19.2.3平行四边形(3)提优训练 （含答案）

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19.2.3平行四边形(3)
1.在四边形 ABCD 中,∠A=∠C，∠B=∠D，则下列结论不一定正确的是( ).
A. ∠A=∠B B. AD∥BC
C. AB=CD D.对角线互相平分
2. 如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,连接DE,EF,FD,则图中平行四边形的个数为 .
3.(2024·福建三明期末)如图,在△ABC中,D,E 分别是BC,AC的中点.
(1)尺规作图:过点 A 作直线AP∥BC;(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若DE 的延长线与直线AP 交于点F,求证:DF=AB.
4. 如图,AB∥CD,E,F 分别为AC,BD 的中点,若AB=5,CD=3,则EF 的长是( ).
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F 分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF 的度数为 .(用含α的式子表示，提示：直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离等于斜边的一半)
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,AB⊥AC,AH⊥BD 于点 H,若AB=2,BC= ,则AH 的长为 .
7.(2024·河南南阳期末)[教材呈现]如图是某数学教材的部分内容.
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.
我们可以用演绎推理证明这个结论.
已知:如图, ABCD 的对角线AC 和BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
请根据教材提示，结合图(1)，写出完整的证明过程.
[性质应用]如图(2),在 ABCD 中,对角线AC,BD相交于点O,EF 过点O且与边AD,BC分别相交于点E，F.
求证:OE=OF.
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接AF,若 EF⊥AC,△ABF 的周长是 13,则□ABCD 的周长是 .
8.如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,BE⊥AE 于点E,点 F 是BC的中点.
(1)如图(1),BE 的延长线与AC 边相交于点D，求证：
(2)如图(2),在△ABC中,AB=9,AC=5,求线段 EF 的长.
9.如图,在△ABC 中,点 D 是边 BC 的中点,点 E在△ABC 内,AE 平分∠BAC,CE⊥AE,点 F在边AB上,EF∥BC.
(1)求证：四边形 BDEF 是平行四边形.
(2)线段BF，AB，AC 的数量之间具有怎样的关系 证明你所得到的结论.
10.(2024·宁夏中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3cm,BC=2cm,点 A 在直线l 上,点 B,C在直线l 上,l ∥l ,动点 P 从点A 出发沿直线l 以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为 t s.
下列结论：
①当t=2s时,四边形ABCP 的周长是10cm;
②当t=4s时,点 P 到直线l 的距离等于5cm；
③在点 P 运动过程中，△PBC 的面积随着t的增大而增大；
④若点 D，E分别是线段PB，PC的中点，在点 P 运动过程中，线段 DE 的长度不变.
其中正确的是( ).
①④B. ②③ C. ①③ D. ②④
A [解析]∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴B,C,D均正确,而 A 选项∠A+∠B=180°,但并不一定有∠A=∠B,故该选项错误，符合题意.故选 A.
2.3 [解析]∵点 D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,DE∥AC,FE∥AB,且 ∴有3个平行四边形:□AFED,□DFEB,□DFCE.
联键提醒 解答本题需要明确理解三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.(1)如图,AP 为所作.
(2)如图,∵D,E 分别是BC,AC的中点,
∴DE 为△ABC 的中位线,∴DE∥AB.
∵AF∥BC,
∴四边形ABDF 为平行四边形,∴DF=AB.
4. D [解析]如图,连接DE 并延长交AB 于点 H.
∵CD∥AB, ∴∠C = ∠A,∠CDE=∠AHE.
∵E是AC的中点,∴CE=AE,
∴△DCE≌△HAE,
∴DE=HE,DC=AH.
∵F 是BD 的中点,
∴EF 是△DHB的中位线,
∵BH=AB-AH=AB-DC=2,∴EF=1.
故选D.
■一题多解 本题还可以采用以下方法来解答：
过点C 作CM∥DB,交 AB 的延长线于点M,延长EF 交CM 于点N.
∵CD∥AB,DB∥CM,
∴四边形 CDBM 是平行四边形，
∴AM=AB+CD=5+3=8.
又E,F分别是AC,BD 的中点,∴N 为CM 的中点,
∴EN 为△CAM的中位线,
∵FN=CD=3,∴EF=EN-FN=4-3=1.
5.270°-3α [解析]∵AC 平分∠BAD,∠ACD =
∠ABC=90°,∴∠ACB=∠D=α,∴∠CAB = .又 E,F 分别为AC,CD 的中点,
∴∠ECB=∠EBC=α,∠CAB=∠EBA=90°-α,
∴∠CEB=2(90°-α),∴∠BEF=∠FEC+∠CEB=
[解析]在 Rt△BAC 中,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴在 Rt△ABO 中,
7.[教材呈现]∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(ASA),
∴OA=OC,OB=OD(证明方法不唯一).
[性质应用]∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD,AD∥BC,
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO.
在△DEO和△BFO中
∴△DEO≌△BFO(AAS),∴OE=OF.
[拓展提升]26 [解析]如图,∵△DEO≌△BFO,
∴BF=DE,OE=OF.
∵EF⊥AC,
∴△AEF 是等腰三角形,
∴AE=AF,∴AE+DE=AF+BF,
∴△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AE+DE=AB+AD=13.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,
∴□ABCD 的周长=2(AB+AD)=2×13=26.
8.(1)∵AE平分∠BAC,
∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠AED=90°.
在△AEB 和△AED 中.
∴△AEB≌△AED(ASA),
∴BE=ED,AD=AB.
∵BE=ED,BF=FC,
(2)如图,分别延长 BE,AC 交于点H.
∵AE 平分∠BAC,
∵BE⊥AE,
∴∠AEB=∠AEH=90°.
在△AEB 和△AEH 中,
∴△AEB≌△AEH(ASA),∴BE=EH,AH=AB=9.
∵BE=EH,BF=FC,
9.(1)延长CE 交AB 于点G.
∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°.
在△AEG 和△AEC 中,
∵∠GAE=∠CAE,AE=AE,∠AEG=∠AEC,
∴△AEG≌△AEC,∴GE=CE.∵BD=CD,
∴DE 为△CGB 的中位线,∴DE∥AB.
∵EF∥BC,∴四边形BDEF 是平行四边形.
理由如下：
∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴BF=DE.
∵D,E分别是BC,GC的中点,
∵△AGE≌△ACE,∴AG=AC,
■归纳总结 本题主要运用了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，通过推理论证，将问题解决.
10. A [解析]①当t=2s时,AP=2cm,则AP=BC.
又因为AP∥BC,
所以四边形ABCP 是平行四边形，
所以PC=AB=3cm,
所以四边形 ABCP 的周长为2×(2+3)=10(cm).
故①正确.
因为“平行线间的距离处处相等”，AB=3cm，∠ABC=90°,
所以直线l 与直线l 之间的距离是3cm.
故②错误.
由上述过程可知，
点 P 到BC的距离为定值3cm,
即△PBC的BC边上的高为 3cm.
又因为BC=2cm,
所以△PBC的面积为定值.
故③错误.
因为点 D，E分别是线段PB，PC的中点，
所以 DE 是△PBC的中位线,
所以
即线段DE 的长度不变.
故④正确.故选 A.