特殊平行四边形中的综合性问题专题提优特训9（含解析）

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特殊平行四边形中的综合性问题专题提优特训9
题型1 矩形的综合性问题
1.(2023·安徽合肥庐江期末)如图，在矩形ABCD中,AB=6,AD=5,点 P 在 AD 上,点 Q 在BC 上,且 AP =CQ,连接CP,QD,则 PC+QD 的最小值为( ).
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
2.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN 是△ABC外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为E,连接 DE 交AC于点F.
(1)求证:四边形ADCE 为矩形.
(2)①判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
②线段 EF 与AB 有怎样的关系 直接写出你的结论.
题型2
3.(2024·北京大兴区二模)如图,在 ABCD 中,∠BAC=90°,E,F 分别是BC,AD 的中点,连接AE,CF,G 是线段AC 上一点,且 AE=AG,连接EG.
(1)求证:四边形AECF 是菱形;
(2)若AB=6,BC=10,求EG 的长.
4.已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C 作BD 的垂线交AB 于点E,连接DE.
(1)如图(1),若DE∥BC,求证:四边形 BCDE是菱形.
(2)如图(2),连接AC,设BD,AC 相交于点 F,DE 垂直平分线段AC.
①求∠CED 的大小;
②若AF=AE,求证:BE=CF.
5.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=AD,对角线 AC,BD 交于点 O,AC 平分∠BAD,过点C作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形 ABCD是菱形；
(2)若AE=5,OE=3,求线段CE 的长.
题型3 正方形的综合性问题
6.(2024·孝感汉川模拟)如图,已知四边形 ABCD 为正方形， E为对角线AC上一动点，连接DE,过点 E 作EF⊥DE,交 BC 于点F,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG 是正方形.
(2)探究：CE+CG 的值是否为定值 若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
题型4 菱形与矩形的综合性问题
7.(2024·天水清水模拟)如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,过点 D 作DE∥AC,且 连接AE,CE.
(1)求证:四边形OCED 为矩形;
(2)若菱形 ABCD 的边长为4,∠BCD=60°,求AE 的长.
8.如图,在矩形 ABCD 中,连接BD,延长BC 至点E,使BE=BD,过点 E 作EF∥BD 交AD延长线于点F.
(1)求证:四边形 BEFD 是菱形;
(2)连接BF,若BC=3,CD=4.
①求菱形BEFD 的面积;
②直接写出线段 BF 的长为 .
题型5 矩形与正方形的综合性问题
9.(2024·河南鹤壁期末)如图所示,在矩形 ABCD中,E 是 BC 上一点,DE 平分∠ADC,EF∥CD 交AD 于点F,连接BD.
(1)求证:四边形CDFE 是正方形;
(2)若BE=1,DE=3 求BD 的长.
10.(2024·安徽池州贵池区期末)如图,正方形 ABCD中， E 是对角线AC 上的一点，连接DE.过点 E 作EF⊥ED,交 AB 于点F,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:矩形 DEFG 是正方形;
(2)求 AG+AE 的值;
(3)若 F 恰为AB 的中点,求正方形 DEFG的面积.
题型6 菱形与正方形的综合性问题
11.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O，将BD 往两个方向延长，分别至点 E和点F,使BE=DF.
(1)判断四边形 AECF 的形状，并证明你的猜想；
(2)若 求四边形 AECF 的周长.
12.如图,四边形AECF 是菱形,对角线AC,EF交于点O，D，B是对角线EF 所在直线上两点,且 DE=BF,连接 AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求证:四边形ABCD 是正方形;
(2)若正方形ABCD 的面积为72,BF=4,求菱形AECF 的面积.
C [解析]如图,延长 BA 到点E,使AE=AB,连接PE.
在矩形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=5,∠DCQ=∠DAB=90°,DC=AB=6,
∴AE=CD=6,∠DAE=∠DCQ=90°,
∴△PAE≌△QCD,∴PE=QD,
则PC+QD=PC+PE,则PC+QD 的最小值转化为PC+PE的最小值.
连接CE,则PC+QD=PC+PE≥CE.
∵BE=2AB=12,BC=AD=5,
∴PC+QD的最小值为13.故选C.
■知识拓展 本题考查动点最值下求线段长，涉及动点最值问题的求解方法步骤：①分析所求线段端点(谁动谁定)；②动点轨迹；③最值模型；④定线段；⑤求线段长.
2.(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠AEC=90°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线,
∴∠MAN=∠CAN,
∴∠DAE=90°,
∴四边形ADCE 为矩形.
(2)①四边形ABDE 是平行四边形.证明如下：
∵四边形ADCE 为矩形,
∴AE=CD,AE∥BD.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∴AE=BD,
∴四边形ABDE 是平行四边形.
理由如下：
∵四边形 ADCE 为矩形,
∵四边形ABDE 是平行四边形，
∴DE∥AB,DE=AB,
3.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵E, F 分别为BC,AD中点,
∴四边形AECF 是平行四边形.
∵∠BAC=90°,E为BC中点,
∴平行四边形 AECF 是菱形.
(2)如图,连接 EF,交AC于点O.
∴AC=8(舍负).
∵在 Rt△ABC中,E为BC 的中点,
∴AE=5.
∵AE=AG,∴AG=5.
∵四边形AECF 是菱形,
∴O是AC的中点,AC⊥EF.
∴OG=AG-AO=5-4=1.
在 Rt△AOE 中,由勾股定理,得
∴在 Rt△OEG中,
■ 解后反思 本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键.
4.(1)如图(1),设CE 与BD 交于点O.
∵BC=CD,CE⊥BD,∴OD=OB.
∵DE∥BC,∴∠EDO=∠CBO.
