特殊平行四边形的动点问题专题提优特训11 （含答案）

特殊平行四边形的动点问题专题提优特训11
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题型1 平行四边形中的动点问题
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,BC=5,AC=10,E 为斜边AB边上的一动点，以 EA，EC 为边作平行四边形ADCE，则线段ED 长度的最小值为
2.如图,在□ABCD 中,AB=8,BC=6,∠B=60°,点 E 是边 AB 上的一点,点 F 是边 CD 上一点,将□ABCD沿EF 折叠,得到四边形 EF-GH，点A 的对应点为点 H，点D 的对应点为点G.
(1)求点E 到CD的距离.
(2)当点 H 与点C重合时,
①证明:CE=CF;
②求 BE 和CF 的长.
题型2 菱形中的动点问题
3.如图(1),在菱形 AB-CD 中,∠A=60°,动点 P 从点A 出发,沿折线AD→DC→CB 方向匀速运动,运动到点 B停止.设点 P 的运动路程为x，△APB 的面积为y，y 与x的函数图象如图(2)所示，则AB的长为( ).
A. B. 2 C. 3
4.如图,菱形ABCD的边长为4,∠A=60°,E是边AD 的中点，F是边 AB 上的一个动点，EG=EF,且∠GEF=60°,求GB+GC 的最小值.
题型3 矩形中的动点问题
5.(2023·河南中考)在矩形 ABCD 中,M 为对角线BD的中点,点 N 在边AD上,且AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 .
6.(2024·福建莆田城厢区期中)如图,矩形ABCD 中,CD=4,∠CBD=30°.一动点 P 从B 点出发沿对角线 BD 方向以每秒2个单位长度的速度向点 D 匀速运动，同时另一动点 Q 从D 点出发沿DC 方向以每秒1个单位长度的速度向点 C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 P，Q运动的时间为t秒(t>0).过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,连接EQ,PQ.
(1)求证:PE=DQ.
(2)当t 为何值时，△PQE 为直角三角形 请说明理由.
题型4 正方形中的动点问题
7.已知点E 是正方形ABCD内一点,连接AE,CE.
(1)如图(1),连接BE,过点 A 作AF⊥BE 于点F,若∠BEC=90°,BF=2,四边形ABCE的面积为
①证明:AF=BE;
②求线段AE 的长.
(2)如图(2),若AB=4,∠AEC=135°, AE+ 求线段AE,CE 的长.
8.(2024·黑龙江双鸭山期末)在正方形 ABCD 中,P为直线BD 上一动点(不与端点 B，D重合)，以 AP 为直角边在AP 右侧作等腰直角三角形APE,∠PAE=90°,连接DE.
(1)如图(1),当点 P 在线段BD 上时,求证:线段DE+PD=BD.
(2)如图(2),(3),当点 P 在线段BD 延长线上或反向延长线上时，线段DE，PD 和BD 之间又有怎样的数量关系 写出你的猜想，不需证明.
1.2 [解析]如图,过点 C 作CF⊥AB 于点F.
在 Rt △ABC 中,∠BCA = 90°,BC=5,AC=10,
∵四边形ADCE 是平行四边形，
∴CD∥AB,∴当DE⊥AB 时,DE 有最小值,此时
方法诠释本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键.在 Rt△ABC 中，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求 CF 的长，由垂线段最短可得当DE⊥AB 时,DE 有最小值,即可求解.
2.(1)如图(1),作EP⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为 P,M,则∠EPC=∠EMC=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,
∴∠PEM+∠EPC=180°,
∴∠PEM=∠EMC=∠EPC=90°,
∴四边形 EMCP 是矩形,∴EP=CM.
在Rt△BCM中,∵∠CMB=90°,∠B=60°,
∴∠BCM=30°.∵BC=6,
∴点E到CD的距离为3
(2)①如图(1),由折叠可知∠AEF=∠CEF.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,∴∠AEF=∠CFE.
∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF.
②如图(2),过点 E 作EN⊥BC 于点 N.
∵∠ENB=90°,∠B=60°,
∴∠NEB=30°,∴BE=2NB.
设NB=m,则BE=2m,
∵AE=CE,AB=8,BC=6,
∴CF=CE=AE=8-2m,NC=6-m.
