EAB=∠AOC=60°,∴∠ABE=30°,
由勾股定理，得
∴OE=AE+OA=1+2=3,
∴点 B 的坐标是(
将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A'B'C'，
∴点 B'的坐标为 故选 A.
9. A [解析]如图,连接BD,AC.∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=120°,∴AB =BC=CD=AD=2,∠BAO= B<∠DAO=60°,BD⊥AC,
∴∠ABO=∠CBO=30°,
∵OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠BEO=∠BFO=90°.在△BEO和△BFO中
∴△BEO≌△BFO(AAS),
∴OE=OF,BE=BF.
∵∠EBF=60°,∴△BEF 是等边三角形,
∴EF=BE.
同理△DGH,△OEH,△OFG都是等边三角形,
∴四边形EFGH 的周长 故选 A.
■归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，有关菱形的问题是中考的一个热点和重点，一般综合考查对称、菱形性质、特殊三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等几何知识，解答此类问题的关键是学会添加常用辅助线，构建出特殊三角形、四边形等来解决问题.本题就是利用菱形性质，通过添加辅助线构建特殊三角形,通过证明△BEF,△DGH,△OEH,△OFG 是等边三角形,求出EH ,EF 即可解答.
10.10 [解析]∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=BC.
∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=10.
11.5 [解析]∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD=DC,AC⊥BD,∴∠AOD=90°.
∵∠ADC=60°,∴△ACD 是等边三角形,
∴AD=AC=10.
∵点E为AD的中点，
12.2.5 [解析]连接BD,设 AP 与EF 相交于点O,∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC∥AD,AB∥CD.∵PE∥BC,PF∥CD,∴PE∥AF,PF∥AE,∴四边形AEPF 是平行四边形,∴S△POF=S△AOE,即阴影部分面积等于菱形 ABCD 的面积的一半.菱形ABCD面积 ∴图中阴影部分面积=5÷2=2.5.
13.54 [解析]连接AB.因为菱形对角线平分对角，所以AB 将三个菱形均分为6个等边三角形，所以AB等于3个菱形边长,即AB=3×18=54(cm).
14. E [解析]∵两个全等菱形的边长为1米，∴一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为8×1=8(米).
∵2012÷8=251……4,∴行走2012米与行走4米后停下的点相同，由题图可知，行走4米后停在点 E，∴这个微型机器人停在 E 点.
思路引导 本题考查了菱形的性质.根据菱形的四条边都相等确定机器人行走一周的路程为8米是解题的关键.
15.(1)∵四边形ABCD 是菱形,AB=2,
∴菱形ABCD的周长=2×4=8.
(2)∵四边形ABCD 是菱形,AC=2,AB=2,
∴AC⊥BD,AO=1,
16.(1)△AMN 是等边三角形.证明如下：如图，连接AC.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴∠B=∠D=60°,
AB=BC=CD=AD,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠B=∠BAC= ∠ACD = ∠MAN =60°,∴∠BAM=∠CAN.
在△BAM 和△CAN 中
∴△BAM≌△CAN(ASA),∴AM=AN.
∵∠MAN=60°,∴△AMN 是等边三角形.
(2)四边形CMAN 的面积不发生变化.理由如下：
∵△BAM≌△CAN,∴S△BAM=S△CAN.
△CAB的BC 边上的高为
∴四边形 AMCN 的面积:
∴四边形AMCN 的面积不发生变化.
■ 解后反思 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
17.(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=BC.
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.
∴∠BCA=60°.
∵E 是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30°,AE=CE.
∵CF=AE,∴CE=CF.
∴∠CBE=∠F=30°,∴BE=EF.
(2)成立
(3)成立.证明如下：
过点 E 作EG∥BC交AB的延长线于点G.
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC.
∵∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形.
∴AB=AC,∠ACB=60°.∴∠ECF=60°.
∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°.
∵∠BAC=60°,∴△AGE 是等边三角形.
∴AG=AE=GE.
∴BG=CE,∠AGE=∠ECF.
∵CF=AE,∴GE=CF.
在△BGE 和△ECF 中
∴△BGE≌△ECF(SAS).∴BE=EF.
■归纳总结 本题运用菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，经过推理论证，使问题得以解决.考查了推理能力的核心素养.
18.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD=CD.
∵AE⊥CD,CF⊥AD,∴∠AED=∠CFD=90°. ,在△AED 与△CFD中
∴△AED≌△CFD(AAS),∴DE=DF,
∴AD-DF=CD-DE,∴AF=CE.
19.(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE 与△ADF中.
∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.
(2)∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=60°,∴∠BAD=120°.
∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.
由(1)知,△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF=30°.
∴△AEF 是等边三角形.∴∠AEF=60°.