又∠DOE=∠COB,∴△DOE≌△BOC,
∴DE=BC,∴四边形BCDE 是平行四边形.
又BC=CD,∴平行四边形BCDE 是菱形.
(2)①∵BC=CD,CE⊥BD,∴CE 垂直平分BD,
∴∠DEC=∠BEC.又DE垂直平分AC,
∴∠AED=∠CED,∴∠AED=∠CED=∠BEC.
∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,即3∠CED=∠180°,∴∠CED=180°÷3=60°.
②如图(2),连接EF.
由①,得∠AED=∠CED=∠BEC=60°.
∵AC⊥DE,EC⊥BD,
∴∠EAC=∠ECA=∠EBD=30°.
∵AF=AE,∴∠AFE=∠AEF,
∴∠CFE=∠BEF.
又EF=FE,∴△CEF≌△BFE,∴CF=BE.
5.(1)∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.
∵AC为∠DAB 的平分线,∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB.
又AB∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵AD=AB,∴平行四边形ABCD 是菱形.
(2)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AO=CO.
∵CE⊥AB,∴AC=2OE=6.
在 Rt△ACE 中,(
6.(1)如图,过点 E 作EM⊥BC于点 M,EN⊥CD 于点 N,∴四边形 EMCN 是矩形,∴∠MEN=90°.
∵E 是正方形 ABCD 对角线上的点,∴EM=EN.
∵四边形DEFG 为矩形,∴∠DEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF.
在△DEN 和△FEM中,
∴△DEN≌△FEM(ASA),∴EF=DE.
∵四边形 DEFG 是矩形,∴矩形DEFG 是正方形.
(2)CE+CG 的值是定值,定值为6.理由如下:
∵四边形ABCD,DEFG 是正方形,
∴DE=DG,AD=DC.
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDG=∠ADE.
在△ADE 和△CDG中
∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,
6，是定值.
思路引导 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等.
7.(1)∵四边形 ABCD 是菱形,
∴四边形OCED 是平行四边形.
∵∠DOC=90°, ∴平行四边形OCED 是矩形.
(2)∵四边形 ABCD 是菱形,且边长为4,
∴AC⊥BD,BC=CD=4,OB=OD= BD,AO= ∵∠BCD=60°,∴△BCD 是等边三角形,
∴BD=BC=4,∴OD=OB=2,
由(1),得四边形OCED 为矩形,
∴CE=OD=2,∠OCE=90°,
∴在Rt△ACE 中,由勾股定理,得.
即AE 的长为
思路引导本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用数形结合的方法，熟练掌握这些知识进行推理与计算是解题的关键.
8.(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC.
又EF∥BD,∴四边形 BEFD 是平行四边形.
∵BE=BD,∴平行四边形 BEFD 是菱形.
(2)①∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BCD=∠A=90°.
∵BC=AD=3,CD=AB=4,
∵四边形 BEFD 是菱形,∴BE=BD=5,
∴菱形BEFD 的面积为BE×CD=5×4=20.
②4 [解析]在菱形 BEFD中,DF=BD=5,
∴AF=AD+DF=8,
9.(1)∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ADC=∠C=90°,AD∥BC,即DF∥CE.
∵EF∥CD,∴∠ADC=∠DFE=90°,
∴四边形CDFE 是矩形.
∵DE 平分∠ADC,
∴∠FDE=∠CDE=45°,
∴∠CED=45°,
∴DC=CE,
∴矩形CDFE 是正方形.
(2)由(1)可知,四边形CDFE 是正方形,
∴CE=DC.
∴BC=BE+CE=1+3=4.
∵∠C=90°,
解后反思 本题考查了矩形的性质、正方形的判定、勾股定理，解题关键是正确识别图形，熟练掌握矩形的性质和正方形的判定.
10.(1)如图(1),过点 E 作EM⊥AD 于点M,EN⊥AB于点N.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠EAD=∠EAB.
∵EM⊥AD,EN⊥AB,
∴EM=EN,∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,
∴四边形ANEM 是矩形,∴∠MEN=90°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠MEN=∠DEF,
∴∠DEM=∠FEN.
∵∠EMD=∠ENF=90°,
∴△EMD≌△ENF(ASA),
∴ED=EF.
∵四边形 DEFG 是矩形,
∴矩形 DEFG 是正方形.
(2)∵四边形 DEFG 是正方形,四边形 ABCD 是正方形,∴DG=DE,DC=DA=AB=3 ,∠GDE=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠CDE,
∴△ADG≌△CDE(SAS),∴AG=CE,
(3)如图(2),连接DF.
∵四边形 ABCD 是正方形， AB∥CD.
∵F是AB中点,∴AF=
.正方形 DEFG的面积
解后反思 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
11.(1)四边形AECF 是菱形.证明如下:
∵正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
∵BE=DF,∴OB+BE=OD+DF,即OE=OF,
∴四边形 AECF 是平行四边形.
又AC⊥EF,∴平行四边形AECF 是菱形.
(2)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AO=BO,∠AOB=90°.
在Rt△AOB 中,由勾股定理知, 3
∴AO=BO=3,∴EO=OB+BE=6.
在Rt△AOE 中,
∵四边形AECF 是菱形,∴AE=EC=CF=AF,
∴四边形AECF 的周长
12.(1)∵菱形AECF 的对角线AC和EF交于点O,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF.
∵DE=BF,∴BO=DO.
∵AC⊥BD,∴四边形ABCD 是菱形.
∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°,
∴AO=DO,∴AC=BD,
∴菱形ABCD 是正方形.
(2)∵正方形ABCD 的面积为72,
∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12.
∵BF=4,∴OF=2.
∵四边形AFCE 是菱形,
∴EF=2OF=4,AC⊥EF,
∴菱形AFCE 的面积