19.2.1 平行四边形提优训练 （含答案）

19.2.1 平行四边形
1.如图,□ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是( ).
A. AB=BC B. AD=BC
C. OA=OB D. AC⊥BD
2.如图，在平行四边形ABCD 中,AB⊥AC. 若AB=8,AC=12,则BD的长是( ).
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
3.已知四边形 ABCD 为平行四边形,则∠A :∠B:∠C:∠D 可能是( ).
A. 1:2:3:4 B. 2:3:4:1
C. 2:3:2:3 D. 2:3:3:2
4.在 ABCD 中,∠A=100°,则∠B+∠D 的度数是( ).
A. 160° B. 100° C. 120° D. 80°
5.在□ABCD中,AC 是对角线,且AC=BC,若∠ACB=40°,则这个平行四边形的四个内角的度数分别为 .
6.如图, ABCO 的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2),则顶点 B的坐标是 .
7. 如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线BE 交AD 于点E,测得∠AEB=27°.求∠D 的度数.
8.如果平行四边形 ABCD被一条对角线分成两个等腰三角形，那么称该平行四边形为“等腰平行四边形”，如果等腰平行四边形ABCD 的一组邻边长分别为4和6，那么它的面积是( ).
或6 或6
9.如图，点 E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上,设 则 S 与S 之间的大小关系为( ).
D.无法确定
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10.如图,在 ABCD 中,BD=CD,AE⊥BD 于点 E,若∠C=70°,则∠BAE= °.
11.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，连接AC，且AC=2AB.请用尺规完成基本作图：作出∠BAC 的平分线与 BC 交于点 E.连接BD 交AE 于点F,交AC 于点O,猜想线段BF 和线段 DF 的数量关系，并证明你的猜想.(尺规作图保留作图痕迹，不写作法)
12.如图,在□ABCD中,点 F 是CD的中点,连接AF 交BC 延长线于点E,AB=BE,∠E=60°,EF=6.
(1)求证:△AFD≌△EFC;
(2)连接BF，请分别求出□ABCD 的面积和周长,并写出你的求解过程.
13.(2024·湖南师大附中模拟)如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线,∠BAC=∠DAC.
(1)求证:AB=BC;
(2)若AB=2,AC=2 求平行四边形AB-CD 的面积.
14.如图,P 是面积为 S 的□ABCD 内任意一点,△PAD 的面积为 S ,△PBC 的面积为S ,则( ).
的大小与 P 点位置有关
15.(宁波中学自主招生)如图，点P 是平行四边形ABCD内一点,△PAB 的面积为5,△PAD 的面积为3,则△PAC的面积为 .
16.(2024·河南平顶山郏县期末)如图，已知△ABC 的面积为9,点 D 在线段AC上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且BF=4CF,四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 .
17. 我们知道：平行四边形的面积=(底边)×(这条底边上的高).如图，四边形ABCD 都是平行四边形,AD∥BC,AB∥CD,设它的面积为S.
(1)如图(1),点 M 为AD 上任意一点,若△BCM的面积为S ,则 S :S= ;
(2)如图(2),点 P 为平行四边形ABCD 内任意一点时,记△PAB 的面积为S',△PCD 的面积为S"，平行四边形 ABCD 的面积为S，猜想得 S'，S"的和与 S 的数量关系式为 ；
(3)如图(3),已知点 P 为平行四边形ABCD内任意一点,△PAB 的面积为3,△PBC 的面积为7,求△PBD 的面积.
18. (2024·湖北中考)如图,在平行四边形 ABCD中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,求证:BE=DF.
19.(2024·雅安中考)如图,点O 是□ABCD 对角线的交点，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF;
(2)当 EF⊥BD 时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形 BEDF 的周长.
第1课时 平行四边形(1)
1. B [解析]平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB=BC，故选项A不合题意；因为平行四边形的对边相等，所以AD=BC，故选项 B符合题意；平行四边形的对角线不一定相等，无法得到AO=BO，故选项C不合题意；平行四边形的对角线不一定垂直，无法得到AC⊥BD，故选项D不合题意.故选 B.
2. D [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,AC=
2OB=20.故选 D.
■归纳总结 本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用.熟练掌握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解题的关键.
3. C [解析]根据平行四边形的性质，可得∠A=∠C，∠B=∠D.故选C.
4. A [解析]由四边形ABCD 是平行四边形,∠A=100°,得∠C=∠A=100°,所以∠B+∠D=360°-∠C-∠A=160°.故选 A.
■一题多解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.
∵∠A=100°,∴∠B=∠D=180°-100°=80°,
∴∠B+∠D=160°.
5.110°,70°,110°,70° [解析]∵AC=BC,∠ACB= ∴∠B=∠D=70°,∠BAD=∠BCD=110°,即四个内角的度数分别为110°,70°,110°,70°.
6.(4,2) [解析]如图,延长BC交y轴于点D.
∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴BC=OA,BC∥OA.∵OA⊥y轴,∴BC⊥y轴.