在Rt△ECN中,·
3. B [解析]如图,连接BD.在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=AD,∴△ABD 为等边三角形.设AD=a,过点 D 作DE⊥AB 于点 E,则
由题图(2)可知,△ABD 的面积为6
∴△ABD 的面积 解得a=2 (负值已舍).故选 B.
思路引导 本题结合了函数图象和菱形的性质考查了动点问题.根据题意和菱形性质可知，P点从 A 到D 运动时，△APB 面积逐渐增大.从 D 到C 点运动时，△APB 面积保持最大不变.从 C 到 B 运动时，△APB 面积逐渐减小.从函数图象可以看出△APB最大面积为 6 .当 P 到 D 点时△APB 就是△ABD，是一个等边三角形，据此即可解答.
4.如图,取AB与CD 的中点M,N,连接MN,作点 B关于MN 的对称点 E',连接E'C,E'B,E'B 与MN交于点H，此时CE'的长就是GB+GC的最小值.
∵MN∥AD,
∵HB⊥HM,AB=4,∠A=60°,
∴MB=2,∠HMB=60°,
∴HM=1,∴AE'=2,
∴点 E 与点E'重合.
∵∠AEB=∠MHB=90°,AD∥BC,
∴∠CBE=90°,
在Rt△EBC中, 即GB+GC的最小值为
5.2或 [解析]以点D ，M，N为 顶点的三角形是直角三角形时.分两种情况：
①如图(1),当∠MND=90°时,则MN⊥AD.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=90°,
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD 的中点,∴AN=DN.
∵AN=AB=1,∴AD=2AN=2.
如图(2),当∠NMD=90°时,则 MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点,∴BM=DM,
∴MN 垂直平分BD,∴BN=DN.
∵∠A=90°,AB=AN=1,
∴AD=AN+DN=1+
综上所述，AD 的长为2或
6.(1)∵PE⊥BC,∴∠BEP=90°.
在Rt△BEP 中,BP=2t,
∵∠CBD=30°,∴PE=t.
∵DQ=t,∴PE=DQ.
(2)①当∠EPQ=90°时,四边形 EPQC 为矩形,
∴PE=QC.
∵PE=t,QC=4-t,∴t=4-t,即t=2;
②当∠PQE=90°时,∠DPQ=∠PQE=90°,如图.
在Rt△DPQ 中,
30°,∴DQ=2DP,
∵DQ=t,DP=8-2t,
∴t=2(8-2t),
③当∠PEQ=90°时,此种情况不存在.
综上所述，当t=2或 时，△PQE 为直角三角形.
思路引导本题考查动点问题、矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度以及是否停止和有无取值范围是解题的关键.值得注意的是考虑问题要全面，不能漏解.
7.(1)①∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABF+∠CBE=90°.
∵AF⊥BE,∴∠AFB=∠BEC=90°,
∴∠ABF+∠BAF=90°,∴∠BAF=∠CBE,
∴△ABF≌△BCE(AAS),∴AF=BE.
②∵△ABF≌△BCE,∴BF=CE=2.
设AF=BE=m.
∵四边形 ABCE 的面积为
即
解得：m =5,m =-7(舍去),
∴AF=BE=5,EF=3,
(2)如图,过点A作AF⊥CE交CE 的延长线于点 F,连接AC,则∠F=90°.
∵∠AEC=135°,
∴△AEF 是等腰直角三角形，
即
即
∵△ABC 是等腰直角三角形,AB=4,∴AC=4
8.(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵△APE 是等腰直角三角形,且∠PAE=90°,
∴AP=AE.
∵∠BAP=90°-∠PAD,∠DAE=90°-∠PAD,
∴∠BAP=∠DAE,
∴△BAP≌△DAE,∴BP=DE.
∵BP+PD=BD,∴DE+PD=BD.
(2)题图(2):DE-PD=BD,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵△APE 是等腰直角三角形,且∠PAE=90°,
∴AP=AE.
∵∠BAP=90°+∠PAD,∠DAE=90°+∠PAD,
∴∠BAP=∠DAE,
∴△BAP≌△DAE,∴BP=DE.
∵BP-PD=BD,∴DE--PD=BD.
题图(3):PD-DE=BD,理由如下:
与题图(2)类似可得△BAP≌△DAE,∴BP=DE.
∵PD-BP=BD,∴PD-DE=BD.
思路引导本题考查了正方形的性质、等腰直角三1角形的性质、全等三角形的判定与性质，运用数形结合的方法，熟练掌握以上知识进行推理论证是解题的关键.