∵A(3,0),C(1,2),
∴BC=OA=3,CD=1,OD=2,
∴BD=CD+BC=1+3=4,∴B(4,2).
7.∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∠ABC=∠D,∴∠AEB=∠CBE.
∵∠ABC 的平分线BE 交边AD 于点E,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE=∠CBE=27°,
∴∠ABC=54°,∴∠D=∠ABC=54°.
8. A [解析]当AC=AB=4时,此时 故等腰平行四边形的面积为
当AC=BC=6时,此时 故等腰平行四边形的面积为 故选 A.
■易错警示 本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解“等腰平行四边形”的定义，另外题意中没有明确哪条边是腰，故需要分类讨论，避免造成漏解.
9. A [解析]如图,连接AC交BD 于点F,分别过点A,C作BD 的垂线,交BD 于点M,N.∵AF=CF,∠AFB=∠CFD,∠AMF=∠CNF=90°,
∴△AFM≌△CFN(AAS),∴AM=CN.
BE·CN,∴S =S .故选 A.
思路引导 求证△ABE 与△BCE 面积相等，而三角形面积公式为 底×高，由图可得，有公共边BE，优先考虑以 BE 为底，那么本题就转化为证明高相等.根据平行四边形的性质，很容易想到AC与 BD 是相互平分的，进而即可解答.
10.50 [解析]在△DBC中,BD=CD,∠C=70°,∴∠DBC=∠C=70°.
在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=70°,∠BAD=∠C=70°.
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=50°.
11.如图,AE 即为∠BAC 的平分线.
猜想:DF=3BF.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC,OD=OB.
∵AC=2AB,∴AO=AB,∴△AOB 是等腰三角形.
∵∠BAC 的平分线与BO交于点 F,
∴点F 是BO的中点,即BF=FO,
∴OB=OD=2BF,
∴DF=DO+OF=3BF,即DF=3BF.
■方法诠释 本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质.(1)根据题意作图即可；(2)利用平行四边形的对角线互相平分得到△ABO 是等腰三角形即可得证.
12.(1)∵点F 为CD的中点,∴DF=CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠DAF=∠E.
在△AFD 和△EFC 中,
(2)∴△AFD≌△EFC(AAS).
(2)∵AB=BE,∠E=60°,
∴△ABE 是等边三角形.
∵△AFD≌△EFC,∴AF=EF=6,∴BF⊥AE,
∵△AFD≌△EFC,∴S△AFD=S△EFC,
∵AD=CE=BC,∴BC= BE=6,
∴AB+BC=12+6=18,
∴平行四边形 ABCD的周长为18×2=36.
归纳总结本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明△AFD≌△EFC 从而得到S△AFD =S△EFC是解题的关键.
13.(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.
(2)如图,连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，. .∵AB=BC,∴AC⊥BD,
∴BD=2OB=2,
即平行四边形ABCD的面积为2
睡 关键提醒 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，能灵活运用这些知识进行推理是解此题的关键.
14. C [解析]如图,过P 点作EF∥AD.∵AD∥BC,
S.故选C.
失分警示 解答本题的关键是能够根据平行四边形对边平行且相等的性质，通过添加辅助线将平行四边形的两个阴影三角形分开，分别确定各阴影三角形面积等于所在部分面积的一半，从而确定两个三角形面积和与总体面积关系.避免直观认为两个三角形面积随点 P 位置变化而变化，从而错误选择D选项.
15.2 [解析]如图,过点 P 作PE⊥AD 于点E,延长EP 交CB 于点F.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB,AD=CB,∴PF⊥CB,
平行四边形ABCD·
平行四边形ABCD,S△PAB=5,S△PAD=3,
即 5-3=2.
16.3 [解析]如图,连接AF,EC.
∵BF=4CF,∴BC=3CF.∵S△ABC=9,∴S△ACF=
∵四边形CDEF 是平行四边形,∴DE∥CF,EF∥AC,∴S△DEB=S△DEC,
∵EF∥AC,∴S△AEC=S△ACF=3,∴S阴影=3.
17.(1)1:2 [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴△BCM 与□ABCD 等底等高,
[解析]如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点E,延长EP 交CD 于点F.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴PF⊥CD,
即
18.∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE 和△CDF 中
∴△ABE≌△CDF(SAS),∴BE=DF.
归纳总结 本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明△ABE≌△CDF 是解答本题的关键(也可通过证明△BEC≌△DFA 得到 BE=DF).
19.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB.
∵点O是 ABCD 对角线的交点,∴OD=OB.
在△ODE 和△OBF 中,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)如图,连接BE,DF.
由(1)得,△ODE≌△OBF,∴DE=BF.
∵EF⊥BD,∴EF 垂直平分BD,∴BE=DE,DF=BF,∴DF=BF=BE=DE=15cm,∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴四边形 BEDF 的周长为60cm.
归纳总结 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠OED=∠OFB，OD=OB,BE=DE,DF=BF 是解题的关键.